1、中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 一平面概述：一平面概述：1.平面的两个特征平面的两个特征：无限延展无限延展 平的（没有厚度）平的（没有厚度）2.平面的画法平面的画法：通常画平行四边形来表示：通常画平行四边形来表示平面平面3.平面的表示平面的表示：用一个小写的希腊字母：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面等表示，如平面、平面、平面；用表示；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面如平面AC。二三个公理和三个推论二三个公理和三个推论:公理公理1：若一条直线上有两个点在一个平：若一条直线上有两个点在一个
2、平面内，则该直线上所有的点都在这个平面面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：内：Al,Bl,A,Bl 公理公理2：如果两个平面有一个公共点，那：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。点的集合是一条过这个公共点的直线。公理公理3：经过不在同一直线上的：经过不在同一直线上的三点三点，有且有且只有一个平面只有一个平面。推论一推论一：经过：经过一条直线一条直线和这条直线外的和这条直线外的一一点点,有且只有一个平面；有且只有一个平面；推论二推论二：经过：经过两条相交直线两条相交直线,有且只有一个有且只有一个
3、平面；平面；推论三推论三：经过：经过两条平行直线两条平行直线,有且只有一个有且只有一个平面平面.三空间两条直线的位置关系三空间两条直线的位置关系:1.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系：相交直线相交直线有且仅有一个公共点；有且仅有一个公共点；平行直线平行直线在同一平面内，没有公共点在同一平面内，没有公共点;异面直线异面直线不同在任何一个平面内，不同在任何一个平面内，没有公共点。没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种：异面直线的画法常用的有下列三种：?a?b?a?b?a?b 2.两条直线直线平行：两条直线直线平行：
4、在平面几何中，平行于同一条直线的两在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。立的。公理公理4：平行于同一条直线的两条直线：平行于同一条直线的两条直线互相平行；互相平行；一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行，则过该直线，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；行；两个平面平行两个平面平行，则任意一个平面与这两，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；个平面相交所得的交线相互平行；垂直于同一个平面垂直于同一个平面的两条直线平行。的两条直线平行。3.两条直线垂直两条直
5、线垂直 两条直线所成的角是两条直线所成的角是直角直角，则两直线，则两直线垂直；垂直；一条直线垂直于平行线中的一条，必一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条垂直于另一条;一条直线垂直于一个平面，则垂直于一条直线垂直于一个平面，则垂直于平面中任意一条直线；平面中任意一条直线；三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直;三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理：在平面内的一：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，条直线，如果和这个平面的一条斜线垂
6、直，那麽它也和这条斜线的射影垂直那麽它也和这条斜线的射影垂直.4.异面直线判定定理：异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线连结平面内一点与平面外一点的直线,和和这个平面内不经过此点的直线是异面直线这个平面内不经过此点的直线是异面直线.推理模式：推理模式：A，B，a?，Ba AB与与a是异面直线。是异面直线。例例1对于直线对于直线m，n和平面和平面，下面命题，下面命题中的真命题是（中的真命题是（）A如果如果m?，n?，m，n是异面直是异面直线，那么线，那么n/?B如果如果m?，n?，m，n是异面直是异面直线，那么线，那么n与与相交相交?C如果如果m?，n/，m，n共面，那么共面，那么
7、m/n?D如果如果m/，n/，m，n共面，那么共面，那么m/nC例例2设设和和为不重合的两个平面，给出下列命为不重合的两个平面，给出下列命题：题：（1）若）若内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线分别平行于内的两内的两条直线，则条直线，则平行于平行于；（2）若）若外一条直线外一条直线l与与内的一条直线平行，内的一条直线平行，则则l和和平行；平行；（3）设）设和和相交于直线相交于直线l，若，若内有一条直线垂内有一条直线垂直于直于l，则，则和和垂直；垂直；（4）直线）直线l与与垂直的充分必要条件是垂直的充分必要条件是l与与内的内的两条直线垂直。两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号上面命题中，
8、真命题的序号 （写出所（写出所有真命题的序号）有真命题的序号）.(1)(2)例例3.如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中中,E为为AB的中点，的中点，F为为AA1的中点，求证：的中点，求证：（1）E、C、D1、F四点共面；四点共面；（2）CE、D1F、DA三线交于同一点三线交于同一点 P例例4两个全等的正方形两个全等的正方形ABCD和和ABEF所所在平面相交于在平面相交于AB，MAC，NFB，且，且AM=FN，求证：，求证：MN平面平面BCE.Q P M N F E D C B A H M N F E D C B A例例5如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱
9、长的棱长为为a，E是是CC1的中点，过的中点，过E作一直线与直线作一直线与直线A1D1和和AB相交，则这样的直线（相交，则这样的直线（）A.不存在不存在 B.仅有一条仅有一条 C.有两条有两条 D.有三有三条条BFGNM例例6.三棱锥三棱锥VABC中，中，VABC，VB AC，求证：，求证：VCABCBAVO例例7如图所示，已知正方体如图所示，已知正方体ABCDA1B1 C1D1中，中，E、F、G、H分别为分别为A1D1，A1B1,BC，CD的中点，求证：的中点，求证：EFGF.M例例8如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABBC，D、E分别为分别为BB1、AC1的中点，
10、的中点，证明：证明：ED为异面直线为异面直线BB1与与AC1的公垂线的公垂线.B A C C 1 B 1 A 1 D E例例9.如图，设如图，设E、F、G、H分别是空间四分别是空间四边形边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA上的点上的点,且且 ，求证：（求证：（1）当）当 时，四边形时，四边形EFGH是梯是梯形；形；ADAHABAECDCGCBCF（2）当）当=且且AC=BD时，时，EGFH.HGFEDCBA例例10.已知平面已知平面平面平面=a，b?，且，且ab=A，c 且且c/a,求证：求证：b,c是异面直线是异面直线1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不
11、会到达。2、从善如登，从恶如崩。3、现在决定未来，知识改变命运。4、当你能梦的时候就不要放弃梦。5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。13、人生最大的错误是不断担心会犯错。14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不
12、能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。16、心态决定命运，自信走向成功。17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。18、励志照亮人生，创业改变命运。19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。20、当你能飞的时候就不要放弃飞。21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。27、智者，
13、一切求自己；愚者，一切求他人。28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。30、经验是由痛苦中粹取出来的。31、绳锯木断，水滴石穿。32、肯承认错误则错已改了一半。33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。40、事虽微，
14、不为不成；道虽迩，不行不至。41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。42、自信人生二百年，会当水击三千里。43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。45、不可能！只存在于蠢人的字典里。46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。47、小事成就大事，细节成就完美。48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。52、思想如钻子，必须集中在一点钻
15、下去才有力量。53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。57、理想的路总是为有信心的人预备着。58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，
16、你越在乎的对你的伤害越大。63、彩虹风雨后，成功细节中。64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。65、只要有信心，就能在信念中行走。66、每天告诉自己一次，我真的很不错。67、心中有理想 再累也快乐68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。72、只要路是对的，就不怕路远。73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
