1、习题课件习题课件习题课件线性代数线性代数向量组线性相关性习题讲解向量组线性相关性习题讲解习题课件习题课件习题课件第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、要点复习一、要点复习二、作业讲解二、作业讲解三、典型例题介绍三、典型例题介绍习题课件习题课件习题课件一、要点复习一、要点复习一个向量可由一组向量线性表示一个向量可由一组向量线性表示一组向量可由另一组向量线性表示一组向量可由另一组向量线性表示两组向量可相互线性表示（等价）两组向量可相互线性表示（等价）向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关线性相关线性无关线性无关线性表示线性表示习题课件习题课件习题课件向量组的极大线性无关组向量
2、组的极大线性无关组向量组的秩向量组的秩线性方程组解的结构线性方程组解的结构基础解系基础解系利用基础解系表示线性方程组的通解利用基础解系表示线性方程组的通解线性方程组的解的各种情形的判断线性方程组的解的各种情形的判断齐次线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组习题课件习题课件习题课件1.向量的基本定义和运算向量的基本定义和运算。，负向量，。或记为维向量组成的有序数组称为个数：由nnnnnnnnnnnkakakakbababaaaabababakbbbaaaaaaaaanaaan,2122112122112121212121)(R定义定义习题课件习题课件习题课件2.线性表示线性表示
3、这两个向量组等价。可相互线性表示，则称与向量组若向量组线性表示。可由向量组线性表示，则称向量组组中每个向量都可由向量，若：，：维向量组设线性表示。可由向量组则称向量，使，如果存在一组数维向量设BAABABBAnkkkkkknsst21s21s21s21s21,2121定义：定义：定义：定义：式。的线性方程组求出表示个相应线性表示。同时可用一可由向量组），则（）（）若（线性表示。不可由向量组），则（）（）若（，化为，用将向量的秩是否相等。与矩阵矩阵线性表示的方法：可否由向量组判断向量s21s21s21s21s21s21RRRR,2,1,BABABA行阶梯形行阶梯形初等行变换初等行变换按列组成矩阵
4、按列组成矩阵习题课件习题课件习题课件3.线性相关、线性无关线性相关、线性无关才能使得上式成立）。线性无关（即只有否则，称向量组线性相关；则称向量组，使零的数，如果存在一组不全为维向量组对于0,212121ssskkkkkkkkkns21s21s21s210定义：定义：线性相关性的方法：维向量组判断s21,n线性无关。，则向量组）若（线性相关。，则向量组）若（的秩求出。秩与向量个数比较矩阵、s21s21s21s21,2,1,1srsrrsA习题课件习题课件习题课件）线性无关。（此时，则向量组）若（）线性相关。（此时，则向量组）若（的行列式进行判断，是方阵，可用时，矩阵、当sAAsAAAAns)(
5、,02)(,01,2RRs21s21s21）线性相关。（此时时，向量组、当snAns)(,3Rs21线性无关。线性无关，则向量组反之，若向量组线性相关；线性相关，则向量组若向量组表示，且表示式唯一。向量组可由线性相关，则向量线性无关，而向量组设向量组其余向量线性表示。个可由是：向量组中至少有一）线性相关的充要条件（向量组s21t1ss21t1ss21s21s21s21s21s21,2,定理：定理：定理：定理：定理：定理：s习题课件习题课件习题课件4.向量组的极大线性无关组和秩向量组的极大线性无关组和秩秩。等价的向量组有相同的为向量组的秩。组所含向量的个数，称向量组的极大线性无关。的一个极大线性
6、无关组为向量组则称该部分组表示，中的任一向量都可由）向量组（线性无关；）（满足的部分组若向量组性质：性质：定义：定义：定义：定义：AAAs21s21s21s21,2,1,习题课件习题课件习题课件的行向量组的秩。于的列向量组的秩，也等的秩等于矩阵AAA定理：定理：线性无关组。组的秩，求出一个极大）非零行的个数为向量（化为行阶梯形；）用初等行变换将（；阵）将各向量按列组成矩（关组：的秩和一个极大线性无求向量组321,AAs21习题课件习题课件习题课件5.线性方程组解的结构线性方程组解的结构为任意常数。，其中注：通解可表示为组成。个向量有非零解，基础解系由，则）若（只有零解；，则）若（，的秩的系数矩
7、阵元齐次线性方程组如果的一组基础解系。是则称表示，线性的任一解都可由）（线性无关，）（的一组解向量，且满足是设。的解，是的解，则是若的解。是的解，则是若齐次线性方程组rnrnkkkkkkrnnrnrrnrkk,21)(,2,1,2121r-n21r-n21s21s21s21s212121x0Ax0AxARA0Ax0Ax0Ax0AxR0Ax0Ax0Ax0Ax0Ax定理：定理：定义：定义：性质：性质：性质：性质：习题课件习题课件习题课件为任意常数。其中，的通解可表示为的一组基础解系，则的导出组是的一个特解，是非齐次线性方程组设的解。是的解，则是的解，是若的解。是的解，则是若的导出组或对应的齐次线性
8、方程组称为与非齐次线性方程组rnrnkkkkkk,2121r-n21r-n212121xbAx0AxbAxbAxbAx0AxbAx0Ax-bAx,bAxbAx0AxbAx定理：定理：性质：性质：性质：性质：习题课件习题课件习题课件二、作业讲解二、作业讲解1.设向量2.，TT)57,54,1()7,4,5(51)23()(251。TT)513,56,1()13,6,5(51)(3)23(51，T)4,3,2,1(,)3,0,2,1(T及求.32 解,)7,3,4,0(T。TTT)1,6,2,5()9,0,6,3()8,6,4,2(32,)1,0,1(23)4,2,2(，求向量，设TT解习题课件习
9、题课件习题课件3.试将向量.91411910051103011611151103011)2(321所以，解（1）表示为其他向量的线性组合：.222100020100100101000101111201110001110001100010001120111011114321所以，TTTTTTTTT1,1,0,1,1,1,1,0,1,6,5,320,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,2,013214321）（）（习题课件习题课件习题课件4.解线性表示？不能经为何值时，线性表示？可经为何值时，问设321321321,1,6,1,8,7,3,5,3,2,2,7,TTT
10、Ta，150005310713256205310713218526737132aaa线性表示；可经时，所以，当321,15a线性表示。不能经时，当321,15a习题课件习题课件习题课件。，)(21)(21)(21313322211,111111111,321321。212100212121021,111111111,3211321321重点5.解 .,:,:321332123211321321线性表示用向量组，试将向量组，线性表示为：可由向量组已知向量组BAAB习题课件习题课件习题课件6.判断下列向量组的线性相关性：，016022202220)1(所以，向量组线性无关.，00000012035
11、18160510012240351113102315351351102315113)2(关。，所以，向量组线性无32 R解TTTTTT)3,1,3,1(,)5,0,1,1(,)1,2,5,3()2()0,2,2(,)2,0,2(,)2,2,0()1(321321习题课件习题课件习题课件7.,1,8,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,324321线性无关向量组取何值时问TTTTaaaa解),2)(1)(1(6811411211111132aaaaaa时，向量组线性无关。且所以，当21,1aaa习题课件习题课件习题课件,50017023167017023123312231时，向量组线性相
12、关。所以，当5。213717118.解.,3,2,2,1,3,3,2,1213321321的线性组合表示为并把线性相关，取何值时，问已知TTT习题课件习题课件习题课件9.，使得设有一组数0 0)()(,2121kkkk，即0 0)()(2121kkkk，线性无关可知由向量组0,0,2121kkkk，则0,021kk线性无关。故向量组,证明.,线性无关组线性无关，证明：向量已知向量组习题课件习题课件习题课件10.0,0,)32()(,321321kkkkkk使得设有一组数0 0,3323213)2()(kkkkkk即，线性无关可知由向量组03,02,0,332321kkkkkk，则0,0,032
13、1kkk线性无关。故向量组,32证明.32,线性无关组线性无关，证明：向量已知向量组,习题课件习题课件习题课件.,321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线线性性无无关关，故故有有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证习题课件习题课件习题课件02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行.,0 321321线线性性无无
14、关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 习题课件习题课件习题课件11.求下列向量组的秩和一个极大线性无关组：TTTTTTTT)6,0,3,5(,)1,1,2,2(,)0,0,1,1(,)1,1,1,1()2()3,2,1,2(,)2,10,5,3(,)1,2,1,2(,)2,6,3,1()1(43214321解,000000007450232174501481007450232132122102615132321)1(，所以，向量组的秩2R。一个极大线性无关组为21,，）（000080005310521160005310800052116101010132115
15、2112，所以，向量组的秩3R。一个极大线性无关组为421,习题课件习题课件习题课件12.关组。的秩和一个极大线性无性相关？此时，求出它为何值时，该向量组线）当（性无关？为何值时，该向量组线）当（设向量组ppppTTTT21),10,6,2(,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(4321解，2000070041202311674012460412023112131015162312311ppppp。时，该向量组线性相关）当（。时，该向量组线性无关）所以，当（2221pp。为，一个极大线性无关组秩为321,3R习题课件习题课件习题课件13.,21212121线性无关线性表示
16、，证明：能由维单位向量组维向量组，已知是一个设nnnnnn解线性表示；可由故向量组线性表示，维单位向量组维向量都可由由于任一nnnnn,212121线性表示，能由又已知nn,2121等价。与向量组故向量组nn,2121线性无关，维单位向量组而nn,21线性无关。从而，故nnnnRR,),(),(212121习题课件习题课件习题课件.0AAATnmnm，证明：矩阵，且是设14.矩阵，是nnTAA，而nmRRRTT)(),(min)(AAAA。T0AA所以证明习题课件习题课件习题课件15.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示方程组的通解：.019248303254034204653
17、)2(0020243)1(432143214321432142143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，；，解(1)，系数矩阵020016402431101112112431A，原方程组同解于02064024334324321xxxxxxxx，得到一组基础解系取自由未知量10414514x。为所以，原方程组的通解Rkk,x习题课件习题课件习题课件(2),000000005610342110122015183056103421192483325434214653A系数矩阵，原方程组同解于05603424324321xxxxxxx，得到一组基础解系取自由未知量105
18、7,016810,012143xx。为所以，原方程组的通解Rkkkk212211,x习题课件习题课件习题课件16.求下列非齐次线性方程组的通解（用其导出组的基础解系表示）：.81095724533223132)2(0895443313)1(4321432143214321111111111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，；，习题课件习题课件习题课件解(1),000001764011311089514431311311bA增广矩阵，原方程组同解于1764134324321xxxxxxx；，得到一个特解取自由未知量0041450043xx，同解于对应的齐次线性方程组
19、0764034324321xxxxxxx；，得到一组基础解系取自由未知量104743,01232310,012143xx。原方程组的通解为Rkkkk212211,x习题课件习题课件习题课件(2)000000200039131024511638262037131039131024511810957245113322311312bA增广矩阵，原方程组同解于02391324544324321xxxxxxxx；，得到一个特解取自由未知量003103x习题课件习题课件习题课件，同解于对应的齐次线性方程组02091304544324321xxxxxxxx；，得到一组基础解系取自由未知量0113813x。原
20、方程组的通解为Rkk,x习题课件习题课件习题课件).(56,2,1,432121214321ARAoAxbAxoAx矩阵，求为如果设的基础解系？是不是方程组）；（）问：（的两个解向量，是方程组的一个基础解系，是方程组已知17.解（1）是（2）不是 的解，且线性无关。）都是（oAx2121,个向量）是而个向量，的基础解系包含（3,24321oAx 325AR（3）即个向量，的基础解系包含（有非零解时，)(52)(ARARoAxn习题课件习题课件习题课件，求该方程组的通解。，解向量，且是它的三个，的系数矩阵的秩为元非齐次线性方程组设TTbx)4,3,2,1()5,4,3,2(,34321321A1
21、8.个解向量，基础解系中包含的次线性方程组由已知可得，对应的齐134 oAx的一个解，是而oAxT)6,5,4,3()(2321。的通解可表示为故方程组Rkkbx,1xA解）（)()(3121习题课件习题课件习题课件三、典型例题介绍三、典型例题介绍1.2,0,1,5,2,0,3,2,1321的线性相关性判断向量组TTT解 线性相关。，所以秩，为列构造的矩阵以法一：利用矩阵的秩321321,32)(000220101253022101,)(AAR线性相关。，所以为列构造的行列式以式法二：利用方阵的行列321321,0253022101,)(A习题课件习题课件习题课件.,133221321也线性无
22、关线性无关，试证：设向量组2.也线性无关。所以，即，所以方程组只有零解由于系数行列式线性无关，所以由于已知，即，使得设有一组数（法一：利用定义）133221321322131321332221131133322211321,0,0,00110011101,0,0,0,)()()()()()(,00kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk证明 习题课件习题课件习题课件 也线性无关。，故所以，线性无关，故又；所以可逆，所以由于，则，令）（法二：利用矩阵的秩133221321321321321321321321133322211,3,3,11001110102110011101110011101,
23、RRRR习题课件习题课件习题课件也线性无关。故所以线性无关，等价，又与向量组所以向量组，可逆，所以由于，则，令的等价）（法三：利用向量组的1332213213213213213213211321321321133322211,3,110011101,11001110102110011101110011101,RR习题课件习题课件习题课件。线性表示？证明此结论能否由）（；线性表示？证明此结论能否由）（线性无关，问：线性相关，设向量组3214321432321,2,1,证明（1）3.线性表示。可由故线性相关，又线性无关，线性无关，所以因为32132132432,线性表示。不能由故，线性相关，与已知
24、矛盾即，得，代入上式，使得即存在一组数线性表示，可由可知由，使得即存在一组数线性表示，能由假设3214432332122114322112132133221143213214,)()(,)1(,klkklkllllkkkkkk（2）习题课件习题课件习题课件.,10614,1062,2123,1531,3111432143214321其表达式线性表示？若能，写出可否由线性无关？此时满足什么条件时，问当设ppp4.解 线性无关。，所以时，当43214321,4),(2Rp,1200010100232211042311102136101511623142311,4321pppp线性表示，可由，所以此
25、时，432143214321,),(),(RR。4321212432pppp习题课件习题课件习题课件5.13513,45705,32212,21321,43214321合，其中大线性无关组的线性组并将其余向量表示成极，指出该向量组的秩，的一个极大线性无关组求向量组解,0001300025000120000113513457053221221321,4321。是一个极大线性无关组，434321,2,R习题课件习题课件习题课件,0001100021000100000100013000250001200001继续化简，得。，故2132132习题课件习题课件习题课件6.,2,1,212121线性无关）
26、（线性无关；）（，证明：方程组的一个基础解系是对应的齐次的一个解，是非齐次线性方程组设rnrnrnbAx证明（1）线性无关。故矛盾。，与的一个解，则是而，则，使得即存在线性表示，可由线性无关，则一个基础解系，故的是齐次方程组线性相关，因为假设rnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnkkkkkkkkkkkk0b0bbAx0AAAAA0Ax,)(,212211221122112121212121习题课件习题课件习题课件（2）线性无关。，所以即则即，使得设有一组数rnrnrnrnrnrnrnrnrnrnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk00,0000,)()()()(,212
27、1121221121221121习题课件习题课件习题课件7.；）（；）（；）（；）（的通解为为任意常数，则方程组的基础解系，方程组是对应齐次线性的两个不同的解，性方程组是非齐次线已知2)(2)(2)(2)(,2121211212121121212112121211212121bAx0AxbAxkkDkkCkkBkkAkkk解 的解；不是而的一个解，是，故bAxbAxbAAA222121)2(21212121。）（故选的一组基础解系；关，不一定是的解，但不一定线性无是的一组基础解系；的解，且线性无关，是是B0Ax0Ax0Ax0Ax211211,习题课件习题课件习题课件8.解 的通解。线性方程组，
28、求，如果线性无关，维向量，其中均为，已知四阶方阵Ax2A432132143243214321,4,个解向量，的基础解系只包含，秩为的，所以无关，且线性由于1343302134,43214320AxA的一个解；为齐次线性方程组可知又由0Ax00121024321习题课件习题课件习题课件的一个解；方程组为非齐次线性可知再由AxA111111111111,43214321为任意常数。，其中的通解为故线性方程组kk01211111xAx习题课件习题课件习题课件9.解 时求出通解。穷多解？并在无穷多解有唯一解、无解、有无，方程组取何值时，非齐次线性13213212321xxxxxxxxx),2()1(1111112时，有唯一解；且当21此时方程组无解；，时，当1110120110011242111211122习题课件习题课件习题课件为任意常数。其中通解为，得到一组基础解系，取自由未知量方程组同解于，时，当2122112132321,101011100100010010010011111111111111kkkkxxxxxx
