1、2.对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA A、B 对立对立A、B 互斥互斥.ABBA且,AB互互 斥斥对对 立立第第4章章 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式l1.条件概率条件概率l2.全概率公式全概率公式l3.多个事件的独立性多个事件的独立性lP28 习题习题3 4,7,8,11,121.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式1122()()()()()()()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1()()(),1,2,.()()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B(
2、)()()P ABP A P B A乘法定理乘法定理2.独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)(BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.1).三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念
3、3.多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2).三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是三三个个事事件件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 定理定理 如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p(0p
4、1),则在则在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()(0,1,2,)kn0()1.nnkP k且4.贝努里概型贝努里概型例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30%,二厂生产的占二厂生产的占 50%,三厂生产的占三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,.3,2,1,iiBi厂
5、的产品厂的产品任取一件为任取一件为为为事件事件123,BBB 解解.3,2,1,jiBBji由全概率公式得由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233()()()()()()().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013.02.001.05.001.03.002.0 ,01.0)(,01.0)(,02.0)(321 BAPBAPBAP112233()()()()()()()P AP B P ABP B P ABP B P AB故故l1.一维离散型随机变量的分布律，一维离散型随机变量的分布律，并进一进一步求
6、步求EX和和DX.l2、根据概率反求或判定分布函数中的参数、根据概率反求或判定分布函数中的参数.并进一步求进一步求EX和和DX.l3、正态分布中有关计算、正态分布中有关计算第第5章章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 随随 机机 变变 量量离离 散散 型型随机变量随机变量连连 续续 型型随机变量随机变量分分 布布 函函 数数分分 布布 律律密密 度度 函函 数数均均匀匀分分布布指指数数分分布布正正态态分分布布两两点点分分布布二二项项分分布布泊泊松松分分布布随机变量随机变量的函数的的函数的 分分 布布定定义义主要内容性质性质 ;,2,1,0)1(kpk.1)2(1 kkp.,2,1,),
7、2,1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 1.一维离散型随机变量的分布律一维离散型随机变量的分布律定义定义（非负性）（非负性）（规范性）（规范性）F(x)是事件的概率，是事件的概率，PP )(limxFx(4)F(x)关于关于 x 右连续，右连续，.)()(lim00 xFxFxx F(-(-)(lim)(xFFx 2.分布函数的特征性质分布函数的特征性质21xx (3)(1)=1；=0，;,1)(0 xxF21
8、xXxX (2)F(x)是是 x 的非减函数，的非减函数，即若即若 x1x2,则则 F(x1)F(x2);即对任意的实数即对任意的实数 x0 0，有，有 非负性非负性 单调单调不减性不减性 右连右连续性续性 规范性规范性().F xP Xx性质性质.0)(,)1(xpx对任意的对任意的.d)()(12 xxp(),(),()()d,(),.xF xp xxF xp ttp x 设 为随机变量，为 的分布函数 若存在非负函数使对于任意实数有则称 为连续型随机变量 其中称为 的概率密度函数 简称概率密度3、连续型随机变量的密度函数与分布函数连续型随机变量的密度函数与分布函数定义定义).,(,)0(
9、,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为正态分布或高斯分布正态分布或高斯分布的的服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 4.正态分布中的有关计算(1)定义定义).1,0(,1,0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt(2)标准正态分布标准正态分布).1,0(),(120NXZNX
10、 则则若若.20 cddXcP ).(1)(30 xx (3)重要公式重要公式(应用应用)第第6章章 二维随机变量的分布二维随机变量的分布l1.根据的联合分布反解参数根据的联合分布反解参数.l2.已知二维连续型随机变量的联合分布密已知二维连续型随机变量的联合分布密度要求出边缘密度函数度要求出边缘密度函数.l l3.证明证明X与与Y的独立性的独立性.l 第7章 随机变量的函数的分布1.已知二维离散型随机变量的联合分布列已知二维离散型随机变量的联合分布列,求出求出其函数的分布列和数学期望其函数的分布列和数学期望.2.当两个随机变量的独立时当两个随机变量的独立时,泊松分布和正态分布具有泊松分布和正态
11、分布具有可加性。可加性。习题习题 (1)离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的的分分布布律律为为若若也也是是离离散散型型随随机机变变量量其其函函数数是是离离散散型型随随机机变变量量如如果果XXgYX.)(,Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg(2)连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布.)(,也是连续型随机变量也是连续型随机变量其函数其函数是连续型随机变量是连续型随机变量如果如果XgYX 的分布函数的分布函数求出求出数数的密度函的密度函的概率密度通常是根据的概率密度通常是根据计
12、算计算YxfXYX)()()(yXgPyYPyFY ,)(d)()(xxxfyxgX.)(的密度函数的密度函数求导得到求导得到再对再对YyFY第8章 随机变量的数字特征1.重点重点数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算2.难点难点数字特征的计算数字特征的计算方差的性质和计算方差的性质和计算不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系 习题习题 1.离散型随机变量的数学期望的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量X.,2,1,kpxXPkk ,1绝对收敛绝对收敛若级数若级数 kkkpx,1数学期望数学期望的的为随机变量为随机变量则称级数则称级数Xpxkkk ,)(XE记记为为.)(
13、1 kkkpxXE即即2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望,)(,d)(XEXxxxf记为记为的数学期望的数学期望随机变量随机变量则称此积分值为连续型则称此积分值为连续型绝对收敛绝对收敛若积分若积分 .d)()(xxxfXE 即即 ),(,xfX它的概率密度为它的概率密度为是连续型随机变量是连续型随机变量3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望为离散型随机变量函数的数学期望为),2,1(,)(kpxXPXgYkk且且若若则有则有.)()(1 kkkpxgXgE.d)()()(xxfxgXgE ),(,xfX它它的的分分布布密密度度为为是是连连
14、续续型型的的若若则有则有4.数学期望的性质数学期望的性质1.设设C是常数是常数,则有则有.)(CCE 2.设设X是一个随机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有).()(XCECXE 3.设设X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有).()()(YEXEYXE 4.设设X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有).()()(YEXEXYE 5.二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望 ,dd),(,)(yxyxxfpxXEijiji同理可得同理可得则则其其期期望望值值定定义义为为存存在在都都若若为为二二维维随随机机变变量量设设 ,)(,)(,),(YEXEYX
15、;),(ijpYX的的概概率率分分布布为为.),(),(yxfYX的的密密度度为为 ,dd),(,)(yxyxyfpyYEijiji ;),(ijpYX的的概概率率分分布布为为.),(),(yxfYX的的密密度度为为 ,),(,.1是是二二元元函函数数为为离离散散型型随随机机变变量量若若yxgYX,),(),(iijjjipyxgYXgE .),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为当当,dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则则则 ,),(,.2是是二二元元函函数数为为连连续续型型随随机机变变量量若若yxgYX .),(),(yxfYX的的联联合合分分布布密密度度为为当当6
16、.方差的定义方差的定义.)(,)(,)()(Var)(),(Var )(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX 记记为为为为标标准准差差或或均均方方差差称称即即或或记记作作的的方方差差是是则则称称存存在在若若是是一一个个随随机机变变量量设设 方差的计算方差的计算.)()()(22XEXEXD 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD .,2 ,1 ,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)(为概率密度为概率密度其中其中xf方差的性质1.设设 C 是常数是常数,则有则有.0)(CD2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有).()(2XDCCXD).()()(YDXDYXD ,)(),(,.3则则存在存在相互独立相互独立设设YDXDYX即即取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是,10)(.4CXXD.1 CXPp)1(pp 10,1 pnnp)1(pnp 0 121ba 2)(ba 12)(2ab 0一维分布一维分布 参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0,2 40 结束语结束语
