1、11.1.知道并理解与微分方程相关的概念知道并理解与微分方程相关的概念 一、基本要求一、基本要求2.2.熟练掌握一阶微分方程的解法熟练掌握一阶微分方程的解法 3.3.熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法 4.4.理解线性微分方程解的结构理解线性微分方程解的结构 .熟练掌握二阶常系数线性方程解法熟练掌握二阶常系数线性方程解法 第七章第七章 微分方程微分方程21 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶
2、导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 二、内容提要二、内容提要 3通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值
3、问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题4dxxfdyyg)()(形如形如(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2)齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换5)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3)可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解
4、法化为齐次方程化为齐次方程6)()(xQyxPdxdy 形如形如(4)(4)一阶线性微分方程一阶线性微分方程,0)(xQ当当非齐次非齐次,0)(xQ当当齐次齐次.)(dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）dxxPdxxPeCdxexQy)()()(通解通解通解通解（常数变易法）（常数变易法）7(5)(5)伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()(形如形如)1,0(n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1,0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1,0 n解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过
5、变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令.)1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn83 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特点特点.y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得).(,(xPxfP ,Py 9,Py 令令特点特点.x不不显显含含自自变变量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得).,(PyfdydpP,dydpPy 10、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的
6、结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形如形如11（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy 形形如如12、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定
7、其通解的方法称为特征方程法特征方程法.13 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法),(0为常数qpyqypy 02qrpr特征方程xrxreCeCy212121,rr特征根实根21rr 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解14rk重实根)(1110kkrxxCxCCejk复根：重共轭一对sin)(cos)(11101110 xxDxDDxxCxCCekkkkx特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rxeCr单实根jr2,1一对单复根：)sincos(21xCxCex n n 阶常系数齐次线性方程
8、解法阶常系数齐次线性方程解法 特征方程特征方程 0111 nnnnPrPrPr15、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 型型)()()1(xPexfmx 求特解的方法求特解的方法待定系数法待定系数法)(*xQexymxk设特解 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k*yYy通解：16型sin)(cos)()()2()2()1(xxPxxPexfnlxsin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk设特解次多项式是其中，mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时iik17二
9、、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy 18,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu,cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy 19.32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32
10、342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应齐方通解为对应齐方通解为,32Cxz 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程20,)(32xxCz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xCxy 利用常数变易法利用常数变易法21的通解的通解求求例例yyxydxdycos23解：将原方程写成 yyxydydxcos1Cdyeyyexdyydyy11)cos(Cdyyyyy1)cos()sin(yCy22.0324223
11、 dyyxydxyx求通解求通解例例4 4解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0(y,xQyP 方程为全微分方程方程为全微分方程.23(1)利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为,0)1()(32 ydyxd即得即得,01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解为故方程的通解为.Cyyx13224(2)利用曲线积分求解利用曲线积分求解:,32422),()1,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为.Cyyx132
12、25.0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例5 5解解,22 yyP,22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为),(2)(22xdyydxdydxyx 26222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程的通解为故方程的通解为.yxyxCeyx 27.212yyy 求通解求通解例例6 6解解.x方程不显含方程不显含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，,11 yCP,11 yCdxdy即即故方程
13、的通解为故方程的通解为.12211CxyCC 28例7 已知方程 有三个解 ，求此方程满足初始条件 的特解。)()()(xfyxQyxPy xxeyeyxy2321,3010)(,)(yy解：由线性微分方程解的结构理论知，及 是对应齐次方程 12yy13yy 0 yxQyxPy)()(的解且它们线性无关，所以对应齐次方程的通解)()(xeCxeCYxx221故原方程的通解为 xxeCxeCyxx)()(2213010)(,)(yy由由2121CC,所求特解为 xxeey2229.)()(,)(11112 yyexyyyx求特解求特解例例8 8解解特征方程特征方程,0122 rr特征根特征根,1
14、21 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 30代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)(,)(,*yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy ,1)1(y,1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy 31,1)1(y,1)652(21 eCC,31121 eCC
15、,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 32).cos(xxyy2214 求解方程求解方程例例9 9解解特征方程特征方程,042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则,0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 33由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy
16、 ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 34故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 35例例10 设,)(2Cxf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(求.)(xf提示提示:xxtdtfttdtfxxxf00)()(sin)(上式两边对 x 求导
17、两次：xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx因此问题化为解下列初值问题xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得xxxxfcos2sin21)(36已知 在全平面上与路径无关，其中 具有连续的一阶导数，并且当 是起点在（0，0），终点为（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于 ，试求函数 。Ldxxyydyxx)()(22232)(xL41)(x11例例解：yPxQ由由)()(xyyxx 3xxx)()(3CdxxeeCdxxeexxxdxdx3333)()(31313xCex1011002241211232ydydxxyydyxx)()()
18、(),(),(11)(3913eC)()(313191333xexx 37间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例1212oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm .0)0(,0)0(,99 xxgxgx即即38解此方程得解此方程得,1)(21)(3131 tgtgeetx,8,
19、x即即整整个个链链条条滑滑过过钉钉子子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt39yoy例例13 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正阻力与下沉速度成正 比比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 y=y(v).提示提示:建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律得B22tdydmvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtdvdtdyd22tdydydvdydvdvvkBgmydvdvm40BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmydvdvm初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得yoy质量 m体积 B
