1、2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院1第一章第一章矢量分析小结矢量分析小结 1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都是空间坐标的连续函数。是空间坐标的连续函数。2.标量场标量场 中，梯度的定义为中，梯度的定义为其中其中为为变化最快的方向上的单位矢量。变化最快的方向上的单位矢量。ru zueyuexueulunrugradzyxnnnlu2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2
2、 3.矢量场矢量场 在闭合面在闭合面S的的通量通量定义为定义为 它是一个标量；矢量场的它是一个标量；矢量场的散度散度也是一个标量，定义为也是一个标量，定义为)(rAssdrA)(0()()divlimysxzA rdS rAAAAAxyz 4.矢量场矢量场 在闭合路径在闭合路径C的的环流环流定义为定义为 ，它，它是一个标量；矢量场的是一个标量；矢量场的旋度旋度是一个矢量，它定义为是一个矢量，它定义为)(rAcl dAzyxzyxzzyyxxAAAzyxeeeAroteAroteAroteA2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院3 5.矢量分析中重要的恒等式有矢
3、量分析中重要的恒等式有scA dSA dlVsAdVA dS高斯定理高斯定理斯托克斯定理斯托克斯定理0A()0.u 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院46.算符算符矢量算符矢量算符在直角坐标内，在直角坐标内，所以所以是个矢量，而是个矢量，而是个标量，是个标量，是个矢量。是个矢量。因而矢量算符因而矢量算符符合矢量标积、矢积的乘法规则，在符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。7.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研
4、究它的要从研究它的散度散度和和旋度旋度开始着手，开始着手，散度方程和旋度散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程方程组成了矢量场的基本微分方程。A,zeyexezyxuA2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院5直角坐标系直角坐标系 x y z O P(x0,y0,z0)x0 y0 z0 A xeyeze,xyzeee单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：()xxyyzzA rA eA eA e 其位置矢量其位置矢量：000 xyzrx ey ez e空间任一点空间任一点P（x0,y0,z0):坐标变量坐标变量:zyx,变量取值范围：变量取值范围：yx
5、z微分元：微分元：dxyzre dxe dye dz2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院6圆柱坐标系圆柱坐标系 x y z O P(r0,0,z0)0 r0 z0 reeze,rzeee单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：()()()()rrzzA rA r eA r eA r e 其位置矢量：其位置矢量：00rzrr ez e空间任一点空间任一点P(rP(r0 0,0 0,z,z0 0)变量取值范围变量取值范围 r020z微分元微分元drzre dr e rde dz2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院7cos,
6、sin,.xryrzz为常数xyzoz(,)Mx y z(,)P rrxyzo柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为r 为常数z 为常数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面22,arctan,.rxyyxzz2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院8球面坐标系球面坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：y O z x P(r0,0,0)0 0 r0 reee,reee()()()()rrA rA r eA r eA r e 位置矢量：位置矢量：0 rrr e变量取值范围变量取值范围:2000
7、r微分元：微分元：dsinrre dre rde rd 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院9r 为常数为常数为常数如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面sincos,sinsin,cos.xryrzr球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxMrzyxAxyzor22222,arctan,arctanrxyzxyzyx2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院10柱坐标柱坐标11zrAAArArrrz1rzuuuueeerrz rzrzeeerrArzArAA 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信
8、息科学与工程学院11球坐标球坐标22sin111sinsinrAAAr Arrrr22222222111()(sin)sinsinrrrrrr11sinruuuueeerrr 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院12 第二章 电磁场的基本规律 小结SrqSrqrSSd)(d)(lim)(01.电荷分布形态分为四种形式：形态分为四种形式：点电荷、体分布点电荷、体分布电荷、电荷、面分布电荷、线分布电荷面分布电荷、线分布电荷电荷体密度电荷体密度VrqVrqrVd)(d)(lim)(0电荷面密度电荷面密度电荷线密度电荷线密度lrqlrqrlld)(d)()(lim0
9、点电荷的电荷密度点电荷的电荷密度)()(rrqr2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院13nn0dlimdSiiJeeSS 2.电流分布电流分布体电流体电流流过任意曲面流过任意曲面S 的电流为的电流为SJiSd面电流面电流tt0dlimdSliiJeell 通过薄导体层上任意有向曲线通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为的电流为l)d(nleJilS2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院14积分形式积分形式微分形式微分形式恒定电流的连续性方程恒定电流的连续性方程0tddddddSVqJSVtt tJ0dSSJ、0 J3.电流连续
10、性方程电流连续性方程2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院15面密度为面密度为 的面分布的面分布电荷的电场强度电荷的电场强度)(rS线密度为线密度为 的线分布的线分布电荷的电场强度电荷的电场强度)(rl体密度为体密度为的体分布的体分布电荷产生的电场强度电荷产生的电场强度)(r()E rVVRRrd)(4130301()()d4SSr RE rSR301()()d4lCr RE rlR304)(RRqrE 根据上述定义，真空中静止根据上述定义，真空中静止点电荷点电荷q 激发的电场为激发的电场为()Rrr4.电场强度电场强度2022-12-27中南大学信息科学与工
11、程学院中南大学信息科学与工程学院165.静电场的散度和旋度静电场的散度和旋度VSVrSrE)d(1d)(0静电场的散度静电场的散度（微分形式）（微分形式）静电场的高斯定理静电场的高斯定理（积分形式）（积分形式）0)()(rrE()0E r 静电场的旋度静电场的旋度（微分形式）（微分形式）静电场的环路定理静电场的环路定理（积分形式）（积分形式）0d)(ClrE2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院176.磁感应强度磁感应强度任意电流回路任意电流回路C 产生的磁感应强度产生的磁感应强度电流元电流元产生的磁感应强度产生的磁感应强度d I l体电流产生的磁感应强度体电
12、流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度CCRRlIrrrrlIrB3030d4)(d4)(30)(d4)(drrrrlIrBVRRrJrBVd)(4)(30SRRrJrBSSd)(4)(302022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院187.恒定磁场的散度与旋度恒定磁场的散度与旋度恒定场的散度恒定场的散度（微分形式）（微分形式）磁通连续性原理磁通连续性原理（积分形式）（积分形式）0d)(SSrB0)(rB)()(0rJrBISrJlrBSC00d)(d)(恒定磁场的旋度恒定磁场的旋度（微分形式）（微分形式）安培环路定理安培环路定理（积分形式）
13、（积分形式）2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院19 极化强度与电场强度有关在线性、极化强度与电场强度有关在线性、各向同性的电介质中，各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即与电场强度成正比，即P8.电介质的极化电介质的极化e0PE e(0)电介质的电极化率电介质的电极化率 (1)极化电荷体密度极化电荷体密度(2)极化电荷面密度极化电荷面密度pnSP ePP PED0定义：定义：电位移矢量电位移矢量2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院20EEED0re0)1(9.静电场在电介质中的基本方程静电场在电介质中的基本方程,及介质
14、的本构关系及介质的本构关系对于线性各向同性介质，对于线性各向同性介质，小结小结：静电场是：静电场是有散无旋场有散无旋场，电介质中的基本方程为，电介质中的基本方程为 0DE （微分形式），（微分形式），（积分形式）（积分形式）0dddCVSlEVSD2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2110.介质的磁化及磁化电流介质的磁化及磁化电流（1 1）磁化电流体密度磁化电流体密度MJMJM（2）磁化电流面密度磁化电流面密度MSJMnSJMe恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式
15、）0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrH11.恒定磁场在磁介质中的基本方程恒定磁场在磁介质中的基本方程,及介质的本构关系及介质的本构关系MBH0定义磁场强度定义磁场强度为：为：H2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院22HMmHHB)1(m0 磁化强度磁化强度 和磁场强度和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，定，对于线性各向同性介质，与与之间存在简单的线性关系：之间存在简单的线性关系：MHHM磁介质中的本构关系式磁介质中的本构关系式2022-12-27中南大学信息科学与
16、工程学院中南大学信息科学与工程学院23EJ12.欧姆定律的微分形式。式中的比例系数欧姆定律的微分形式。式中的比例系数称为媒质的电导率，称为媒质的电导率，单位是单位是S/m（西（西/米）。米）。SCSBtlEdddd13.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律相应的微分形式为相应的微分形式为BEt 相应的微分形式为相应的微分形式为(1)回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化引起回路中磁通变化的几种情况引起回路中磁通变化的几种情况BEt ddinCSBElSt 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院24(2)导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动
17、(3)回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动ind()ddCCSBElvBlStind()dCCElvBl微分形式in()BEvBt dtDJ14.位移电流密度位移电流密度2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2515.麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式ddSVJSVt SVSCSCSdVSDSBStBlEStDJlHd0dddd)(d（全电流定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性方程方程）（电介质中的高斯定律）（电流连续性方程）2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2616.麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦
18、方程组的微分形式DBtBEtDJH0麦克斯韦第一方程，麦克斯韦第一方程，随时间变化随时间变化的电场也是产生磁场的源。的电场也是产生磁场的源。麦克斯韦第二方程，麦克斯韦第二方程，表明随时表明随时间变化的磁场也是产生电场的间变化的磁场也是产生电场的源（漩涡源）。源（漩涡源）。麦克斯韦第三方程表明麦克斯韦第三方程表明磁场是磁场是无通量源的场，磁感线总是闭无通量源的场，磁感线总是闭合曲线合曲线麦克斯韦第四方程，表明麦克斯韦第四方程，表明电电场是有通量源的场，电荷是场是有通量源的场，电荷是产生电场的通量源。产生电场的通量源。2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2717
19、.媒质的本构关系媒质的本构关系EDHBEJ各向同性、线性媒质的本构关系为各向同性、线性媒质的本构关系为18.电磁场的边界条件电磁场的边界条件n12n12n12n12()()0()0()SSeHHJeEEeBBeDD 分界面上的电荷面密度分界面上的电荷面密度 分界面上的电流面密度分界面上的电流面密度2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2819.19.两种理想介质分界面上的边界条件两种理想介质分界面上的边界条件n12n12n12n12()0()0()0()0eeeeDDBBEEHH 在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，在两种理想介质分界面上，通常没有
20、电荷和电流分布，即即JS0、S0，故，故 的法向分量连续的法向分量连续D 的法向分量连续的法向分量连续B 的切向分量连续的切向分量连续E 的切向分量连续的切向分量连续H2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院2920.理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件nnnn00SSeDeBeEeHJ 理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件设媒质设媒质2为理想导体，则为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故均为零，故理想导体表面上的电荷密度等于理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量的法向分量D理想导体表面上理想导体表面上 的法向分量为的法向分量为
21、0 0B理想导体表面上理想导体表面上 的切向分量为的切向分量为0 0E理想导体表面上的电流密度等于理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量的切向分量H2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院30Ex:一段两端封闭的圆形同轴导体，一段两端封闭的圆形同轴导体，长度为长度为l内导体半径为内导体半径为a，外导体半径为外导体半径为b。同轴导线的轴线与。同轴导线的轴线与z轴重合，两端面分别位于轴重合，两端面分别位于z=0和和z=l处，如图所示。设导体的电导率为处，如图所示。设导体的电导率为=，内外导体空，内外导体空间的媒质为间的媒质为空气空气。若已知。若已知导体间的磁场强度
22、导体间的磁场强度为：为：求求:(1)导体间的电场强度导体间的电场强度；(2)导体表面上的电流面密度导体表面上的电流面密度和电荷面密度和电荷面密度。coscosA/mmHHetzrlxySJES解：（解：（1）0DEHJtt01EHt001cossin()mrrHHeetzzrll 0sinsin()V/m,()mrHEetza r brll2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院31（2）n,SSJeHn0SSeEz=0nz0rcosSSzmJeHeHHetrz000SzeEz=lnzrcosmSSz lHJeHeHetr z00Sz leE xy2022-12
23、-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院32（2）n,SSJeHn0SSeE在内导体在内导体r=anrSSr aJeHeHr0Sr aeExyzcoscos(),(0)mHetzzlal在外导体在外导体r=bsinsin(),(0)mHtzzllalnrSSr bJeHeH zcoscos(),(0)mHetzzlbl r0Sr beE sinsin(),(0)mHtzzllbl2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院33一、一、静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第三章第三章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的
24、解 小结小结2.边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：积分形式：02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院340E由由1.电位函数的定义电位函数的定义E二、二、电位函数电位函数面电荷的电位：面电荷的电位：1()()d4VrrVCR点电荷的电位：点电荷的电位：()4qrCR()1()d4lCrrlCR线电荷的电位：线电荷的电位：C
25、SRrrSSd)(41)(33、电位积分表达式：体电荷的电位：、电位积分表达式：体电荷的电位：()()dQPPQEl2、P、Q 两点间的电位差两点间的电位差2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院354 4、电位方程、电位方程在均匀介质中，有在均匀介质中，有标量泊松方程标量泊松方程在无源区域，有在无源区域，有拉普拉斯方程拉普拉斯方程02025.静电位的边界条件静电位的边界条件120 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0Snn1122 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：常数，常数，nSDn 12媒质媒质2媒质媒质121l2P
26、1P2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院36(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q；计算电容的方法一计算电容的方法一：(4)求比值求比值，即得出所求电容。，即得出所求电容。UqC 21dlEU(3)由由，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的方法二计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布；(3)由由得到得到E;(4)由由得到得到 ;nESSESSSqd(5)由由，求出导体的电荷，求出
27、导体的电荷q；UqC(6)求比值求比值，即得出所求电容。，即得出所求电容。2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院37三、静电场能量电荷系统的总能量为电荷系统的总能量为导体系统的能量为导体系统的能量为e1d2VWV12eiiWqEDw21e电场能量密度电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量电场的总能量：2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院38eiiWFg不变不变四、静电力四
28、、静电力eiiWFg q不变不变EJ0d0dlESJCS00EJ五、恒定电场分析五、恒定电场分析1、基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度和电场强度)(rE线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院392.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS0)(21nJJe0)(21nEEe2nn1JJ即即2t1tEE即即场矢量的折射关系场矢量的折射关系1122
29、tantan 电位的边界条件电位的边界条件nn221121,n12()SeDD12n12()J 导电媒质分界面上的导电媒质分界面上的电荷面密度电荷面密度2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院403.3.恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（区域）区域）00d,0dlESJCS0,0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EE
30、DJqI恒定电场恒定电场GC0d,0dlESDCS2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院41(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到E;(4)由由，求出两导，求出两导体间的电位差；体间的电位差；(5)求比值求比值，即得出，即得出所求电导。所求电导。21dlEUUIG/：计算电导的方法二计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布；(3)由由得到得到E;(4)由由J=E得到得到J;(5)由
31、由，求出两导体间，求出两导体间电流；电流；(6)求比值求比值，即得出所，即得出所求电导。求电导。ESISJdUIG/计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG4、电导的计算方法、电导的计算方法2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院420HJB微分形式微分形式:0dddSSCSBSJlH1.基本方程基本方程BH2.边界条件边界条件本构关系：本构关系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式:或或002tt1n2n1HHBB六、
32、恒定磁场六、恒定磁场2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院433、恒定磁场的矢量磁位、恒定磁场的矢量磁位BA 库仑规范库仑规范0A引入：0B磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件12AAn121211()SeAAJ2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院444.恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位但在无传导电流（但在无传导电流（J0）的空间）的空间中，则有中，则有0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁
33、标位的微分方程磁标位的微分方程2m0在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件m1m212nn和和m1m22022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院45七、电感七、电感IL1.自感自感I为回路为回路 C 中的电流，中的电流，为为I所所产生的磁场与回路产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链，ii 单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和 12121IM
34、回路回路C1对回路对回路C2的互感的互感21212IM 3.互感互感回路回路C2对回路对回路C1的互感为的互感为M12=M212022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院46八、八、恒定磁场的能量恒定磁场的能量2m21d2121LIlAIIWC电流为电流为 I 的载流回路具有的磁场能量的载流回路具有的磁场能量Wm对于两个电流回路对于两个电流回路C1和回路和回路C2，有，有22m1 12 21 21122WL IL IMI I磁场能量密度磁场能量密度磁场能量密度：磁场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：m12wB Hm1d2VWB H V2022-12-27中南大学
35、信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院472、磁场力磁场力miiWFg不变不变ImiiWFg 不变不变九、惟一性定理惟一性定理在在场域场域V 的边界面的边界面S上给定上给定或或的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）方程及其边界条件的解是唯一的。）n2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院48十、镜像法十、镜像法：必须保证：必须保证原问题的方程不变原问题的方程不变，边界条件不变边界条件不变像电荷必须位于所求解的像电
36、荷必须位于所求解的场区域以外场区域以外的空间中。的空间中。像电荷的个数像电荷的个数、位置位置及及电荷量的大小电荷量的大小以满足所求解的场以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。十一、十一、分离变量法解决求有边界区域的场的解分离变量法解决求有边界区域的场的解思路：思路：套用通解，根据边界条件来定待定系数套用通解，根据边界条件来定待定系数2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院49对于非垂直相交的两对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，导体平面构成的边界，若夹角为若夹角为,则所有则所有镜像电荷数目为镜像电荷数目为2n-1个。个。n xq一般，
37、只要一般，只要满足满足为偶数为偶数，就可以用镜像，就可以用镜像法来求解，若不满足，则镜像电荷会出现在所求法来求解，若不满足，则镜像电荷会出现在所求解的场域内，不能用镜像法来求解。解的场域内，不能用镜像法来求解。2/2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院50第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 小结小结0222tHH0222tEE一、电磁波动方程一、电磁波动方程二、位函数二、位函数ABtAE0tA洛伦兹条件洛伦兹条件222tJtAA222达朗贝尔方程达朗贝尔方程2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院511、电磁能量密度、电磁能量密
38、度：em1122wwwE DH B 四、电磁场能量四、电磁场能量表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式积分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(JEBHDEtHE)2121()(2、坡、坡印廷定理印廷定理微分形式微分形式：2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院52 (W/m2)HS的方向的方向电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向S的大小的大小通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率S3、坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）、坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）jm(,)Re()etE
39、 r tErj()j()j()mmmm()()e()e()eyxzrrrxxyyzzEre Ere Ere Er复矢量复矢量五、时谐电磁场五、时谐电磁场1、复矢量、复矢量2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院532、复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程jj0HJDEBDB 3 3、导电媒质的等效介电常数、导电媒质的等效介电常数 c=j/2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院544 4、电介质的复介电常数、电介质的复介电常数5 5、同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质、同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质cj(+)6 6、磁介质的复
40、磁导率磁介质的复磁导率cj复介电常数为复介电常数为cj7、亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 复矢量复矢量222200kkEEHH()k 2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院558、平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均能流密度矢量av0011d()dTTtEHtTTSS平均电场能量密度平均电场能量密度eave00111dd2TTwwtE D tTT平均磁场能量密度平均磁场能量密度mavm00111dd2TTwwtH B tTT 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复
41、矢量计 算，有算，有av1Re(),2EHSmav1Re()4wH Beav1Re(),4wE D2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院56第五章 均匀平面波在无界空间中的传播 小结一、一、均匀平面波均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的变的平面平面波波二、理想介质中的均匀平面波的二、理想介质中的均匀平面波的传播特点传播特点电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波横电磁波（TEM波）。波）。无衰减，电场与磁场的振幅不变。无衰减，电场与磁场的振幅不变。波阻抗为实数
42、，电场与磁场同相位。波阻抗为实数，电场与磁场同相位。电磁波的相速与频率无关，无色散。电磁波的相速与频率无关，无色散。电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。媒质的本征阻抗媒质的本征阻抗1zHeE2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院57电磁场中的一些重要参数电磁场中的一些重要参数周期周期T：时间相位变化：时间相位变化2的时间间隔，即的时间间隔，即角频率角频率：表示单位时间内的相位变化，单位为：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s 频率频率 f ：1(Hz)2fT2(s)T2Tk 的大小等
43、于空间距离的大小等于空间距离2内所包含的波长数目，因此也称为内所包含的波长数目，因此也称为波数波数。2(rad/m)k波长波长：空间相位差为空间相位差为2的两个波阵面的间距，即的两个波阵面的间距，即相位常数相位常数k：表示波传播单位距离的相位变化表示波传播单位距离的相位变化21(m)kf2k2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院58)sm(1ddktzv相速相速v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度电磁波的等相位面在空间中的移动速度故故得到得到均匀平面波的相速均匀平面波的相速为为相速只与媒质参数相速只与媒质参数有关，而与电磁有关，而与电磁波的频率无关波的频率无
44、关三、三、沿任意方向传播的均匀平面波沿任意方向传播的均匀平面波nj()jmm()eexyzk x k y k zkerE rEEn1()()H reE r沿沿传播方向的均匀平面波传播方向的均匀平面波ne2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院59条件条件：或或四、四、电磁波的极化电磁波的极化mcos()yyyEEtkz 一般情况下，沿一般情况下，沿+z 方向传播的均匀平面波方向传播的均匀平面波 ，其中其中xxyyEEEee电磁波的极化状态取决于电磁波的极化状态取决于Ex 和和Ey 的振幅之间和相位之间的关的振幅之间和相位之间的关系，分为：系，分为：线极化、圆极化
45、、椭圆极化线极化、圆极化、椭圆极化。mcos(),xxxEEtkz1、线极化线极化0 xy特点特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢：合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨端轨迹与迹与x 轴的夹角始终保持不变。轴的夹角始终保持不变。2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院602、圆极化波圆极化波mmm/2xyxyEEE、条件条件：特点特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角速度化，电场的矢端在一个圆上并以角速度旋转旋转。右旋圆极化波右旋圆极化波：若若yx/2，则电场矢端的旋转
46、方向，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成与电磁波传播方向成右手螺旋右手螺旋关系，称为右旋圆极化波关系，称为右旋圆极化波左旋圆极化波左旋圆极化波：若若yx/2，则电场矢端的旋转方向，则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成电磁波传播方向成左手螺旋左手螺旋关系，称为左旋圆极化波关系，称为左旋圆极化波2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院61其它情况下，令其它情况下，令yx3、椭圆极化波椭圆极化波特点特点：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转。椭圆上旋转。线极化线极化：0、。0，在，在1、3象限
47、；象限；，在，在2、4象限。象限。椭圆极化椭圆极化：其它情况。其它情况。0 ，左旋；，左旋；0，右，右旋旋。圆极化圆极化：/2，ExmEym。取取“”，左旋，左旋圆极化圆极化；取；取“”，右旋圆极化，右旋圆极化。电磁波的极化状态取决于电磁波的极化状态取决于Ex 和和Ey 的振幅的振幅Exm、Eym 和相位差和相位差 yx对于沿对于沿+z 方向传播的均匀平面波：方向传播的均匀平面波：2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院62五、五、导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波1、导电媒质导电媒质中均匀平面波的中均匀平面波的传播特点传播特点：电场强度电场强度E、磁
48、场强度、磁场强度H 与波的传播方向相互垂直，是横与波的传播方向相互垂直，是横电磁波（电磁波（TEM波）；波）；媒质的本征阻抗为媒质的本征阻抗为复数复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于，电场与磁场不同相位，磁场滞后于电场电场 角角；在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而且与频率有波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而且与频率有关（有关（有色散色散）。平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院6
49、32 2、弱导电媒质中均匀平面波的特点、弱导电媒质中均匀平面波的特点相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；衰减小；衰减小；电场和磁场之间存在较小的相位差。电场和磁场之间存在较小的相位差。2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院641良导体良导体：3、良导体中的均匀平面波良导体中的均匀平面波 良导体中的参数良导体中的参数222ff波长波长：2vf相速相速：2f2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院65趋肤深度趋肤深度（）：）：电磁波进入良导体后电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅
50、，其振幅下降到表面处振幅的的1/e时所传播的距离。时所传播的距离。oj45ccj2e(1j)ff本征阻抗本征阻抗良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电场强度良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电场强度45o。11f2022-12-27中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院66六、色散与群速六、色散与群速 群速群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。是群速。无色散无色散正常色散正常色散反常色散反常色散群速群速v
