1、栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何7.6空间向量的概念及其空间向量的概念及其运算运算栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1.空间直角坐标系空间直角坐标系(1)以空间一点以空间一点O为原点为原点,建立三条两两垂建立三条两两垂直的数轴直的数轴:x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,这时建立了空这时建立了空间直角坐标系间直角坐标系Oxyz,其中其中O为原点为原点,x轴、轴、y轴、轴、z轴分别叫作空间直角坐标系的横轴、轴分别叫作空间直角坐标系的横轴、纵轴和竖轴纵轴和竖轴.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第
2、七章立体几何2.空间向量的有关概念空间向量的有关概念名称名称定义定义空间空间向量向量在空间里在空间里,具有具有_和和_的量的量叫作空间向量叫作空间向量,其大小叫作向量的长度其大小叫作向量的长度或模或模.自由自由向量向量与向量的与向量的_无关的向量无关的向量单位单位向量向量长度或模为长度或模为1的向量的向量(非零向量非零向量a的单位的单位向量向量a0_)零向零向量量长度为长度为_的向量的向量大小大小方向方向起点起点0栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何名称名称定义定义相等向量相等向量方向方向_且模相等的向量且模相等的向量相反向量相反向量方向相反而模相等的向量方向相反而模相等的向量向量向量
3、a,b的的夹角夹角ab相同相同栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何名称名称定义定义平行平行向量向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平则这些向量叫作共线向量或平行向量行向量.直线直线的方的方向向向向量量若若A、B是空间直线是空间直线l上任意两点上任意两点,则称则称为直线为直线l的方向向量的方向向量.(与直线与直线l平行的任意非平行的任意非零向量零向量a也是直线也是直线l的方向向量的方向向量)法向法向量量如果直线如果直线l垂直于平面垂直于平面,那么把直线那么把直线l的方向的方向向量向量a叫作平面叫作平面的
4、法向量的法向量.(所有与直线所有与直线l平平行的非零向量都是平面行的非零向量都是平面的法向量的法向量)栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何思考探究思考探究如何由直线的方向向量求直线的斜率？如何由直线的方向向量求直线的斜率？栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何3.共线向量定理、共面向量定理和空间向量基共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理本定理(1)共线向量定理共线向量定理栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何(3)空间向量基本定理空间向量基本定理如果向量如果向量e1,e2,e3是
5、空间三个是空间三个_的向的向量量,a是空间任一向量是空间任一向量,那么存在唯一一组实数那么存在唯一一组实数1,2,3,使得使得a1e12e23e3.空间中不共面的三个向量空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空叫作这个空间的一个间的一个_.不共面不共面基底基底栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何4.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)两向量的数量积两向量的数量积已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量a,b,即即_叫作向量叫作向量a,b的数量积的数量积,记记作作_,即即ab|a|b|cosa,b.|a|b|cosa,bab栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立
6、体几何(2)空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律结合律结合律:(a)b_；交换律交换律:abba；分配律分配律:a(bc)_.5.空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量的标准正交分解与坐标表示ababac栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何(1)在给定的空间直角坐标系中在给定的空间直角坐标系中,i,j,k分别为分别为x轴轴,y轴轴,z轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量,对于空间任对于空间任意向量意向量a,存在唯一一组三元有序实数存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得使得a_.把把ax iy jz k叫叫作作a的标准正交分解的标准正交分解,把把_叫作标准叫作标准正交
7、基正交基,_叫作空间向量叫作空间向量a的坐标的坐标,记作记作a(x,y,z)._ 叫作向量叫作向量a的坐的坐标表示标表示.x iy jz ki,j,k(x,y,z)(x,y,z)栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何(2)若若b0为为b的单位向量的单位向量,称称ab0|a|cosa,b为向量为向量a在向量在向量b上的投影上的投影.向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.6.空间向量的坐标运算及其应用空间向量的坐标运算及其应用(1)数量积的坐标运算数量积的坐标运算若若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则则aba1b1a2b2a3b3.栏目
8、栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何(2)共线与垂直的坐标表示共线与垂直的坐标表示设设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则则ab_a1b1,a2b2,a3b3,ab_a1b1a2b2a3b30(a,b均为非零向量均为非零向量).abab0栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何课前热身课前热身栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何4.(2010高考广
9、东卷高考广东卷)若向量若向量a(1,1,x),b(1,2,1),c(1,1,1),满足条件满足条件(ca)(2b)2,则则x_.解析解析:a(1,1,x),b(1,2,1),c(1,1,1),ca(0,0,1x),2b(2,4,2).(ca)(2b)2(1x)2,x2.答案答案:2栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何考点考点1空间向量的线性运算空间向量的线性运算考点探究讲练互动考点探究讲练互动 栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第
10、七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何【规律小结】【规律小结】用已知向量表示未知向量用已知向量表示未知向量,以以及进行向量表达式的化简时及进行向量表达式的化简时,一定要注意结合一定要注意结合实际图形实际图形,观察所涉及的向量在图形中的位置观察所涉及的向量在图形中的位置特点特点,选取适当的三角形或平行四边形选取适当的三角形或平行四边形,以图以图形为指导是解题的关键形为指导是解题的关键,同时注意首尾相接的同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法向量的和向量的化简方法,以及从同一个点出以及从同一个点出发的两个向量的运算法则发的两个向量的运算法则,避免出现方向错误避免出
11、现方向错误.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何备选例题备选例题 (教师用书独具教师用书独具)栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何变式训练变式训练栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何考点考点2共线向量定理和共面向量定共线向量定理和共面向量定理的应用理的应用 (2012上饶调研上饶调研)已知已知E、F、G、H分分别是空间四边形别是空间四边形ABCD的边的边
12、AB、BC、CD、DA的中点的中点,栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何【规律小结】【规律小结】应用共线向量定理、共面向应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较量定理证明点共线、点共面的方法比较:三点三点(P,A,B)共线共线空间四点空间四点(M,P,A,B)共面共面栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何三点三点(P,A,B)共线共线空间四点空间四点(M,P,A,B)共面共面栏目栏目导引导
13、引第七章立体几何第七章立体几何备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何变式训练变式训练2.如图如图,平行六面体平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长的棱长都为都为2,A1ABA1ADBAD60,E是是DC的中点的中点,F是是B1C的中点的中点.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何考点考点3空间向量的数量积运算空间向量的数
14、量积运算 如图所示如图所示,已知空间四边形已知空间四边形ABCD的的各边和对角线的长都等于各边和对角线的长都等于a,点点M、N分别是分别是AB、CD的中点的中点.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何【规律小结】【规律小结】(1)应用数量积解决问题时一应用数量积解决问题时一般有两种方法般有两种方法:一是取空间向量的一组基底一是取
15、空间向量的一组基底,一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系各向量的模；二是建立空间直角坐标系,利用利用坐标运算来解决坐标运算来解决.后者更为简捷后者更为简捷.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何(2)证明线线垂直证明线线垂直,转化为证转化为证abab0,若若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则转化为计算则转化为计算a1b1a2b2a3b30；在求立体几何中线段的长度时在求立体几何中线段的长度时,转化为求转化为求aa|a|2,或利用空间两点间的距离公式或利用空间两点间的距离公式.栏目栏目导引导引第七章立
16、体几何第七章立体几何备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABCA1B1C1的底的底面面ABC中中,CACB1,BCA90,棱棱AA12,M、N分别是分别是A1B1、AA1的中点的中点.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何变式训练变式训练3.如图如图,在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,G为为BC1D的重心的重心.(1)试证试证A1、G、C三点共线；三点共线；栏目栏目导引导引第七章立体几何第七
17、章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何方法技巧方法技巧栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何失误防范失误防范1.利用坐标运算解决立体几何问题利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推降低了推理难度理难度,可以避开一些较复杂的线面关系可以避开一些较复杂的线面关系,但但较复杂的代数运算也容易导致出错较复杂的代数运算也容易导致出错.因此因此,在解在解决问题时决问题时
18、,可以灵活的选用解题方法可以灵活的选用解题方法,不要生不要生搬硬套搬硬套.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何2.解答向量运算题解答向量运算题,常出现以下失误常出现以下失误:(1)不能通过正确选择基底把题目中的向量用不能通过正确选择基底把题目中的向量用基向量表示而出错基向量表示而出错.(2)因向量运算复杂而造成失误因向量运算复杂而造成失误.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何命题预测命题预测从近几年的高考来看从近几年的高考来看,空间向量的数量积及空间向量的数量积及其应用的单独考查在高考中偶尔有所体现其应用的单独考查在高考中偶尔有所体现,常与其他知识综合考查常与其他知识综合考查,
19、题型有选择题、填题型有选择题、填空题和解答题空题和解答题.解答题中一般考查学生综合解答题中一般考查学生综合运用知识解决问题、处理问题的能力运用知识解决问题、处理问题的能力.考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何预测预测2013年高考仍将以空间向量的数量积与年高考仍将以空间向量的数量积与解决立体几何问题为考查点解决立体几何问题为考查点,考查学生的运算考查学生的运算能力能力,分析问题、解决问题的能力分析问题、解决问题的能力.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何典例透析典例透析 栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第
20、七章立体几何栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何【答案】【答案】B栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何【得分技巧】【得分技巧】数形结合法数形结合法,用特殊图形用特殊图形(如如正四面体正四面体)计算计算,或在一般图形中或在一般图形中,选取基向量选取基向量,用基底表示题中向量用基底表示题中向量,然后再计算然后再计算.【失分溯源】【失分溯源】解答本题易出现由于参与运解答本题易出现由于参与运算的向量较多算的向量较多,找不到突破口找不到突破口,无从下手无从下手,盲目盲目选择而出错选择而出错.栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关栏目栏目导引导引第七章立体几何第七章立体几何本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
