1、第三章 平面问题的直角坐标解答 3.1 3.1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答 求解任何一个体力为常量的问题，只需要找到一 个双调和函数(应力函数)，如果它满足应力边界 条件和位移单值条件，则就是该问题的解答。 02 4 4 22 4 4 4 yyxx y s y s xy x s xysx fm fm yx yf x xf y xyyyxx 2 2 2 2 2 , 所以问题简化为只求一个未知量双调和函数 如此求出的应力必 然满足平衡方程 “试算法”求解思路的讨论 1. 找一个双调和函数，看它能够满足什 么边界条件。然后肯定：把这个边界条 件加到物体上，则根据唯一性定理
2、，这 个双调和函数所对应的解答就是正确解。 2. 所谓逆解法和半逆解法本质上是一种 由根据的猜测。它们能够成立的根本条 件是唯一性定理。 平面问题的多项式解答平面问题的多项式解答( (逆解法逆解法) ) （3 3）结论：线性函数对应于无荷载的情况，所以）结论：线性函数对应于无荷载的情况，所以应力应力 函数函数 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。 （2 2）根据（）根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 ； 0 0 0 2 2 2 2 2 yx yf x xf y xy yy xx 1. 一次函数一次函数 cbyax 无体积力，考察其能
3、解决的问题。无体积力，考察其能解决的问题。 （1 1）检查）检查 是否满足是否满足 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 能被满足能被满足 0 4 （4 4）二次式解决的问题小结）二次式解决的问题小结 能解决图（能解决图（a a）的问题）的问题 考察其能解决的问题考察其能解决的问题 bxy)3( 按照以上步骤很容易得到结果按照以上步骤很容易得到结果 应力分量应力分量 c xyyx , 0, 0 能满足的边界条件为能满足的边界条件为 cff cff xcyyxycyy ycxxyxcxx ), 0) ), 0) 2 ax 对于对于 x y 0 （a） 2a 0;2; 0 xyyx a 能解决
4、图（）的问题能解决图（）的问题 能解决图（）的问题能解决图（）的问题 对于对于 bxy 对于 2 cy b xyyx , 0; 0 0; 0;2 xyyx c （） x y 0 （） y x 0 2c 三次函数三次函数 2 2）根据（）根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 ； 3 ay （体力不计）考察它能解决什么问题（体力不计）考察它能解决什么问题 1 1）检查）检查 是否满足是否满足 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 带入计算后可以知道显然带入计算后可以知道显然 满足相容方程满足相容方程 0 0 6 2 2 2 2 2 yx yf x ayxf y xy yy xx x
5、 y L 2 h 2 h 0 3 3）用应力边界条件）用应力边界条件(2(2- -15)15)边 边确定相对应的面力分量。 确定相对应的面力分量。 a a）检查上、下边界（主边界）检查上、下边界（主边界） 10 2 ml h y 由：由： y s y s xy x s xysx fm fm x h y xy y h y y fm fm 2 2 0 0 x y f f 说明上、下边界没有面力。说明上、下边界没有面力。 b b）检查左、右边界（次边界）检查左、右边界（次边界） 0, 0 yx ff 06 xyyx ay0 由：由： y s y s xy x s xysx fm fm y Lx xy
6、 x Lx x y x xy x x x f f f f 0 0 1 1 0 6 y x f ayf 0 6 y x f ayf 0 2 h 2 h x y L 解决矩形截面梁纯弯曲问题解决矩形截面梁纯弯曲问题 3.2 矩形截面梁的纯弯曲-逆解法 一一. . 计算模型计算模型 矩形截面梁，不计体力矩形截面梁，不计体力 考察两种情形：考察两种情形： 1 1）宽度远小于深度）宽度远小于深度 和长度（平面应力）和长度（平面应力） 2 2）宽度远大于深度）宽度远大于深度 和长度（平面应变）和长度（平面应变） 取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为M M 注：这
7、里假设已知两端的力矩注：这里假设已知两端的力矩M M，采用逆解法求解。，采用逆解法求解。 M M的量纲为的量纲为 力力长度长度/ 长度长度 =力力 ） 1 y z h M 0 L L x M y 2 h 2 h 1.1.逆解法框图逆解法框图 选择应力函数 ?0 4 吗满足 YES 求应力分量 NO 满足几何边界条件？ YES 结论 NO 2.2.步骤（已知面力）步骤（已知面力） a）假设一个应力函数）假设一个应力函数； b）检查）检查是否满足是否满足 0 4 c）根据（）根据（223）求应力分量）求应力分量； d）检查所求应力分量）检查所求应力分量能满足什能满足什 么样的应力边界条件（么样的应
8、力边界条件（2-15）边 边。 。 一一. . 逆解法逆解法 e)e)得出函数得出函数 能解决何种问题能解决何种问题 二二. . 求应力求应力 3 3）根据（）根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 ； 1 1）假设应力函数）假设应力函数 ； 3 ay 2 2）检查）检查 是否满足（是否满足（2 2- -2424）容 容 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 显然满足显然满足 0 0 6 2 2 2 2 2 yx yf x ayxf y xy yy xx 三三. . 边界条件边界条件 1）检查上、下边界（主边界）检查上、下边界（主边界） , 2 h y y s y s xy x
9、s xysx fm fm x h y xy y h y y f f 2 2 00 00 准确满足准确满足 b）检查左、右边界（次边界）检查左、右边界（次边界） Lx 0 x Lx xy f 满足满足 1, 0ml 0, 1,ml 1 y z h M 0 L L x M y 2 h 2 h 要求当要求当 时时 Lx 0 0 2 2 2 2 2 2 dy Mydy dy h h Lx xy h h Lxx h h Lxx 0 2 1 6 06 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy Mahdyayydy dyaydy h h Lx xy h h h hLxx h h h hLxx 满
10、足满足 满足满足 L y 0 x L 3 2 h M a 故所求应力分量故所求应力分量： y I M h My y h M ay x 3 12 1 3 2 66 0 0 xy y （31） 与材力完全相同与材力完全相同 y x 分布规律分布规律 x M 1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解 答才是完全精确的。按其它形式分布有误差。 （即解答为圣维南原理意义下的精确解）。 2）由圣维南原理，不同的面力分布形式，解 答只在两端有误差。（对于Lh的梁）离两 端较远处，解答是有实用价值的。对于L与h 尺寸差不多的梁，（3-1）则无实用价值。 （用简单多项式不能获得有用解答） 3) 材料力学的公式在
11、梁端一般是不适用的。 讨论讨论 3-3 纯弯曲梁的位移分量 一.一.求应变分量求应变分量： 由物理方程由物理方程 0 xy y x y EI M y EI M ） （ 122 1 )( 1 )( 1 xy xy xyy yxx G E E 00 xyyx y I M 0 y u x v y EI M y v y EI M x u xy y x 由由(1)(1)、(2)(2)积分：积分： xfy EI M v yfyx EI M u 2 2 1 u u、v v必须满足式必须满足式 x v y u 将将u u、v v代入代入 dx xdf dy ydf x EI M 21 二二. . 求位移分量求
12、位移分量： 用几何方程积分用几何方程积分 改写为：改写为： dy ydf dx xdf x EI M 12 要使上式成立，必有要使上式成立，必有 dx xdf x EI M 2 dy ydf1 为常量为常量 0 2 2 01 2 vxx EI M xf uyyf 其中其中u0，v0为常量为常量 故：故： 其中其中 、 u0，v0为常数，须由约束条件求出为常数，须由约束条件求出 0 22 0 22 vxx EI M y EI M v uyxy EI M u 讨论：讨论： 1. 1. 证明平面假设是正确的证明平面假设是正确的 x y 由 o uyxy EI M u 无论约束情况如何（即无论约束情况
13、如何（即 、uo、vo 取何值）铅垂线段的转角取何值）铅垂线段的转角 x EI M y u 对于同一截面，对于同一截面，x为常量为常量 也为常量，即横截面保持平面也为常量，即横截面保持平面 2 2、梁的各纵向纤维的曲率、梁的各纵向纤维的曲率 由 0 22 22 vxx EI M y EI M v 小变形时小变形时 EI M x v 2 2 1 与材力结果一致与材力结果一致 三三. . 满足约束条件满足约束条件 1 1）简支梁）简支梁 按约束确定位移中待定常数按约束确定位移中待定常数 L y x 代入位移条件后得：代入位移条件后得： L EI M vu 2 ;0;0 00 位移分量位移分量： 0
14、 22 0 22 vxx EI M y EI M v uyxy EI M u 梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程： xxL EI M v y )( 2 | 0 由约束条件由约束条件 0| 0 y Lx v 0| 0 0 y x u 0| 0 0 y x v 2 2 )( 2 ) 2 ( y EI M xxL EI M v y L x EI M u （33） 2 2）悬臂梁）悬臂梁 （1 1）假设截面中点）假设截面中点A A无位移无位移 且过该点的截面法线不转动且过该点的截面法线不转动 x y L 0 22 0 22 vxx EI M y EI M v uyxy EI M u 在梁右端（在梁右端（x
15、=Lx=L）：）： 对于对于y y的任何值的任何值 22 h y h 要求要求： 0u 0v 多项式解答无法满足，在工程实际中难以实现。多项式解答无法满足，在工程实际中难以实现。 端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动。 0| 0 y Lx u0| 0 y Lx v0 0 y Lx x v o o1 dx x y A 以（以（1 1）为例研究）为例研究： 0| 0 y Lx u0| 0 y Lx v 0 0 y Lx x v 代入后代入后： 0 0 2 0 0 2 0 EI ML vL EI ML u 22 2 )( 2 )( y EI M
16、 xL EI M v yxL EI M u 位移分量：位移分量： o dy y x A EI ML EI ML vu 2 ; 0 2 00 梁轴线的挠度方程：梁轴线的挠度方程： 2 0 )( 2 |xL EI M v y 转角方程：转角方程： )(| 0 xL EI M dx dv y 注：注：1)1)对于平面应变问题：对于平面应变问题： 1 , 1 2 E E 2)2)若以若以 0| 0 y Lx u0| 0 y Lx v0 0 y Lxy u 代入，确定为移分量，结果如何？请同学们代入，确定为移分量，结果如何？请同学们 自己推出。自己推出。 Thank Everybody ! 二二. .半
17、逆解法：半逆解法： 1.1.半逆解法框图半逆解法框图 由边界条件选择某 应力的函数式 ?0 4 吗满足 YES 求应力分量 NO 满足边界条件吗? YES 结论 NO d d）根据（）根据（2 2- -2323）求应力分量）求应力分量 e e）检查所求应力分量）检查所求应力分量 是否是否 满足应力边界条件（满足应力边界条件（2 2- -1515）边 边。 。 a a）根据边界条件选择假）根据边界条件选择假 设某应力的函数式设某应力的函数式 积分求函数 2.步骤步骤 b).b).对应力的函数式积分对应力的函数式积分 求求应力函数应力函数 c c）检查是）检查是 否满足否满足 0 4 f)f)得出问题的解得出问题的解
