1、第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析7.17.1非线性系统的概述非线性系统的概述7.27.2非线性系统的描述函数分析法非线性系统的描述函数分析法 7.3 典型非线性系统的稳定性典型非线性系统的稳定性严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线性系统是普遍存在的。性系统是普遍存在的。构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，即称此系统是性时，即称此系统是非线性系统。非线性系统。非线性系统千差万别。非线性系统千差万别。线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能
2、。线性控制系统线性控制系统：由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。非线性控制系统非线性控制系统：系统中含有非线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均系统中含有非线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。匀性性质。非线性系统和线性系统之间的本质差别：非线性系统叠加原理不能应用。非线性系统叠加原理不能应用。3 3非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质等等。等等。非线性科学非线性科学耗散结构论、
3、突变论、协同论、混沌、分形。耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普适性。更具有前沿性、交叉性和普适性。2 2线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。4 4非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。7.17.1非线性系统的概述非线性系统的概述一、非线性系统的数学描述一、非线性系统的数学描述 描述大多数非线性系统的数学模型是描述大多数非线性系统的数学模型是n n阶非线性阶非线性非线性常微分方程，形式为：非
4、线性常微分方程，形式为：)(,),(,1122tudtyddtyddtdytythdtydnnnnh()h()表示非线性函数。表示非线性函数。u(tu(t)是输入，是输入，y(ty(t)是输出。是输出。二、控制系统中非线性特性的分类非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。本质非线性：本质非线性：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。信号变化而保持恒定。放大器的饱和输出特性放大器的饱和输出特性磁饱和磁饱和元件的行程限制元件的行程限制功率限制等等。功率限制等等。1.饱和特性饱和特性atxt
5、xkaatxtkxty)()(sgn)()()(输入输入 输出输出2.死区特性死区特性（不灵敏区特性不灵敏区特性）很小时很小时作为线性特性处理作为线性特性处理较大时较大时将使系统静态误差增加，将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性系统低速不平滑性各类液压阀的正重叠量；各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；弹簧预紧力；等等。等等。atxtxatxkatxty)()(sgn)()(0)(数学描述为：数学描述为：a a为死区宽度为死区宽度 输出输出 输入输入 输出输出 输入输入
6、3.滞环特性滞环特性铁磁部件的元件：铁磁部件的元件：电液伺服阀中的力矩马达电液伺服阀中的力矩马达非单值非线性非单值非线性4.间隙特性（回环）间隙特性（回环）齿轮传动中的齿隙齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙液压传动中的油隙0)()(sgn0)()(0)()()(tytxctyatxktyatxkty数学描述为：数学描述为：间隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自自持振荡。同时使稳态误差增大。持振荡。同时使稳态误差增大。5.继电器特性继电器特性0)(,)(0)(,)()()(sgn0)(,)(00)(,)(0)(txmatxMtxmatxMatxt
7、xMtxmatxatxatxmatya a为继电器的吸合电压。为继电器的吸合电压。mama为继电器的释放电压。为继电器的释放电压。MM为常值输出。为常值输出。几种特殊的继电器特性几种特殊的继电器特性 输入输入 输出输出在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。6.非线性增益非线性增益大偏差时，具有较大增益大偏差时，具有较大增益加快系统响应。加快系统响应。小偏差时，具有较小增益小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。提高零位附近的系统稳定性。三、非线性系统的特点与分析方法（一）非线性系统的特点（一）非线性系统的特点1.1.系统的稳定性系统的稳
8、定性动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的不同运动的最终状态可能完全不同。不同运动的最终状态可能完全不同。2.2.系统的自持振荡系统的自持振荡线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生自持振平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生自持振荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生
9、某一固定幅值和频率的振荡，称为自持振荡。幅值和频率的振荡，称为自持振荡。3.3.频率响应的畸变频率响应的畸变在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高次谐波分量的非正弦周期函数，次谐波分量的非正弦周期函数，因此不能应用频率特性、传因此不能应用频率特性、传递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能的试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线的试验信号。因此目
10、前尚无一般通用的方法来分析和设计非线性控制系统。性控制系统。4.4.系统的共振现象系统的共振现象线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。系统那样的共振现象。（二）非线性系统的分析和设计方法（二）非线性系统的分析和设计方法非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的方法，对于本
11、质非线性可采用分段线性化的方法。方法，对于本质非线性可采用分段线性化的方法。对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不需要求得其响应的精确解。而是讨论问题需要求得其响应的精确解。而是讨论问题系统是否系统是否稳定；稳定；系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和频率是多少；频率是多少；如何消除自持振荡。如何消除自持振荡。分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的方法也可以分析复杂的非线性系
12、统。方法也可以分析复杂的非线性系统。7.27.2非线性系统的描述函数分析法非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为假设非线性系统的输入函数为)sin()(tAtx 输出输出n(tn(t)将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数，将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数，y(ty(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。假设假设1 1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号输出信号y(ty(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复的波形具有奇次对称
13、性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。响应的平均值为零。假设假设2 2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。波性越好，用描述函数法分析的精度越高。上述两个假设满足时，非线性环节
14、的输入是一个正弦信号，系上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。究其基波成分就足够了。假设系统中非线性环节的输入函数为假设系统中非线性环节的输入函数为)sin()(tAte输出信号可以展成傅利叶级数输出信号可以展成傅利叶级数1010)sin()sincos()(nnnnnntnXAtnBtnAAtx20)()cos()(1tdtntxAn20)()sin()(1tdtntxBn22nnnBAXnnnBAtg1 若非线性部分是齐次对称的，则若非线性部分是
15、齐次对称的，则A A0 0=0=0，线性部分又具有低，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。够通过闭环回路反馈到输入端。输出部分的基波分量为输出部分的基波分量为)sin(sincos)(11111tXtBtAtx201)()cos()(1tdttxA201)()sin()(1tdttxB21211BAX1111BAtg 可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。基波的关系。在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个
16、复数是输入正在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入正弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函数。用符号数。用符号N(A)N(A)表示：表示：11)(jeAXAN X X1 1非线性环节输出基波分量的振幅；非线性环节输出基波分量的振幅；1 1表示其相位差；表示其相位差；A A表示输入正弦信号的幅值。表示输入正弦信号的幅值。这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。非线性环节环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。
17、非线性环节等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放大系数。大系数。非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号幅值幅值A A和频率和频率 的函数，表示为的函数，表示为N(A,)N(A,)。如果非线性特性是单值奇函数的，则如果非线性特性是单值奇函数的，则A A0 0=0=0，A A1 1=0=0。ABAN1)(N(A)N(A)是一个实函数。是一个实函数。二、典型环节的描述函数1、继电器特性的描述函数、继电器特性的描述函数tsinA)t(x)2t(M)t0(M)t(y傅氏展开
18、傅氏展开)tnsinBtncosA(A)t(yn1nn0斜对称、奇函数斜对称、奇函数A A0 0=A=An n=0=0tsinB)t(y11M4)t(tdsinM1)t(tdsin)t(y2)t(tdsin)t(y1B00201AM40AY)A(N1(偶次对称性偶次对称性)2、饱和特性、饱和特性3、死区特性、死区特性4、死区饱和特性、死区饱和特性)aA()Aa(1AaAasink2)A(N21)aA()Aa(1AaAasin2k2)A(N21)sA()Aa(1Aa)As(1AsAasinAssink2)A(N2211理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性)0A(AM4)A(N)aA()Aa
19、(1AM4)A(N2)hA(AhsinAM4)A(N1间隙、滞环特性)aA(BAtgABA)A(N1112121Aa)Aa(kA4A21)Aa(Aa)Aa21(2)Aa21(sin2kAB211非线性环节的正弦响应非线性环节的正弦响应y(t)ty(t)ty(t)tty(t)7.3 典型非线性系统的稳定性典型非线性系统的稳定性)A(N)s(G1)A(N)s(G)s(R)s(C(尼奎斯特判据尼奎斯特判据)若开环稳定，则闭若开环稳定，则闭环稳定的充要条件环稳定的充要条件是是G(jG(j)轨迹不包轨迹不包围围G G平面的平面的(-1,j0)(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性负倒描述函数（描
20、述函数负倒特性)0)s(G)A(N1)s(D线性系统线性系统1)A(N0)s(G11)s(G)A(N1)s(G)A(N1(-1,j0)?G(j G(j)与负倒描述函与负倒描述函数相交数相交 闭环系统出现自持闭环系统出现自持振荡振荡(极限环振荡极限环振荡)？稳定？稳定？不稳定？不稳定 振幅（振幅（A A）？）？频率频率()？设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(j G(j)不包围负不包围负倒描述函数倒描述函数 闭环系统稳定闭环系统稳定 G(j G(j)包围负包围负倒描述函数倒描述函数 闭环系统不闭环系统不稳定稳定当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A增大到增大到c c点点时，时，c c点点“(
21、-1,j0)”(-1,j0)”被被G(j G(j )轨轨迹包围，迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A A继续增大；继续增大；不返回到不返回到a a。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A减小到减小到d d点，点，d d点点“(-1,j0)”(-1,j0)”未被未被G(j G(j )轨迹包轨迹包围，围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A A继续减小；继续减小；不返回到不返回到a a。a a点为不稳定自振交点。点为不稳定自振交点。分析法分析法当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A增大到增大到e e点时，点时，e e点点“(-1,j0)”(-1,j0)”未被未被G(j G(j )轨迹包围，轨迹包围
22、，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A A减小；减小；返回到返回到b b。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A减小到减小到f f点，点，f f点点“(-1,j0)”(-1,j0)”被被G(j G(j )轨迹包轨迹包围，围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A A增大；增大；返回到返回到b b。b b点为稳定自振交点。点为稳定自振交点。振幅振幅A A增大侧取点作为增大侧取点作为“(-1,j0)”(-1,j0)”，连接连接“(-1,0j)”(-1,0j)”与原点，与原点，“负实轴负实轴”a a点为不稳定自振交点点为不稳定自振交点b b点为稳定自振交点点为稳定自振交点负实轴法负实轴法c c点点:不稳定自振
23、交点不稳定自振交点a a点点:不稳定自振交点不稳定自振交点b b点点:稳定自振交点稳定自振交点具有饱和特性的非线性系统具有饱和特性的非线性系统A Aa a时时k1)A(N1A A 时时)A(N1负倒描述函数轨迹负倒描述函数轨迹=实轴上（实轴上（-1/k,-)-1/k,-)。G G1 1(j(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相轨迹不与负倒描述函数轨迹相交交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交轨迹与负倒描述函数轨迹相交b b点点:稳定自振交点稳定自振交点(b b，A Ab b)aA()Aa(1AaAasink2)A(N121具有死区特性的非线性系统具有死区特性的
24、非线性系统A Aa a时时k1)A(N1A A 时时)A(N1负倒描述函数轨迹负倒描述函数轨迹=实轴上（实轴上（-,-1/k)-,-1/k)。G G1 1(j(j)轨迹不与负倒描述函数轨轨迹不与负倒描述函数轨迹相交迹相交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函数轨轨迹与负倒描述函数轨迹相交迹相交b b点点:不稳定自振交点不稳定自振交点)aA()Aa(1AaAasin2k2)A(N121具有间隙特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为负倒描述函数为 G G平面上一条曲线。平面上一条曲线。k1)A(N1A A 时时G G1 1(j(j)轨迹不与负倒描述函轨迹
25、不与负倒描述函数轨迹相交数轨迹相交不存在自持不存在自持振荡振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函轨迹与负倒描述函数轨迹相交数轨迹相交b b点点:稳定自振交点稳定自振交点 b b A Ab b)BAtg180(BAA)A(N11112121具有理想继电器特性的非线性系统具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴负倒描述函数轨迹为整个负实轴2 2）如有数个交点）如有数个交点 必有稳定的自振交点必有稳定的自振交点1 1）如只有一个交点）如只有一个交点 必为稳定的自振交点必为稳定的自振交点M4A)A(N1具有滞环继电器特性的非线性系统具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三
26、象限内平行于横轴的一组直线。负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。3 3）单边滞环宽度）单边滞环宽度 h h增加增加 负倒描述函数轨迹向下移动负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增自持振荡频率将低，振幅增大大2 2）如有数个交点）如有数个交点 必有稳定的自振交点必有稳定的自振交点1 1）如只有一个交点）如只有一个交点 必为稳定的自振交点必为稳定的自振交点)Ahsin180(M4A)A(N110h2h1试求：试求：当当K K1010时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；自持振荡的振幅和频率；当当K K为何值时
27、，系统处于稳定边界状态。为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1、k=2k=2相交于稳定自振交点相交于稳定自振交点m m)45()2(Kj45K3)2(j3K)2j)(1j(jK)j(G24224220)j(GIm266.1|4530|)j(GRe2242A Aa a时时5.0k1)A(N1A A 时时)A(N1负倒描述函数轨迹为实轴上（负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5-0.5，-)-)。)aA()Aa(1AaAasink2)A(N12166.1|)j(GRe)A(N126.0)(AN3.0k)A(Na/A=0.24A=4.38A=4.382非线性
28、饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1、k=2k=2稳定自振交点稳定自振交点m:m:临界状态下，轨迹在负实轴上的交点临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n nK=3)45()2(Kj45K3)2(j3K)2j)(1j(jK)j(G24224220)j(GIm22242|45K3|)j(GRe5.0|)j(GRe)A(N12非线性系统的校正非线性系统的校正)A(N)s(G1)A(N)s(G)s(R)s(C！改变！改变G(j G(j )！改变！改变N(A)N(A)试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？如果系统出现自持振荡，如何消除之？K K2020，死区继电器特
29、性，死区继电器特性MM3 3，a al l。Aa=1A)A(N1)A(N12a2A)3613()6(j5K)3j)(2j(jK)j(G242G(jG(j)轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值0)3613()6(K)j(GIm2426524.0667.032|)3613()5(K|)j(GRe6246G(jG(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：aa不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳定自振交点稳定自振交点22)A1(112A)Aa(1M4A)A(N1524.06M2a|)A(N1max32)A1(112A)A(N12aa不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳定自振交点稳定自振交点A11.11A22.366max6|)A(N1|)j(GRe如要求稳定如要求稳定1 1）改变）改变G(j G(j )调整调整K K6|)3613()5(K|)j(GRe624672.15K max6|)A(N1|)j(GRe2 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值MMa2A M2a|)A(N1maxM2a32|)j(GRe636.2aM取取a=1a=1、M=2M=2785.04|)A(N1max
