1、第4章 插值法 计算方法第第4章章 插值法插值法 1 插值问题插值问题2 线性插值与二次插值线性插值与二次插值3 代数多项式插值的存在唯一性代数多项式插值的存在唯一性4 代数多项式的余项代数多项式的余项5 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式6 牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式7 牛顿前差和后差插值多项式牛顿前差和后差插值多项式8 三次样条插值三次样条插值9 数值微分数值微分10 曲线拟合法曲线拟合法第4章 插值法 计算方法1 插值问题插值问题 设函数关系y=f(x)在区间a,b上给出一系列点的函数值 yi=f(xi),i=0,1,2,n (41)或者给出一张函数表,如表41所示。表 41
2、 第4章 插值法 计算方法 这里 ax0 x1x2xb 欲选择一个函数(x),使得 (xi)=yi,i=0,1,2,n (42)作为函数y=f(x)的近似表达式。第4章 插值法 计算方法 由于代数多项式具有形式简单,便于计算,且在某些情况下与给定的函数有较好 的逼近的特性,人们很早就用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。若仅限于求函数在x=x0附近的近似值,一个熟知的办法就是将f(x)在x=x0处 展成泰勒级数,即()00000(1)10()()()()()()!()()(1)!nnnnfxf xf xf xxxxxnfxxn第4章 插值法 计算方法 取前n+1项的部分和Pn(x)作为
3、f(x)的近似式,也即()00000()()()()()()!()nnnfxP xf xf xxxxxnf x第4章 插值法 计算方法2 线性插值与二次插值线性插值与二次插值 2.1 线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点x0,x1的值,即xx0 x1yy0y1第4章 插值法 计算方法 现要用一线性函数 (x)=P1(x)=ax+b (43)近似地代替f(x)。按照插值原则,式(42)应有0011axbyaxby因为x0 x1,所以a,b可唯一确定,且有1010100010yyaxxyybyxxx第4章 插值法 计算方法 代入式(43)得 1010
4、1010()()yyP xyxxxx(44)图 4.1 第4章 插值法 计算方法 因为P1(x)就是经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线方程,所以线性插值的几何意义为用经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线近似地代替曲线y=f(x),见图4.1。101010110()xxxxP xyyxxxx(45)第4章 插值法 计算方法 2.2 二次插值 二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项式插值之一。设已知函数f(x)的三个互异插值基点x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:xxo x1 x2yy0 y1 y2第4章 插值法 计算方法 现要构造一个二次函
5、数 (x)=P2(x)=ax2+bx+c (46)近似地代替f(x),并满足插值原则(42)P2(xi)=yi,i=0,1,2,(47)由(47)式得200021112222axbxcyaxbxcyaxbxcy(48)第4章 插值法 计算方法 由于方程组(48)中x0,x1,x2互异,则2002112221101xxxxxx 因此,a,b,c可唯一地确定。这样二次函数P2(x)也唯一地被确定。P2(x)就是我们要求的二次插值多项式。二次插值的几何意义是用经过三点A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x),见图4.2。第4章 插值法 计算方法 图 4.2 第
6、4章 插值法 计算方法3 代数多项式插值的存在唯一性代数多项式插值的存在唯一性 线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn (49)使其在给定的n+1个互异的插值基点上满足插值原则 Pn(xi)=yi,i=0,1,n (410)第4章 插值法 计算方法 这样的多项式是否存在并且唯一呢?回答是肯定的。根据插值原则式(410),代数多项式(49)中的各个系数a0,a1,an应满足下列n+1阶线性方程组2001020002101 121112012()()()nnnnnnnnnnnnnnP xaa
7、xa xa xyP xaa xa xa xyP xaa xa xa xy第4章 插值法 计算方法 其中未知量a0,a1,an的系数行列式为范德蒙特(Vander Monde)行列式200020111121(,)11nnnnnnnxxxV x xxxxxxxx由于插值基点xi(i=0,1,n)为互异,故 V(x0,x1,xn)0 因此,方程组(411)有唯一的一组解a0,a1,an,于是Pn(x)存在且唯一。第4章 插值法 计算方法4 代数多项式的余项代数多项式的余项 代数多项式Pn(x)仅为已知函数f(x)的一种近似表达式,用它来代替f(x)进行计算总会带来误差。一般说来,对插值区间a,b上插
8、值基点xi(i=0,1,2,n)以外的点,Pn(x)f(x)。若令 Rn(x)=f(x)-Pn(x)则 f(x)=Pn(x)+Rn(x)第4章 插值法 计算方法 我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余项。显然有 Rn(xi)=0,i=0,1,2,n 下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。定理设函数f(x)在区间a,b上具有n+1阶导数,Pn(x)为次数不高于n的多项式,且 Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 Pn(xn)=yn 第4章 插值法 计算方法 则对插值区间上的任何x,都存在(a,b),使得(1)11010()()()(1)!()()()()()nnnnnniifRxxnx
9、xxxxxxxx 这里(412)(413)证 当x=xi时,式(412)显然成立。当x(a,b)但不等于任一个插值基点时,作辅助函数11()()()()()()()nnnnf xP xF tf tP ttx第4章 插值法 计算方法 上式右端第一项f(t)有n+1阶导数,第二项是次数不高于n的多项式,当x取某一定 值时,第三项是变量t的n+1次多项式,因此F(t)有n+1阶导数。又在区间a,b上,F(t)有n+2个零点 t=x,x0,x1,xn 应用洛尔(Rolle)定理,在(a,b)内至少有0,1,n使得 F(i)=0,i=0,1,2,n 如此反复应用洛尔定理,可知在(a,b)内至少存在一点使
10、得 F(n+1)()=0第4章 插值法 计算方法 于是可得到公式(412)。利用公式(412)可以给出用多项式Pn(x)近似代替f(x)的误差估计。这里还得说明几点:(1)插值多项式本身只与插值基点及f(x)在这些基点上的函数值有关,而与函数f(x)并没有关系。但余项Rn(x)却与f(x)联系很紧。即(1)(1)1()()()()(1)!0()nnnnf xP xFfnx第4章 插值法 计算方法 (2)若f(x)为次数不超过n的多项式,那么以n+1个点为基点的插值多项式就一定是其本身,即Pn(x)f(x)。这是因为此时Rn(x)=0。(3)从余项Rn(x)中的(n+1)(x)知,当点x位于x0
11、,x1,xn的中部时,|n+1(x)|比较小,精度要高一些,而位于两端时,精度要差一些;若x位于x0,x1,xn的外部,一般称为外插(或外推),此时精度一般不理想,使用时必须注意。第4章 插值法 计算方法5 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 我们根据插值原则将Pn(x)表示成下列形式,即0 01 101110111()()()()()()()()()()()()()()()0,1,2,nn niiniiiiiiiinP xy lxy l xy lxxxxxxxxxxxl xxxxxxxxxxxin这里(414)(415)第4章 插值法 计算方法 (414)式的Pn(x)是n+1个n次多项式
12、li(x)(i=0,1,2,n)的线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式(414)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下列较简单的形式:显然 0,(),0,1,2,1,ijjil xi jnji101()()()()nnniiinixP xyxxx(417)第4章 插值法 计算方法 特别当n=1时,即得到y=f(x)的线性插值多项式(45):101010110()xxxxP xyyxxxx或(44)式:1010010()()yyP xyxxxx当n=2时,即得到y=f(x)的二次插值多项式1202201010210120122021()()()()()()(
13、)()()()()()()xxxxxxxxP xyyxxxxxxxxxxxxyxxxx第4章 插值法 计算方法 例1 已知函数y=f(x)的观测数据为 x1234y0-5-63试求拉格朗日插值多项式。第4章 插值法 计算方法解 332(2)(3)(4)()0(12)(13)(14)(1)(3)(4)(5)(21)(23)(24)(1)(2)(4)(6)(3 1)(32)(34)(1)(2)(3)3(41)(42)(43)43xxxp xxxxxxxxxxxx 第4章 插值法 计算方法 例2 已知函数y=f(x)的观测数据为 x012y123试求拉格朗日插值多项式。解 2(1)(2)(0)(2)
14、()12(01)(02)(10)(12)(0)(1)3(20)(21)1xxxxpxxxx 第4章 插值法 计算方法 这是二次项系数为0的二次多项式。从几何上看,这三点(0,1)、(1,2)、(2,3)在一条直线上。此例说明Pn(x)的次数可以小于n。拉格朗日插值多项式的计算框图见图4.3。第4章 插值法 计算方法 图 4.3 第4章 插值法 计算方法 图 4.3 第4章 插值法 计算方法6 牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式 拉格朗日插值多项式形式对称,计算较方便,但由于li(x)依赖于全部基点,若算出所有li(x)后又需要增加基点,则必须重新计算。为了克服这个缺点,我们引进牛顿均差插值多
15、项式。将插值多项式Pn(x)表示成下列形式:第4章 插值法 计算方法 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+an(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)(418)这里的插值基点为x0,x1,x2,xn,相应的函数值为y0,y1,yn。若根据插值原则 Pn(xi)=yi,i=0,1,2,n 则可逐次求出系数a0,a1,an。但这种确定系数的方法一般比较复杂。我们将利用均差概念导出牛顿均差插值多项式。第4章 插值法 计算方法 6.1 均差 设函数y=f(x)在区间xi,xj上定义,则称()(),jiijjif xf xf x xxx(ij)为f(x)在区间xi,xj上的一阶均差。一阶均差的均差,jk
16、ijkif xxf x xxx称为二阶均差,记为fxi,xj,xk。已知k阶均差fxi,x i+1,x i+k,fxi+1,xi+2,x i+k+1,则定义 k+1 阶均差为 第4章 插值法 计算方法 并规定f(x)关于xi的零阶均差为函数值本身,即 fxi=f(xi)121,111,111,iii kiii ki kiiii ki kif xxxf x xxxxf x xxxx 第4章 插值法 计算方法 6.2 牛顿均差插值多项式 现在利用均差来推导牛顿均差插值多项式。由均差定义00000101101012012201101201()(),(),(),(),()nnnnf xf xf x x
17、xxf x xf x xf x x xxxf x x xf x x xf x x x xxxf x x xxf x x xxf x x xxxx(420)第4章 插值法 计算方法 将式(4)中的第二式代入第一式的右端便得到线性牛顿均差插值公式0010010111()(),(),()()()()f xf xf x xxxf x x xxxxxP xR x(421)这里 1001010101()(),()(),()()P xf xf x xxxR xf x x xxxxx为线性插值多项式 第4章 插值法 计算方法 将式(420)中的第三式代入式(421),又得到二次牛顿均差插值多项式 001001
18、0101201222()(),(),()(),()()()()()f xf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxxP xR x(422)这里 2001001201()(),(),()()P xf xf x xxxf x x xxxxx第4章 插值法 计算方法 是二次插值多项式 2012012(),()()()R xf x x x xxxxxxx为其余项。仿此,每增加一个插值基点,只要将(420)中高阶均差代入前一个公式,最后可得到00100101101201()(),(),()()(),()()()()()nnnnnf xf xf x xxxf x x xxxxx
19、xxf x x x xxxxxxxxP xRx(423)第4章 插值法 计算方法这里 001001011()(),(),()()()nf xf xf x xxxf x x xxxxxxx010110121(),()()(),()nnnnnRxf x x xxxxxxxxf x x x xxx 称(424)式为牛顿均差插值多项式,(425)式为牛顿均差插值多项式的余项。将式(424)与(418)比较,显然有 ak=fx0,x1,xk,k=0,1,2,n (426)第4章 插值法 计算方法 根据插值多项式的存在唯一性,将牛顿均差插值公式与拉格朗日插值公式比较011(1)1(),()()()(1)!
20、nnnnnRxf x x xxxfxn这样得到均差与导数间的关系为 fx,x0,x1,xn(n+1)!=f(n+1)()(427)其中(a,b)。第4章 插值法 计算方法 牛顿均差插值多项式的计算极为方便,且当增加一个插值基点时,只要在后面多计算一项,Pn(x)的各项系数恰好是各阶均差值。各阶均差值可按均差表41计算。第4章 插值法 计算方法 表 41第4章 插值法 计算方法 例3 构造例1中f(x)的牛顿均差插值多项式。解 作均差表42。表 42 第4章 插值法 计算方法 P3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3 例4 已知
21、数据表43。表 43 x 1 2 3 5 6F(x)0 2 6 20 90试求牛顿均差插值多项式。解作均差表44。第4章 插值法 计算方法 表 44 第4章 插值法 计算方法4432()02(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(5)11426230P xxxxxxxxxxxxxxx 下面叙述均差的几个重要性质:(1)k阶均差fx0,x1,xk是函数值f(x0),f(x1),f(xk)的线性组合,即010110(),()()()kikikikkiijjj if xf x xxxxxx第4章 插值法 计算方法 (2)均差fx0,x1,xk为x0,x1,xk的对称函数。也就是设i0
22、,i1,ik为0,1,2,k的任一种排列,则恒有 fx0,x1,xk=fxi0,xi1,xik (429)(3)设f(x)为x的n次多项式,则当kn时 fx0,x1,xk=0 (4)设f(x)为x的n次多项式,则其一阶均差fx,x0为x的n-1次多项式,二阶均差fx,x0,x1为x的n-2次多项式,一般说来,k(kn)阶均差fx,x0,xk-1为x的n-k次多项式。第4章 插值法 计算方法 (5)设f(x)可导,则定义()(),lim,lim()xxf xxf xf x xf xxxfx 一般地 f(x,x0,x1,xn)=f(x,x,x0,x1,xn)(430)性质(1)、(2)、(3)、(
23、4)证明都比较简单,我们仅给出性质(1)、(2)、(3)的证明,性质(4)留给读者证。证 对于性质(1),利用数学归纳法01010110()(),f xf xf x xxxxx第4章 插值法 计算方法 性质(1)成立。假设k=m时成立,要证明k=m+1也成立。因为0111011011011101010110101111111,()()()()()()()()()()()()()mmmmmmmmiiiininimmiimiinnimmnmmiinf x xxf xxxf x xxxxxf xf xxxxf xf xxxxxxxxxf xxf x()ix第4章 插值法 计算方法 所以,性质(1)成
24、立。由性质(1)可得0101(),()rkrkiiiirkif xf xxxx 可见改变基点的排列次序,实质上仅是改变求和次序,其值不变。因此性质(2)成立。最后证明性质(3)。因为f(x)为x的n次多项式,以互异点x0,x1,xk为基点的牛顿均差插值多项式为第4章 插值法 计算方法 Pk(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+f(x0,x1,xk)(x-x0)(x-x1)(x-xk-1)=f(x)这说明多项式Pk(x)中的最高次应该是xn。故当kn时,Pk(x)中xk的系数fx0,x1,xk应为零。性质(3)得证。第4章 插值法 计算方法7 牛顿前差和后差插值多项式牛顿前差和后差插值多
25、项式 当插值基点x0,x1,xn分布等距时,也即 h=x k+1-xk,k=0,1,2,n-1 牛顿均差插值多项式的表达形式可以简化。为此先引进有限差概念。第4章 插值法 计算方法 7.1 有限差 我们分别称()()()()()()()()()22f xf xhf xf xf xf xhhhf xf xf x 为一阶前差、一阶后差和一阶中心差,又统称为一阶有限差。这里符号、分别表示前差、后差和中心差算子。由一阶有限差算子的定义,用递推方法可定义高阶有限差。二阶前、后差分别定义为第4章 插值法 计算方法22()()()()(2)2()()()()()()()2()(2)f xf xf xhf x
26、f xhf xhf xf xf xf xf xhf xf xhf xh 依此类推,n阶前差定义为 111111()()()()()()()()nnnnnnnnf xf xf xhf xf xf xf xf xh n阶后差定义为 第4章 插值法 计算方法 并规定零阶前、后差为 00()()()()f xf xf xf x同样可定义n阶中心差 11()()()22nnnhhf xf xf x根据有限差的定义,可得到它的几个简单性质:=(1)若函数f(x)为m次多项式,则()0kmkf xm-k次多项式,0km km（即常数的有限差为零）(431)第4章 插值法 计算方法 (2)均差与前、后差的关系
27、可表示为0100101,()!1,()!kkkkkkf x xxf xk hf x xxf xk h(432)(433)式(432)和(433)可用归纳法证明。第4章 插值法 计算方法 7.2 牛顿前差和后差插值多项式 1.牛顿前差插值多项式 在牛顿均差插值多项式(424)中,按式(432)将均差换成前差,即得到牛顿前差插值多项式200000120011()()()()()()()2!()()()()2!nnnnf xf xP xf xxxxxxxhhf xxxxxxxh(434)第4章 插值法 计算方法 令 x=x0+sh (s未必是整数)则 xi=x0+ih x-xi=(s-i)h,i=0
28、,1,2,n 第4章 插值法 计算方法 这样牛顿前差插值多项式可改写成20000(1)()()()()2!(1)(2)(1)()!nns sP xf xs f xf xs sssnf xn(435)或记为 00()()()nsknkkP xf x且其余项为 1111()()()(1)!()(1)(2)()nNnnnfRxxnxs sssn h(436)第4章 插值法 计算方法 2.牛顿后差插值多项式 若将n+1个插值基点依xn,xn-1,x0的次序排列,则牛顿均差插值多项式为 Pn(x)=f(xn)+fxn,xn-1(x-xn)+fxn,x n-1,x0(x-xn)(x-xn-1)(x-x1)
29、根据公式(433)易得11,()!knnn knkf xxxf xk h第4章 插值法 计算方法 用后差代替均差,可得牛顿后差插值多项式212112()()()()()()()2!()()()()!nnnnnnnnnnnf xf xxf xxxxxxxhhf xxxxxxxn h令 x=xn+th（t不一定是整数）则 x n-k=x n-k h x-x n-k=(t+k)h,k=0,1,2,n第4章 插值法 计算方法 于是牛顿后差插值多项式又可写成 2(1)()()()()2!(1)(2)(1)()!nnnnnnt tP xf xt f xf xt tttnf xn(437)或记为 0(1)1
30、()(1)()()()()()(1)!nktknknknnnP xf xfRxxn其余项为(438)第4章 插值法 计算方法这里 n+1(x)=t(t+1)(t+2)(t+n)hn+1表45 第4章 插值法 计算方法 表 46 第4章 插值法 计算方法 例5 分别作出 f(x)=x2+x+1 的前差和后差表。解 前差表见表47;后差表见表48。表 47 第4章 插值法 计算方法 表 48 第4章 插值法 计算方法 例6 给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891的近似值。解 作差分表49。表 4 第4章 插值法 计算方法 利用
31、牛顿前差公式 0.578910.41.78910.1sin0.578910.389421.7891 0.0900011.7891(1.7891 1)(0.00480)2!1.7891(1.7891 1)(1.78912)3!(0.00083)0.54711oxxsh 第4章 插值法 计算方法 利用牛顿后差公式 0.578910.71.21090.1sin0.578910.64422(1.2109)0.07958(1.2109)(1.21091)(0.00563)2!(1.2109)(1.21091)(1.21092)3!(0.00083)0.54711nxxth 第4章 插值法 计算方法8 三
32、次样条插值三次样条插值 8.1 三次样条插值函数的定义 设给定区间a,b上n+1个点 a=x0 x1x2xn=b 如果函数s(x)满足:(1)在每一个子区间xk,xk+1(k=0,1,n-1)上,s(x)是一个不超过三次的多项式,且 s(xi)=f(xi),i=0,1,2,n (439)第4章 插值法 计算方法 (2)函数s(x)在a,b上具有直到二阶的连续导数,则称s(x)是f(x)以x1,x2,xn-1为内部基点的三次样条插值函数,并称(xi,yi)(i=0,1,2,n)为样条插值函数的样点。第4章 插值法 计算方法 8.2 三次样条插值法 按照三次样条插值函数的定义,s(x)在每一个子区
33、间xk,xk+1上是一个不超过三次的多项式,故s(x)是线性函数。令 mk=s(xk),k=0,1,2,n (440)设xxk,xk+1,则过两点(xk,mk)与(xk+1,mk+1)的直线所表示的线性函数为11()kkkkkkxxxxsxmmhh(441)第4章 插值法 计算方法 其中 hk=x k+1-xk 对(441)式两端连续求两次积分得22116311()()()22()()()66()kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxs xmmAhhxxxxs xmmhhA xxB(442)(443)第4章 插值法 计算方法 其中Ak、Bk为积分常数。根据插值原则11()()kkkks xy
34、s xy由式(443)得到方程 221166kkkkkkkkkkhmByhmA hBy(444)第4章 插值法 计算方法 从而解出Ak和Bk,即 112()66kkkkkkkkkkkyyhAmmhhBym(445)(446)由式(443)可看出三次样条插值函数s(x)仅与mk、m k+1有关系,因此只要求得各个mk,则各个子区间xk,x k+1上的三次样条函数也就确定了。下面介绍求mk的方法。第4章 插值法 计算方法 当xx k-1,xk时,(447)式应表示为221111()()()22()6kkkkkkkkkkkkxxxxs xmmhhyyhmmh 2211111111()()()22()
35、6kkkkkkkkkkkkxxxxs xmmhhyyhmmh 第4章 插值法 计算方法 当xxk,x k+1时,1111111111()()2636kkkkkkkkkkkkkkkkhyyhsxmmmhyyhhmmh(448)11()36kkkkkkkkyyhhsxmmh(449)第4章 插值法 计算方法 根据三次样条插值函数的定义,应有()()kksxsx整理后得到 11111111126()kkkkkkkkkkkkkkkkkhhmmmhhhhhhhhhhhh(450)第4章 插值法 计算方法111116()kkkkkkkkkkkkkhuhhyyyyhhhh那么 111kkkkhuhh于是(4
36、50)式可简写成11(1)21,2,1kkkkkku mmu mkn(451)第4章 插值法 计算方法也即 101122122312111(1)2(1)2(1)2nnnnnnu mmmu mmmummum(452)此是含有n+1个未知量m0,m1,mn的n-1个方程的方程组,我们可根据实际问题的具体要求补充两个附加条件,就可求出各个mk。第4章 插值法 计算方法 在区间a,b的端点a和b(即x0和xn)处对样条插值函数加以限制,称为端点条件。常用的端点条件有以下几种:函数y=f(x)在两端点x0及xn处的导数y0和yn为已知。此时要求00(),()nns xys xy由式(448)和(449)
37、得到 00100100111113633nnnnnnnnhhyymmyhhhyymmyh 第4章 插值法 计算方法也即 010122nnnmmmm(453)其中 1000001116()/6()/nnnnnnyyyhhyyyhh(454)第4章 插值法 计算方法 式(452)与式(453)两个方程组联立成 第4章 插值法 计算方法 其几何解释为曲线在两端点的斜率。函数y=f(x)在两端点x0,xn处的二阶导数为零。此时要求000()0()0nsxmsxm其几何解释为曲线在两端点的曲率为零。函数y=f(x)是一个以b-a=xn-x0为周期的周期函数。此时 y0=yn 第4章 插值法 计算方法 相
38、应也要求样条插值函数s(x)也具有周期性,故在端点要求满足条件00()(),()()nns xs xsxsx 由于hn=h0,mn=m0,yn=y0利用式(448)和式(449)可得到 10000010111111()36()36nnnnnnnyyhhs xmmhyyhhs xmmh第4章 插值法 计算方法于是有 011001011101636nnnnnnnnmmhhhhyyyymmmhh(457)第4章 插值法 计算方法 例7 给出四个样点(1,1)、(2,3)、(4,4)、(5,2),求其各个子区间上的样条插值函数s(x)(设m0=m3=0),并求f(3)。解 给定样点的函数表为 x1 2
39、 3 4y1 3 4 2第4章 插值法 计算方法 于是求mk的方程组为 1011212122320313211020123222121(1)1(1)20422413113541523mmmmmmmmhxxhhxxhxxhhxx第4章 插值法 计算方法221101101032212212121366 12()()33 216621()()5312yyyyhhhhyyyyhhhh 则关于m1,m2的方程组为 121222332253mmmm 解得 123494mm 第4章 插值法 计算方法 在1,2上的样条插值函数为 3213223231()(3148)81()(3148)81()(3452062
40、64)8s xxxxsxxxxs xxxx 在2,4上的样条插值函数为 在4,5上的样条插值函数为 第4章 插值法 计算方法并且 232(3)(3)1(33 31438)84.25fs 第4章 插值法 计算方法9 数值微分数值微分 9.1 用插值法求数值微分 用插值多项式Pn(x)近似地表示函数f(x),即 f(x)Pn(x)于是有 f(k)(x)P(k)n(x)其余项相应地为R(k)n(x)。第4章 插值法 计算方法 设插值基点为等距分布,由牛顿前差插值多项式200000(1)()()()()2!(1)(1)()!()()1()nnnnns sP xf xs f xf xs ssnf xnx
41、xshdpxdpx dsdpxdxdsdxhds 其中 由于 第4章 插值法 计算方法 于是 20030401(1)()()()2!(1)(1)(2)(2)()3!(1)(2)(1)(3)(2)(3)4!(1)(2)(3)()4!nssP xf xf xhs ssss sf xs sss ss ss sssssf x第4章 插值法 计算方法即 2230003240121362()()()()2629113()12nssspxf xf xf xhsssf x因为(1)11(1)()()()(1)!(1)()()(1)!(,)nnnnnfRxxns ssnhfna b第4章 插值法 计算方法(1)
42、00(1)00()()()(1)!()()()0,1,(1)!nnnnnikk innnnniikk ifRxhsknfRxhikinn 而当x=xi时,s=i,此时(459)(460)特别当x=x0时,s=0,则(1)(1)0()(1)()(1)!()(1)!1nnnnnnnfhRxhnfnn(461)第4章 插值法 计算方法 1.两点公式(n=1)0101101()()()21()()()2hfxyyfhhfxyyfh于是在区间x0,x2上有 0101101()()1()()fxyyhfxyyh(462)第4章 插值法 计算方法 2.三点公式(n=2)200122102220121()(3
43、4)()231()()()261()(43)()23hfxyyyfhhfxyyfhhfxyyyfh于是在区间x0,x2上有 001210220121()(34)21()()21()(43)2fxyyyhfxyyhfxyyyh第4章 插值法 计算方法 9.2 用三次样条函数求数值微分 设s(x)是f(x)在各区间xk,xk+1上的三次样条插值函数,则在区间xk,xk+1 上可通过三次样条函数来求f(x)的数值微分。1.一阶数值微分公式221111()()()()22()6kkkkkkkkkkkkfxs xxxxxmmhhyyhmmh(465)第4章 插值法 计算方法 若只求基点xk(k=0,1,
44、n-1)上的一阶导数值,则 11()()36kkkkkkkkkfxs xyyhhmmh(466)2.二阶数值微分公式 11()()()()kkkkkkkfxsxxxxxmmhhfxsxm特别,若只求基点上的二阶导数值,则(467)(468)第4章 插值法 计算方法10 曲线拟合法曲线拟合法 设一组观测数据为 xx0 x1 x2 x3 xnyy0 y1 y2 y3 yn第4章 插值法 计算方法 其中xixj(ij),我们要根据这一系列数据找出函数关系y=f(x)。若用插值函数(x)代替函数关系f(x),要求满足插值原则 (xi)=f(xi),i=0,1,2,n 由于观测点和观测数据本身就有误差,
45、就会使函数保留这些误差,而影响逼近函数的精度。第4章 插值法 计算方法 在实际问题中,往往并不要求近似函数(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,n)找出x,y之间的依赖关系,使得近似函数(x)能充分地反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。有的还称为配曲线或找经崐验公式。例如,已知数据 x0 1 2 3 4 5y1 1.6 2.1 2.4 3.2 3.4我们可以用近似函数011()12xaa xx 第4章 插值法 计算方法 图 4.4 第4章 插值法 计算方法 因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则 (x
46、i)=yi,i=0,1,2,n 故在基点x0,x1,x2,xn上(x)与f(x)有误差 ri=(xi)-yi,i=0,1,2,n (469)称ri为用(x)拟合f(x)的偏差。我们仅对(x)为多项式情形进行讨论。设函数关系y=f(x)的一组观测数据为(xi,yi)(i=0,1,2,n),欲求一个m(mn)次多项式 Pm(x)=0+1x+mxm (470)第4章 插值法 计算方法 的平方和 2200()nnimiiiiRrP xy(471)为最小,这样的方法称为线性最小二乘法,R称为用Pm(x)拟合f(x)的总偏差。根据极值理论,要使得R达到极小,必有01000mRaRaRa (472)第4章
47、插值法 计算方法 称 此 方 程 组 为 正 则 方 程 组。通 过 它 可 求 出0,1,m。下面对m=2的情形作具体讨论。也就是用二次函数 P2(x)=0+1x+2x2 来拟合f(x),此时总偏差为22200220120()()nniiiiiniiiiRrP xyaa xa xy第4章 插值法 计算方法 由(472)式知 20120020120122012022()02()02()0niiiiniiiiiniiiiiRaa xa xyaRx aa xa xyaRxaa xa xya 第4章 插值法 计算方法 从而得到正则方程组 201200023012000023420120000(1)n
48、nniiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiia naxaxyaxaxaxx yaxaxaxx y第4章 插值法 计算方法 解此方程组得0,1,2的值,即可求得近似函数P2(x)。一般地,对于Pm(x),可类似地得到m+1阶正则方程组 010002101000012020000(1)nnnmimiiiiinnnnmiimiiiiiiinnnnmmmmiimiiiiiiia naxaxyaxaxaxx yaxaxxx y(473)第4章 插值法 计算方法写成矩阵形式(4-74)第4章 插值法 计算方法 例8 设有一组数据表 x1345678910y2781011111098
49、试用二次多项式来拟合这组数据。解 首先算出 999999922341111111,iiiiiiiiiiiiiiiixyx yxx yxx 的值分别为53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正则方程组第4章 插值法 计算方法 90+531+3812=76 530+3811+30172=489 3810+30171+253172=3547 解得 0=-1.4597,1=3.6053,2=-0.2676 因此所求的二次多项式 P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2 给出的数据和二次多项式表示的曲线见图4.5。第4章 插值法 计算方法 图 4.5 第4
50、章 插值法 计算方法 最后必须指出,在实际问题中,近似函数(x)的选取只能凭经验得到。例 (1)加速度与时间的关系是线性关系,可选取 (x)=0+1x (2)炮弹在空中的高度与时间的关系近似于抛物线,可选取 (x)=0+1x+2x2第4章 插值法 计算方法此外,当(x)不是多项式时,如(1)幂函数 (x)=axb(2)指数函数 (x)=aebx(3)对数函数 (x)=a+blnx 第4章 插值法 计算方法 例9求一个经验函数 (x)=aebx (a,b为常数)使它能和下面给出的数据相拟合。x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解 对经验公式两边取
