1、微微 积积 分分 为解决非均匀分布在区间上的量的求和问题为解决非均匀分布在区间上的量的求和问题导致了定积分的研究，其被积函数是一元函数，导致了定积分的研究，其被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间要解决非均匀分布在积分范围是直线上的区间要解决非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题，就导致了多平面、空间立体上的量的求和问题，就导致了多元函数的积分概念，根据被积函数和积分范围的元函数的积分概念，根据被积函数和积分范围的不同分为二重积分、三重积分、曲线积分和曲面不同分为二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分本章将介绍二重积分和三重积分的概念、积分本章将介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算
2、方法和它们的一些应用性质、计算方法和它们的一些应用 重积分重积分微微 积积 分分第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结 思考题思考题微微 积积 分分复习和总结复习和总结（1 1）定积分是用来解决哪一类问题？）定积分是用来解决哪一类问题？（2 2）解决这一类问题采用了什么思想方法？）解决这一类问题采用了什么思想方法？baxxfd定积分定积分答：答：求求非均匀分布非均匀分布在在区间上区间上的量的的量的求和问题求和问题 被积函数是被积函数是一元函数一元函数，积分范围是
3、，积分范围是直线上的区间直线上的区间答：答：“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”kknkdbaxfxxf 10limd微微 积积 分分现要求解现要求解非均匀非均匀分布在分布在平面平面、空间立体上空间立体上的量的的量的求和问题求和问题推广推广所计算的量与所计算的量与多元函数多元函数及及平面平面或或空间区域空间区域有关有关被积函数被积函数积分范围积分范围二元函数二元函数平面区域平面区域二重积分二重积分三元函数三元函数空间区域空间区域三重积分三重积分一段曲线一段曲线曲线积分曲线积分一片曲面一片曲面曲面积分曲面积分问题问题:积分类型积分类型微微 积积 分分引例引例1 1求平面薄片的质量求
4、平面薄片的质量i),(iixyo分析分析r=常数常数时，质量时，质量=r r ，r其中其中 为面积为面积.若若r r 为为非常数非常数,仍可用仍可用“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”解决解决.微微 积积 分分解决步骤解决步骤分割：分割：将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，近似：近似：取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，求和：求和：所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM r r 取极限：取极限：得薄片总质量得薄片总质量i),(iixyo微微 积积 分分柱体体积柱体体积=底面积底面积
5、 高高【特点特点】平顶平顶.柱体体积柱体体积=？【特点特点】曲顶曲顶.),(yxfz D1 1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积D),(yxfz 引例引例2 2：曲顶柱体的体积：曲顶柱体的体积微微 积积 分分类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底底：xoyxoy 面上的闭区域面上的闭区域D D顶顶:连续曲面连续曲面侧面侧面：以以D D的边界为准线的边界为准线 ,母线平行于母线平行于z z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”D),(yxfz 解法解法微微 积积 分分步骤如下步骤如下取近似、取近似、
6、求和：求和：用若干用若干个小平顶柱体体积之和近似表个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii分割：分割：先分割曲顶柱体的先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 得曲顶柱体的体积得曲顶柱体的体积取极限：取极限：),(yxfz ),(iif i ),(ii 微微 积积 分分两个问题的两个问题的共性共性：(1)(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”niiiifV10),(lim niiiiM1
7、0),(lim r r 曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:微微 积积 分分二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性1.1.定义定义 ),(yxf设设将区域将区域 D D 任意任意分成分成 n n 个小区域个小区域),2,1(nii 任取任取一点一点,),(iii 若存在一个常数若存在一个常数 I I,使使 niiiifI10),(lim 可积可积 ,),(yxf则称则称Dyxfd),(),(yxfI为为称称在在D D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量称为积分变量yx,积分和积分和Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元
8、素记作记作是定义在是定义在有界有界闭区域闭区域 D D上的上的有界有界函数函数 ,微微 积积 分分.),(的的从而二重积分都是存在从而二重积分都是存在上连续上连续在所论有界闭域在所论有界闭域以后总假定以后总假定Dyxf 2.2.对二重积分定义的说明对二重积分定义的说明(3)(3)f(x,y)f(x,y)在在 D D 上上有界有界是二重积分存在的是二重积分存在的必要条件必要条件.0 i 代替代替0？不能不能连续连续是二重积分存在的是二重积分存在的充分条件充分条件用用(1)(1)积分存在时，其值与区域的分法和点积分存在时，其值与区域的分法和点 的取法无关的取法无关),(ii 微微 积积 分分3.3
9、.【二重积分的几何意义二重积分的几何意义】4.4.【物理意义物理意义】表表曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.1)1)若若),(yxf ,0 表表曲顶柱体体积的负值曲顶柱体体积的负值.2)2)若若),(yxf,0 3)3)若若 ,1),(yxf Dyxf d),(Dyxf d),(D d1表表区域区域D D 的面积的面积.体体积积的的代代数数和和(,)d Dx yrr在物理上表示的的平平面面薄薄片片的的质质量量占占有有平平面面区区域域面面密密度度为为Dyxf),(微微 积积 分分 注注 1.1.重积分与定积分的重积分与定积分的区别区别：重积分中重积分中d d 0 0,定积分中定积分中d dx x 可
10、正可负可正可负.2.2.根据分割的任意性根据分割的任意性，当二重积分存在时当二重积分存在时，在直角坐标，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D D dd),(d),(DDyxyxfyxfyxddd故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则直角坐标系下面积元素为则直角坐标系下面积元素为,常数常数x常数常数y即即DyxfVd),(引例引例2 2曲顶柱体体积曲顶柱体体积:DyxM r rd),(引例引例1 1平面薄板质量平面薄板质量:Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(r r微微 积积 分分性质性质1 1.d),(d),(DDyxfkyxkf性质性质
11、2 2Dyxgyxfd),(),(.d),(d),(DDyxgyxf（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质逐项积分逐项积分Dyxfkd),(Dyxgmd),(Dyxmgyxkfd),(),(线性线性性质可以推广至有限个函数的情形。性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质线性性质微微 积积 分分性质性质3 3对区域具有可加性对区域具有可加性.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf性质性质4 4 若若 为为 D D 的面积，的面积，.dd1DD性质性质5 5若在若在D D上上),(),(yxgyxf.d),(d),(DDy
12、xgyxf特殊地特殊地.d),(d),(DDyxfyxf则有则有比较性质比较性质),(2121无公共内点无公共内点DDDDD微微 积积 分分性质性质6 6性质性质7 7二重积分中值定理二重积分中值定理DMyxfmd),(),(d),(fyxfD二重积分估值不等式二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义几何意义微微 积积 分分8.8.二重积分的对称性定理二重积分的对称性定理则则轴轴，且且对对称称于于）若若（),(),(D1yxfyxfx D1.),(2),(Ddyxfdyxf 轴轴上上方方的的部部分分。位位于于是是其其中中xDD1 在利用
13、对称性计算重积分时，不仅积分区域要对称，而在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域要对称，而且被积函数也要对称（即对且被积函数也要对称（即对x x或或y y是奇或偶函数，二者缺一不是奇或偶函数，二者缺一不可。可。则则轴轴，且且对对称称于于）若若（),(),(D2yxfyxfx D.0),(dyxf微微 积积 分分轴右侧的部分。轴右侧的部分。位于位于是是其中其中yDD13D(,)(,)yfx yf x y （）若若对对称称于于 轴轴，且且则则 D1.),(2),(Ddyxfdyxf 则则轴，且轴，且对称于对称于）若）若（),(),(D4yxfyxfy D.0),(dyxf或左侧）的部分。或左侧）的
14、部分。轴右侧轴右侧位于位于是是其中其中(DD1y则则对称于原点，且对称于原点，且）若）若（),(),(D5yxfyxf D1.),(2),(Ddyxfdyxf 微微 积积 分分则则对称于原点，且对称于原点，且）若）若（),(),(D6yxfyxf D.0),(dyxfD,x y这这种种情情况况常常称称为为积积分分区区域域 具具有有关关于于积积分分变变量量的的对对称称性性,或或称称为为二二重重积积分分的的轮轮换换对对称称性性(即(即若若积积分分区区域域或或被被积积函函数数的的表表达达式式中中，将将其其变变量量互互换换，其其表表达达式式不不变变）。12D7D,(,)(,).,(,)(,).Dyxf
15、 x y df y x d（）若若 对对称称于于直直线线则则(,)(,).D12Df x y df y x dyxDD (或或对对称称于于直直线线的的两两部部分分区区域域记记为为和和微微 积积 分分例题例题8.18.1比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2)1()2(:22yxD积分域积分域D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx 2)1()2(22yx它与它与x x 轴交于点轴交于点(1,0),(1,0),.1相切相切与直线与直线 yx而区域而区域D位位,1 yx从而从而DDyxyxd)(d)(32于直线的上方于直线的上方,故在故在
16、D D 上上 1y2xo1D例例1 1解解微微 积积 分分16)(1),(2yxyxf例例8.28.2解解由于被积函数由于被积函数51)2,1(,41)0,0(fmfM所以所以 在在 D D 上的最大值上的最大值M M和最小值和最小值m m分别为分别为),(yxf又由于区域又由于区域D D的面积为的面积为 2 2，故知，故知2152 I微微 积积 分分例例8.38.3解解注意到积分区域注意到积分区域D D关于关于x x轴和轴和y y轴具有轮换对称性，于是轴具有轮换对称性，于是.24412d12d21d)()()()()()()()(21DDDbabababayfxfxbfyafyfxfybfxaf原原式式微微 积积 分分解解oxy121D2 yx1 yx例例4微微 积积 分分二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质（二重积分的性质（8 8条条）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）（积分和式的极限）四、小结四、小结二重积分的物理意义二重积分的物理意义（平面薄片的质量）（平面薄片的质量）二重积分的比较大小二重积分的比较大小 1.1.若区域若区域D D相同，则比较被积函数的大小；相同，则比较被积函数的大小；2.2.若被积函数相同，则比较区域若被积函数相同，则比较区域 D D 的大小的大小.
