1、4.5 圆杆在扭转时的变形、刚度计算圆杆在扭转时的变形、刚度计算4.1 概述概述4.2 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图4.3 等直圆杆在扭转时的应力、强度条件等直圆杆在扭转时的应力、强度条件4.64.6 简单静不定轴简单静不定轴4.4 圆杆在扭转时的强度条件圆杆在扭转时的强度条件4.1 扭转的概念扭转的概念一、扭转的概念及实例一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆汽车的转向操纵杆电动机传动轴扭转电动机传动轴扭转工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。机器的传动轴、水机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石轮发电机的主轴、石油钻机
2、中的钻杆、桥油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。转是其主要变形之一。ABABj jg gmm扭转扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线 的相对转动。的相对转动。扭转扭转的受力特征的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。二、扭转受力计算简图二、扭转受力计算简图4-2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图一、一、传动轴的外力偶矩的计
3、算传动轴的外力偶矩的计算转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)T图示的传动机构，通常外力偶矩m 不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P 和转速n计算得到的。一传动轴，转速为一传动轴，转速为 n转转/min，轴传递，轴传递的功率由主动轮输的功率由主动轮输入，然后由从动轮入，然后由从动轮输出。若通过某一输出。若通过某一轮所传递的功率为轮所传递的功率为 P千瓦（千瓦（KW)，则，则作用在该轮上的外作用在该轮上的外力偶矩力偶矩 m 可按以下可按以下方法求得方法求得。m1m2m3从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮图图 3-5n转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)T若
4、功率若功率 P 采用公制马力（采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为）表示，则外力偶矩为mN9550nPmmN7024nPm =jmWjmdtdmdtdWP 60 2 n60 2=1000nmPmNmrpmnkWPmNmrpmnPSN轴在轴在m作用下匀速转过角度，则功：作用下匀速转过角度，则功：1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PSmnmnA(a)二、扭矩二、扭矩 扭矩扭矩图图TmIImTmmmBnxnmIIm TmT右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符
5、号规定扭矩符号规定：mITImIITmITImIITTT用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，扭矩与截面位置关系的图线，称为称为扭矩图。扭矩图。2 扭矩图扭矩图 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm，mB10kNm,mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。AmBmCm1122轮轮轴轴轴承轴承解：分解：分2段研究段研究AB段：段：T1+mA=0T1=-4kNmAm11Cm22T1BC段：段：T2-T2
6、+mC=0T2=6kNmAmBmCm1122轮轮轴轴轴承轴承6kNm4kNmTT1=-4kNmT2=6kNm一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA400kW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120kW，ND160kW。试画出此圆轴的扭距图。112233BmCmAmDmAmCmBmDm轴的转向轴的转向BCADn300转分，NA400kW，NBNC120kW，ND160kW。112233BmCmAmDm3.82kNm7.64kNm5.10kNm解解:1.计算外力偶矩计算外力偶矩mkNnNmAA.74.1255.9mkNnmmNBCB.82.355.9mkNn
7、NmDD.10.555.92.计算各段扭矩、画扭矩图计算各段扭矩、画扭矩图T最大扭矩在最大扭矩在 CA段内。段内。mkN64.7maxTmeme4-3 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力一、扭转实验一、扭转实验1.实验前：实验前：在圆筒的表面画上等间在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线距的纵向线和圆周线施加外力偶施加外力偶2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。平面假定meme变形几何g g平面假定
8、平面假设平面假设成立成立相邻截面绕轴线作相邻截面绕轴线作相对转动相对转动横截面上没有正应力，横截面上没有正应力，只有剪应力只有剪应力,各点的各点的剪（切）应力的方向剪（切）应力的方向必与圆周线相切必与圆周线相切(垂垂直于半径直于半径)。结结论论xdxTTgj jd g gjddx 二、横截面上的应力二、横截面上的应力1.变形几何关系：变形几何关系：g gmmdxggtgxddjgxddj 扭转角沿长度方向变化率。xGGd1xddj剪切虎克定律：剪切虎克定律：2.物理关系：物理关系：gg G剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（的剪切比例极限时（p)，
9、剪应力与，剪应力与剪应变成正比关系。剪应变成正比关系。虎克定律：g GxGdd jg GxddjgxGddjxGddjn剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径3.静力学关系：静力学关系：OdAAxGAddd 2jAIApd2令xGI Tpdd jpGITx dd jxGdd jpITOrdAdAdATAdAAxGAddd 2j圆轴扭转任一点剪应力计算公式。pIT公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该
10、点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。PIT PITrmax rIWPP抗扭截面系数抗扭截面系数PWTmax 三、最大切应力公式三、最大切应力公式AIApd2对于实心圆截面：DdO202d2 D32 4D163DRIWpp对于空心圆截面：AIApd2)(DddDOd d2222Dd)(32 44dD)1(32 44D16)1(43DRIWpp应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。：点到截面形心的距离：横截面上的扭矩TITptWTITrpmaxrIWpp应力公
11、式应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：maxd/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量324pdI163pdW)1(32324444pDdDI)1(1643pDWmaxD/2OTd/2空心圆空心圆实心圆实心圆四、四、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：平面假设平面假设成立成立相邻截面绕轴线作相对转动相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面剪应力在截面上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆上均匀分布，各点的剪（切）应力的方
12、向必与圆周线相切周线相切(垂直于半径垂直于半径)。扭转实验后扭转实验后结论结论g gmmlj mTRtRdARRdAAA)2(于是由静力关系，得到于是由静力关系，得到得到得到dAdAR mtRT22在强度相同的条件下，用在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d1，由，由TdTD13341616105(.)Dd11022.得：得：AADd空实2212410540783(.).0.80.81.1920.80.512由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
13、量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。d2dT1G2GO(A)(B)(C)(D)解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二
14、者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）一、扭转失效预扭转极限应力一、扭转失效预扭转极限应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。4-4 圆轴扭转强度条件预合理设计应力圆轴扭转强度条件预合理设计应力二、圆轴扭转时的强度计算二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxpWT(称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面
15、尺寸：计算许可载荷：maxmaxpWTmaxTWpmaxpWT）（空：实：433116 16 DDWp某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，传递扭，传递扭矩矩T=1.98kNm，=100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。33pp4444p103.202/101.77)1(32mmDIWmmDI5.97103.201098.163pMPaWTmaxmax解解：计算截面参数：计算截面参数：由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。5.97PMPaWTmaxmax故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用
16、材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴空心轴较实心轴合理合理。MPadWTmaxmax5.9716/1098.133p31334.044)2(222dtDDAA实空MPa5.97max 若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面空心轴与实心轴的截面面积比面积比(重量比重量比)为：为：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力=30M Pa,试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭
17、矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt：P7.57.5kW,n=100=100r/min,许用切应力许用切应力 4040MPa,空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 =0.5=0.5。:实心轴的直径实心轴的直径d1 1和空心轴的外径和空心轴的外径D2 2。nPTMe31055.9mN 2.7161maxpWT 36110402.71616 d2maxpWT 364210405.012.71616 D1005.71055.933116dT MPa40mm45432116 DTMPa40mm
18、45 一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n=300r/min，主动轮输入的功，主动轮输入的功率为有率为有 P1=500 kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为 P2=150 kW、P3=150 kW及及P4=200 kW。试做轴力图。试做轴力图。(a)ABCDP1P2P3P4n解解:1.计算外力偶矩计算外力偶矩mkNnPm.91555911 mkNnPmmkNnmmP.37655978455944232 AABCDm1m2m3m4(b)+4.789.566.37(d)（同前面例题）实心等截面直轴，（同前面例
19、题）实心等截面直轴，d=110mm，(1)试求截面试求截面上距轴线上距轴线40mm40mm处的点的剪应力。处的点的剪应力。(2)若已知若已知=40MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。解：解：内力分析内力分析由扭矩图得知由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在危险横截面在AC段，段，Tmax=9.56kN.m应力计算应力计算MPa6.2632/1011010409560IT1243p2 强度计算强度计算MPa6.3616/101109560WT93tmaxmax若若AD轮互换位置，试校核轴的强度。轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调解：互调AD轮位置轮位置后，扭矩图如图所后，扭矩图如
20、图所示示:MPa60.8WTmaxmaxt强度不符合要求。强度不符合要求。Tmax=15.9 kN.m)1(16DW43t 若若BD轴改用内外径之比为轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径下，试确定空心轴的内外径d与与D；并计算空心与实心轴的材料；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。消耗之比。解：解：MPa6.36maxmkNT56.9maxtmaxmaxWT 由得mmTD157)1(163max4maxd=0.9D=141mm235.04/4/)(2122ddDAAVV实空实空因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁
21、圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd 设平均半径 R0=(d+)/2 202 RT Td22 Tdd22223PamNmm63232331080105210100101002 mm7.3 空心圆轴设计 PWTmax4416dDDWP 2 dD 4416dDDT01081.010516108064346PamDmNDPa mmD7.1072dD 21007.107mmmmmm85.3当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒一内径d=100mm的空心圆轴如图，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。圆柱形密圈螺旋弹簧的计算圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.1.应力的计算应力的计
22、算=+Q TtTQWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT2/,PDTPQ24dPAQQ38dPDWTtT2.弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件:83dDPKmax精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）33max8861504414dDPKdDPC.CC其中：dDC C.CCK61504414称为弹簧指数。称为曲度系数。PP圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d=18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G=82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：MPa32
23、90180500125081125218 81233max.)(dDP)Dd(最大剪应力的精确值：09161504414;631518125.C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max.dDPK弹簧圈数：6612505006410188266436434.PRGdn（圈）一、扭转时的变形一、扭转时的变形llxGIT0pddjj相对扭转角相对扭转角：GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。4-5圆轴扭转变形圆轴扭转变形 刚度条件刚度条件单位长度的扭转角单位长度的扭转角：若，则TT lG Ipconstj(rad/m)dd p
24、GITx j/m)(180 dd jpGITx 或图图 所示等直圆杆，所示等直圆杆，AB 两截面的相对扭转角为：两截面的相对扭转角为：niiipnipiiABlTGIGIlT111j 图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB 两截面的相两截面的相对扭转角为：对扭转角为：nipiiiABGIlT1j从中取从中取 dx 段，段，dx 段两相邻截面的扭转角为：段两相邻截面的扭转角为：图所示等直圆杆受分布扭矩图所示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。N m m AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：pGIdxxTd)(jpllGIdxxTd)
25、(jj从中取从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转角为：段，该段相邻两截面的扭转角为：AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：432Ipdx 式中：式中：图所示为变截面圆杆，图所示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2。)(xGITdxdpj)(xGITdxdplljj二、二、刚度条件刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。取值可根据有关设计标淮或规范确定。(rad/m)maxpGIT /m)(180 maxpGIT 或 称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：max max GT Ip max pGIT 有时，
26、还可依据此条件进行选材。下列框图表示了求解过程：下列框图表示了求解过程：图示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm，M22.3KNm，M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0m1M2M3M1d2dABC32411dIP 41.25 cm32422dIP 4236cm111PABGILTj jrad0318.0222PBCGILTj jrad0079.0BCABACj jj jj jradrad0079.00318.0rad0239.0 图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19kN
27、m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24kNm，M33.5kNm，M41.5kNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。5005001M2M3M4M500M19kNm，M24kNm，M33.5kNm，M41.5kNm。d/D1/2，G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN5005001M2M3M4M50043116 DWP maxTWP max43116TD 34max3116 TDmm7.76mmD78mmd39PGILT2121j jrad00734.0PGILT1313j jrad00917.0P
28、GILT3434j jrad00275.034132124j jj jj jj jrad00458.0已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。MAlBD=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=180r/min，L=40m，G=80GPa，=40MPa。MAlBAB)(xTxTnPT31055.9Nm390单位长度阻力矩LT
29、M mNm40390mNm75.9PWTmax 16605016010390433 MPa7.17 lPABGIdxxT0j j MxxTxLTdxGIlxTlPAB0j j2lGITP21050601080403903212449 rad148.0图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA，MB与与MC 作用，试计算该作用，试计算该轴的总扭转角轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的，并校核轴的刚度。刚度。已知已知MA180Nm，MB320 N m，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭转变
30、形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段段BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm，T2-140 Nm设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：CmBmAmll 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050.1-2-22BCABAC 2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：段的扭转角变化
31、率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。/m43.0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITxrad1017.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBCrad1050.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTAB某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500 马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应
32、为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851
33、dd 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为KW756.0KW98.2和。若轴的转速为，min/5.183 r，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。MPa401231m2m3m0.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解解:(1)计算力偶距计算力偶距 mNnPm.3.39954911mNmmm.3.194312(2)根据强度条件计算直径根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大
34、。163maxmaxmaxDTWTt mTD0272.0163maxmNnPm.155954933若上题规定 m/5.1且已知 GPaG80按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。解：5.1180321554maxDGmD029.05.1108018015532429radGITlP3439121085.110303210803.03.39jradGITlP3439231075.910303210804.03.39155jrad3231213109.7jjj1231m2m3m0.3m0.4mxT155N.m39.3N.m 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如
35、图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT40NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）(0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLPj 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，
36、共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。dD 1 2eMdD 1 2eM21因两杆扭转变形时无相对转动21j jj j222111PPIGLTIGLT221121PPIGIGTT22112122PPIdTIDT dDITITPP1221221GG1三、三、提高圆轴扭转强度和刚度的措施提高圆轴扭转强度和刚度的措施WTmaxtmax TmaxPmaxj jj jGI为了使为了使 与与 下降，有两条途径。下降，有两条途径。ma
37、xmaxj使使Tmax降低。降低。(通过调整主动轮的位置通过调整主动轮的位置)提高提高Wt 和和 IP。(b)(b)采用空心轴。采用空心轴。(a)a)加大直径；加大直径；若若d2dd2d，则，则 Wt 8Wt IP 16IP4-6 扭转超静定问题扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。长为长为L的等截面圆轴的等截面圆轴AB，两端固定；外力偶
38、，两端固定；外力偶M0作用于作用于C处使处使轴发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度轴发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度GIP，试求轴在，试求轴在C C截面处截面处的扭转角。的扭转角。解：取解：取AB为研究对象为研究对象1)1)静力平衡方程静力平衡方程Mx=0:MA+MB-M0=0 2)变形协调方程变形协调方程0CBACABCC3)物理关系方程物理关系方程PBCBPAACGIbMGIaM联解方程联解方程与与，得补充方程：，得补充方程：MA a=MB b 联解方程联解方程与与 ，得：，得：0MLaMB0MLbMALabGIMPCB0-+TMAMBC长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，
39、如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：02BAmmm几何方程变形协调方程0BAj 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITjmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm4-7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力
40、学方法求解。一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。横截面上无正应力横截面上无正应力二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。横截面上有正应力，但很小。横截面上有正应力，但很小。自由扭转时，主要结果如下：自由扭转时，主要结果如下：(1)横截面周边各点处剪应横截面周边各点处剪应力方向与周边相切，角点处力方向与周边相切，角点处剪应力为零剪应力为零。(2)剪应力在截面上非线性分布。剪应力在截面上非线性分布。(3)最大剪应力发生在矩形长边中点处。最大剪应力发生在矩形长边中点处。三、矩形截面杆的扭转三、
41、矩形截面杆的扭转剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）hbh 1T max 注意！b2.最大剪应力及单位扭转角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT3 btW其中：4 bIt ,tGIT其中：It相当极惯性矩。hbtWWTt2maxmax :其中注意！注意！对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：hbIGITtt3 :,其中max131 ;)10 :(bh即对于狭长矩形查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b角点切应力等于零角点切应力等于零 边缘各点切应力沿边缘各点切应力沿切线方向切线方向最大切应力最大切应力 发生
42、在发生在长边中点长边中点Tmax 1 tWTmax 3bWt tGITj j4bIt max1 分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：3max16dTWTP 34040016mmmN MPa9.31矩形杆：32060mmmmbh查表：0.8013maxbT 320801.0400mmmNMPa4.62分别计算两杆截面面积圆杆：221260440mmmmA 矩形杆：2212002060mmmmA矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm
43、，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚），厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。4-8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b b），同），同 一厚度处，应力均匀分布。一厚度处，应力均匀分布。四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（
44、c）图上取）图上取 单元体如图（单元体如图（d）。）。图（c）d x 2 1 1 2图（d）2211 d d ;0 xxX常量2211 minmax2T22d)ds(T积。为厚度中线所包围的面 21dds 下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm，b=75mm，厚度t=5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000Nm，试求此杆的最大剪应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：batMPa42107550525000 229minmaxabtTT轴向拉压扭 转内力分量内力分量轴力FN扭矩T应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量AFN PIT maxmaxPWT强度条件 maxmaxAFNPWTmax 变形公式EALFLNPGITLj jEAFN PGITj j位移截点或截面的线位移截面的角位移刚度条件 EAFN jj0180PGIT应变能EALFVN22 21vPGILTV22 gg 21v
