1、 第第 二二 十十 三讲三讲 .自旋自旋 (1)(1)考虑自旋后，状态和力学量的描述考虑自旋后，状态和力学量的描述 A.A.自旋波函数（电子的自旋态）自旋波函数（电子的自旋态）对于对于 的本征方程为的本征方程为在其自身表象在其自身表象 ssszmmmSzS 而相应本征态的表示为而相应本征态的表示为10012)S(z 01)21S(21z 10)21S(21z 是是 的本征值为的本征值为 的本征态在表象的本征态在表象 中的表示中的表示 ；是是 的本征值为的本征值为 的本征态在表象的本征态在表象 中的表示中的表示 。显然显然 正交正交 对于任何一旋量对于任何一旋量 在表象在表象 中，其表示为中，其
2、表示为 2)S(z 2)S(z zS2zSzS2zS ,zS而而 和和 可由可由 与与 标积获得标积获得 2()2(2121aa 212121212121aaaa21a21a ,212121aaa)0,1(B.B.考虑自旋后状态的描述考虑自旋后状态的描述 由于电子除了由于电子除了 之外，还有第四个之外，还有第四个 动力学变量动力学变量 ，它的特点仅取二个值，而，它的特点仅取二个值，而 。所以，可在表象所以，可在表象 中表示中表示体系波函数。体系波函数。对处于某状态对处于某状态 的体系可按自旋波函数的体系可按自旋波函数展开。展开。212121aaa)1,0(z,y,xzS0S,r z)S,r(z
3、 代表体系处于代表体系处于 而自旋向上的几率密度而自旋向上的几率密度 代表体系处于代表体系处于 而自旋向下的几率密度而自旋向下的几率密度 如同一般变量可分离型一样，当如同一般变量可分离型一样，当 对对 和和 是变量可分离型的，则其特解为是变量可分离型的，则其特解为 rd)t,r()t,r()t,r()t,r(21212121 221 r221 r HrzS)S()t,r()t,S,r(zz 则则 表象表象 中的表示为中的表示为 若若 是归一化的态矢量，则是归一化的态矢量，则)S,r(z )t,r()t,r()t,2,r()t,2,r()m,r(2121s)t,r()t,r(2121 ssmm,
4、rm,rrds C C考虑自旋后，力学量的表述考虑自旋后，力学量的表述 在在 表象中，表象中，直接由直接由 在在 表象中表示来获表象中表示来获得表象得表象 中的表示中的表示 )S,r(z )rr()P,r(L),P,r(L)P,r(L),P,r(L)S,rLS,r(22211211zz)S,P,r(LizS)S,r(z 对任一算符的平均值为对任一算符的平均值为 dLLrdLLLL),(212122211211*21*21 rdL2111*21 rdL2112*21 rdL2121*21 rdL2122*21 （2 2）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方
5、程方程 A.A.动能项动能项 在非相对论极限下，电子的动能为在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到并注意到 2p T2 0B,A,)BA(iBA)B)(A(我们有我们有 而置于电磁场中时，则而置于电磁场中时，则 p 21p T )Aep (21)Aep(T )Aep ()Aep (2i)Aep (212 B.B.自旋轨道耦合项自旋轨道耦合项 由由DiracDirac方程可以证明，当电子在中心力场方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋轨道耦合
6、项（现自旋轨道耦合项（ThomasThomas项）（核提供的库项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致）仑屏敝场和自旋的作用导致），B2e)AeP(212 LS)r(dr)r(dVr1cm21)r(22e C C电子置于电磁场中的哈密顿量电子置于电磁场中的哈密顿量 D.D.处于中心场中的电子，并置于电磁场处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为中的薛定谔方程为 )B(2eLS)r()r(Ve)AeP(21H2 )B(eLS)r()r(Ve)AeP(ti2212 应该注意，在应该注意，在 表象中，这时表象中，这时 是两是两分量的，即分量的，即 （1 1，2 2，3 3项是对角矩阵）项是对
7、角矩阵）)S,r(z 2121 2121222112112121HHHHti .碱金属的双线结构碱金属的双线结构 引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象中的现象 （1 1）总角动量）总角动量 A.A.总角动量总角动量引入：当考虑电子具有自旋后，引入：当考虑电子具有自旋后，电子在中心力场中的电子在中心力场中的 Hamiltonian Hamiltonian为为 SL)r()r(VP21H2 由于自旋轨道耦合项，由于自旋轨道耦合项，和和 都不是运动都不是运动 常数常数.
8、dr)r(dVr1cm21)r(22 LS L,LSL,LSSL,LyzyxzxzxyyxSLiSLiS,SLS,SLSL,SyzyxzxzxyyxLSiLSi因此，因此，()()不能构成力学量完全集不能构成力学量完全集 但但 即即 引入引入 而而 0SL,LSzz 0SL,SLSLJ kijkjiJiJ,J zz2S,L,L,H由于有心势由于有心势所以，所以，彼此对易彼此对易0SL,J0SL,J20L,J20L,J220J,J20 J,H0J,H2z22J,J,L,H 因此因此 可作为力学量的完全集可作为力学量的完全集（如无（如无 ，可选，可选 ）B.B.的共同本征矢的表示的共同本征矢的表示
9、（在（在 表象中）表象中）)J,J,L,H(z22SL)S,L,L,H(zz2)J,J,L(z22zS,),(),()2,()2,()S,(21z 1.它是它是的本征函数的本征函数 取取 zJ21j21zm)J(2j1j21z)21m()21m()L(22j2z11j1z)1m()21m(Lm)21m(L 21mmj 2 2它们是它们是 的本征函数的本征函数因此因此 3 3由由 2L 2122121)l(lL 1lmlmzbYaY)S,()S,()S,(Jz2z2 在在()表象中矩阵表示表象中矩阵表示xxyyzz2222LS2LS2LS2SL)SL(JzS,z22yxyxz222L43L,)L
10、iL()LiL(,L43LJbaba 1m43)1l(l,)1ml)(ml()11ml)(1ml(,m43)1l(l 0143111431 m)l(l,)ml)(ml()ml)(ml(,m)l(l 0)41l)(43l 2l()21l 2l 2(2222 )l)(l()ll(23214322 )l)(l()l(2121412 即得即得 的本征值的本征值1m,lm,lzljmYmlY1ml1l 21)S,(j 21lj21mmj1lml21lj2J21)j(j 由此可见，由此可见，取确定值取确定值 ，而，而 不不具有确定值，它们取值为具有确定值，它们取值为21mmjlm1lzJjmzzL,S m
11、21)1m(211m,lm,lY1mlYml1l 21)S,(zljmj 事实上，上述就是事实上，上述就是 基矢以基矢以 基矢展开。基矢展开。z222J,J,S,Lzz22S,L,S,L21lj21mmj21,S1m,l1l 2ml21,Sm,l1l 21mlm,j,S,lj21lj21mmj即从即从 A A 表象表象 B B 表象表象 a,b 就是平常称的幺正变换系数就是平常称的幺正变换系数)S,S,L,L(z2z2)J,J,S,L(z222AB)S(ABA)S(AB2111212112 ,Sm,llml,Sm,llmlm,j,S,lj 于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其于是在中心势中，
12、考虑了电子的自旋，则其特解特解 sljBAm21,m,lm,j,l21S jjljmnljnljmR jjnljm2nljm2)1l(lL 例例：电四极矩：电四极矩 电四极矩算符电四极矩算符 在原子物理和原子核物理中，测量的电四极在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为矩给出的值的定义为（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状）号，反映了体系的形状）先看先看 )rxx3(qQqQij2jiijij jmjzzjjm,j,l,nQm,j,l,nQm,l,nQm,l,nQzzm,l 由由 )1m,lcosm,l3(l,
13、nr l,nq22 m,1lam,1lam,lcosm,1lm,l)3l 2)(1l 2(m)1l(a22m,l 1)aa(3rqQ2m,1l2m,l2m,l 而而注意到注意到 与自旋无关，而与自旋无关，而 是正交的是正交的)3l 2)(1l 2(m6)1l(l 2rq22jljmnljjzRnljmS,r)bYaY(R1lmlmnlj zzQ ,jmjzzjjnljmQnljmQ1lmQ1lmblmQlmarqzz2zz22)3l 2)(1l 2()1m(6)1l(l 2b)3l 2)(1l 2(m6)1l(l 2a rq22222)1j(2j21rq2 1212121lmljlmljmmj
14、mjj而注意drRrnljrnljr2nlj422 由此可见，由此可见，时，时，这是由于算符，这是由于算符 是角动量为是角动量为2 的算符。的算符。当它作用于当它作用于 后，态将从后，态将从当当 ，则，则 将将 ,21j0Q zzQjm,jjm,jjm,2jjm,2jzzQ21jjm,21jm,25jm,23 2 2 2 2 2 所以所以,与与 正交。因此，这时在带电正交。因此，这时在带电体外，显示体外，显示“电荷电荷”是球形分布。是球形分布。（2）碱金属的双线结构）碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。
15、子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。所以，所以，价电子的哈密顿量为价电子的哈密顿量为 jm,21 SL)r()r(V2PH2 如选力学量完全集如选力学量完全集 （运动常（运动常数的完全集）数的完全集）则则 dr)r(dVr1c21)r(22 EH)J,J,L,H(z22),()r(Rjjljmnljnljm 由于 jjljm222ljm)SLJ(21)LS(jljm)l(l)j(j 2431121212121222 ljlljljjljmljm 可表为 jjnljmnljnljmEHnljnlj2nlj222R)r(VRr2)1l(l)rR(drdr12 212121222 ljljRER)
16、r(lR)r(lnljnljnljnlj 因因 为吸引势为吸引势（它为负值，（它为负值，）所以所以 即即 。因此，。因此，根据根据Hellmann-FeynmanHellmann-Feynman定理可证定理可证 )r(V0)r(V0)r(Vr 0)r()r(21l)r(V)r(2l)r(V22 2121 lnljlnljEE 212323211jjEE,j,l则则如如 能级能级 这即观测到纳光谱的双线结构。这即观测到纳光谱的双线结构。7.4 7.4 两个自旋为两个自旋为 的粒子的自旋波函数，的粒子的自旋波函数，纠缠态，纠缠态 (1)(1)表象中表象中,两各自旋为两各自旋为 的粒的粒 子的自旋波
17、函数子的自旋波函数 设：两粒子的自旋分别为设：两粒子的自旋分别为 。显然，如。显然，如 2121 l,l,nl,l,nnlEEE2121S,S)S,S(z2z121选选 表象，则可能的态为表象，则可能的态为 (2)(2)表象中两自旋为表象中两自旋为 的粒子的的粒子的自旋波函数自旋波函数 如令如令),()(21 )()(21 ),()(21 )()(21 )S,S(z221SSS)S,S(z2z121则则 满足角动量的对易关系满足角动量的对易关系并有并有 可选可选 为力学量的完全集为力学量的完全集 由由 iSkijkjiSiS,S)S,S(z20S,Sz22122212212SS2SS)SS(S
18、212SS223212212144SS6)SS)(SS(449S2122122212123 )(i)(B,A)BA(iBA)B)(A(则则有有对对易易）与与（根根据据2124212121163SS)SS(SS(）令令 是是 的本征态的本征态 212212444SS6SS24349S2214SS43224S2S 2S 22S ，所以所以 于是有于是有 44242)S(0)2(0)11(12)01(00 这时有这时有 四个态四个态 ssm1sm1zmS 1,0,1ms0S002 0S00z 0ms 11 10 11 00 sssm12m12m122)11(1S 显然显然而而由由因此因此 0)2()
19、1(Sz 0)2()1(Sz 2122S,S223S1S1)1(21P222112 )()(2111 )()(2111 当当 直接得直接得 1 Sssm1m112P 0 S000012P sssmsm12 1)1S(SP 21211212112121212121 yyxxzz)(即即即即所以所以 是交换算符是交换算符 21211212112121212121 yyxxzz)(12P)2()1()2()1(P12 )2()1()2()1(P12 因此因此 它们被称为纠缠态。它们被称为纠缠态。纠缠态：体系的态矢量仅能表示为它的各部纠缠态：体系的态矢量仅能表示为它的各部分态矢量直乘的叠加态分态矢量直
20、乘的叠加态)2()1()2()1(2100 )2()1()2()1(2110 为自旋三重态为自旋三重态（对称的）（对称的）为自旋单态为自旋单态 （反对称的）（反对称的）当两自旋为当两自旋为 的全同粒子，其相互作用对的全同粒子，其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为2100 sm1)S,S()r,r(u)S,r,S,r(z2z121z22z11 但是，这并不是体系可处的状态。微观世界但是，这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律，使体系波函数不能完全任意选还有一重要规律，使体系波函数不能完全任意选择，这就是微观粒子的全同性问题。择，
21、这就是微观粒子的全同性问题。(3)(3)表象中两自旋为表象中两自旋为 的粒子的自旋态的粒子的自旋态-Bell-Bell基基 若取若取 显然显然zzA21 xxB21 0 B,A xxzz,2121 21 于是可选于是可选 的共同本征态作为两自旋的共同本征态作为两自旋为为 粒子的自旋态粒子的自旋态121 )()(A121 )()(A121 )()(A121 )()(A 10010110 x B,A21)()()()(B2121 )()()()(B2121 01100110 x)()()()(B2121 )()()()()()()()(B21212121 )()()()()()()()(B2121
22、2121 )()()()(jiBA212121 )()()()(B2121 它们也都是纠缠态它们也都是纠缠态)()()()(jiBA212121 )()()()(jiBA212121 )()()()(jiBA212121 7.5 全同粒子交换不变性波函数具有确定的全同粒子交换不变性波函数具有确定的 交换对称性交换对称性 各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为电子，质子，介子，电子，质子，介子，等等。实验证明等等。实验证明每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）。的质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按经典物理中，我们能按轨道来区分同一类粒子。轨道来区分同一类粒子。但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数或根它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数或根
