1、2023-2-161一一 问题的提出问题的提出(Introduction)我们知道，导数是刻划函数在一点处变化我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该中值定理
2、揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。2023-2-162二二 微分中值定理微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理的核心是拉格朗日微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。是它的特例，柯西定理是它
3、的推广。1 预备定理预备定理费马（费马（Fermat）定理）定理.0)()(),()(000 xfxxfxbaxf可微，则可微，则在点在点且且取得最值，取得最值，内一点内一点在在若函数若函数 费马（费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。2023-2-163xyo)(xfy ab1 2 ba几何解释几何解释:.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一点点续续滑滑动动时时，就就必必然然经经过过，当当切切线线沿沿曲曲线线连连率率为为显显然然有有水水平平切切线线，其其斜
4、斜曲曲线线在在最最高高点点和和最最低低点点2023-2-164证明证明:达到最大值证明。达到最大值证明。在在只就只就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf 就有就有内内在在达到最大值，所以只要达到最大值，所以只要在在由于由于,0)()(00 xfxxf即即;0,0)()(00时时当当从而从而 xxxfxxf;0,0)()(00时时当当 xxxfxxf0)()(lim0)(000 x0 xxfxxfxf这样这样.0)()(lim0)(000 x0 xxfxxfxf0)(0 xf所所以以2023-2-165几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,的的在在该
5、该点点处处的的切切线线是是水水平平上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CABC2 罗尔(Rolle)定理(Rolles Theorem)罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f2023-2-166证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必
6、有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf2023-2-167,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有2023-2-168注注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满
7、足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;1,1,xxy例如例如,XY-110注注2:若罗尔定理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的是充分条件，不是必要的.1 011-)(2xxxxf0)0(f2023-2-169例例1 1.015有且仅有一个正实根有且仅有一个正实根证明方程证明方程 xx2）唯一性）唯一性,1)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.1)1(,1)0(ff且且由零点定理由零点定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的正实根即为方程的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10条件条件之间满足罗尔定理的之
8、间满足罗尔定理的在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f015)(4 xxf但但)1,0(x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根证：证：1）存在性）存在性2023-2-16103 拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.得得到到将将罗罗尔尔定定理理条条件件中中去去掉掉),()(b
9、faf).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成2023-2-1611ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba化归证明法化归证明法2023-2-1612作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足
10、足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2023-2-1613).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也可写成也可写成拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.推论推论1.)(,)(上是一个常数上是一个常数在
11、区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：),(,2121xxxxI 上上任任取取两两点点证证明明：在在)()()()(211212xxxxfxfxf 则则0)()(,0)(12 xfxff)()(12xfxf 即即.)(,21上上是是常常数数在在的的任任意意性性，所所以以由由于于Ixfxx2023-2-1614例例2 2.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xx
12、ffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即2023-2-16154 柯西(Cauchy)中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfbFaFbfaf成立成立.2023-2-1616几何解释几
13、何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba2023-2-1617,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)
14、(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf2023-2-1618例例4 4,0sin1)(,cos)(,2,0)(),(件件满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条上上连连续续、可可导导在在解解：xxgxxfxgxf121)0()2()0()2(ggff性。性。确确验证柯西中值定理的正验证柯西中值定理的正上上在区间在区间及及对函数对函数 2,0cos)(sin)(xxxgxxf xxxgxfsin1cos)()(sin1cos121 由柯西中值定理得由柯西中值定理得2023-2-1619 42tanx解方程解方程 4
15、arctan22nx解得解得21arctan24arctan200 xn时时，当当使使则有则有),2,0(),2,0(00 xx)()()0()2()0()2(gfggff 2023-2-1620三三 小结与思考判断题小结与思考判断题Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理2023-2-1621思考题思考题 1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立结论就可能不成立.2,)(),(件件满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条若若xgxf)()()()()()()()(gfabgabflagrangeagbgafbf 定理定理应用应用证：证：得得柯西中值定理可如下柯西中值定理可如下
