1、 主讲人：许昌高级中学许昌高级中学 邓焕迎邓焕迎6 6 三垂线定理三垂线定理 9.4 9.4 直线与平面垂直的判定和性质直线与平面垂直的判定和性质教学目的掌握三垂线定理及逆定理掌握三垂线定理及逆定理运用三垂线定理及逆定理解决数学问题运用三垂线定理及逆定理解决数学问题在实际生活中运用三垂线定理及逆定理在实际生活中运用三垂线定理及逆定理重点与难点三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及逆定理的应用复习提问1.直线和平面垂直的判定定理。2.平面的斜线段的长与射影长的关系。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
2、斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。这个结论是如何得到呢？这个结论是如何得到呢？一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：已知：已知：AC和AB分别是平面的垂 线和斜线，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求证：求证：aAB。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：已知：AC和AB分别是平面的垂 线和斜线，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求证：求证：aAB。内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条
3、斜线那么它已知：已知：AC和AB分别是平面的垂 线和斜线，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求证：求证：aAB。证明：证明：AC面，内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：已知：AC和AB分别是平面的垂 线和斜线，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求证：求证：aAB。证明：证明：AC面，内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：已知：AC和AB分别是平面的垂 线和斜线，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求证：求证
4、：aAB。证明：证明：AC面，ACaa 面内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：已知：AC和AB分别是平面的垂 线和斜线，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求证：求证：aAB。证明：证明：AC面，ACaa 面BCa，ACBCCa平面ACBAB 面ACBa AB内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。注意：三垂线定理中的“三垂”指的是平面中的三个垂直关系1、线和面垂直：AC和垂直2、线和射影垂直：a和BC垂直3、线和斜线垂直：a和AB垂直aABC？那么，什么是三垂线定理的逆定理呢？2.三垂线定理的逆定
5、理aABC在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影2.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理和逆定理的关键在于应用，这也是我们本节课的重点和难点！先看一例生活中的数学问题二、应用AB 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部
6、的距离。AEFB？怎样才能求出 旗杆顶部A到楼底部的距离呢？二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，AEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC
7、垂足为C，AEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用 例1.
8、已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，AEFCB二、应用 例1.已知学校的
9、旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，AEFCB二、应用 例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF 的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，由勾股定理得：2948202222BCABAC（米）答：旗杆底部B到楼底部 的距离为 米。294AEFCB 感觉不错吧！再来看一个例子：例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于
10、E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BA
11、C ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC ABCPOEF 哟，这个有点难，动动脑筋吧！例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PEABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEP
12、F求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PEPFABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PEPFABCPOEF在平面内的射影。例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PEPF在平面内的射影。PE PFABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO
13、平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE PF在平面内的射影。PE PF OEOF AB PE PO 平面ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE PF在平面内的射影。PE PF OEOF AB PE PO 平面ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE PF在平面内的射影。PE PF OEOF AB PE P
14、O 平面由三垂线定的逆定理，有OE AB，ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE PF在平面内的射影。PE PF OEOF AB PE PO 平面由三垂线定的逆定理，有OE AB，ABCPOEF例2.已知：P为BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PE AB于E，PF AC于F PEPF求证：AO平分 BAC 证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE PF在平面内的射影。PE PF OEOF AB PE PO 平面由三垂线定的逆定理，有OE AB，A
15、BCPOEF同理 OF AC有OE AB，AO为 BAC的平分线即AO平分 BAC学以致用学以致用 下面几道题要检验下面几道题要检验同学们听讲的效果同学们听讲的效果三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （）？认真想一想 线面垂直的定义三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线c b,那么a c （）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的
16、斜线，b是a在平面上的射影，如果直线c b,那么a c （）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线c b,那么a c （）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线c b,那么a c （）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线
17、c b,那么a c （）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线c b,那么a c （）abc 通过直线C的运动，我们可知这道题的答案应该是三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线c b,那么a c （）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线 （真 ）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影
18、，如果直线c b,那么a c （）abc假(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线c a，c b,那么c 。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线c a，c b,那么c 。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线c a，c b,那么c 。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线c a，c b,那么c 。()abc？这道题的答案应该是(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线c
19、a，c b,那么c 。()abc真2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDDO注意：认真分析题目所给的条件2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDDO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBC
20、CDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是点A到BD的距离。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的
21、距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是点A到BD的距离。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是点A到BD的距离。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDA
22、O即AO就是点A到BD的距离。O22AAOAAO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是点A到BD的距离。22AAOAAOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到BD的距离。AABBCCDD解：连接BD，连接AC，它们交于O，再连接AO，ABCDABCD是正方体，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是点A到BD的距离。22AAOAAO又25552122CAOAAA5 3525505)25(22AO即点A到B
23、D的距离是 厘米。35O 注意：通过这道题我们可以发现，通过这道题我们可以发现，在应用三垂线定理及逆定理时关键在应用三垂线定理及逆定理时关键在于：选好平面位置，定好垂足，在于：选好平面位置，定好垂足，找出射影。找出射影。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。小 结一、三垂线定理一、三垂线定理逆定理课后作业 课本第课本
24、第29页页11、12、13题。题。二OO三年三月107.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。118.世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验；世界上最愚蠢的人是非用自己撞的头破血流的经验当经验。64.谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。80.现实会告诉你，不努力就会被生活给踩死。无需找什么借口，一无所有，就是拼的理由!62.为什么要满足于现在的成绩，你有多优秀?50.因为在这个世界上，到头来我们注定都是孤独的。67.每一种创伤，都是一种成熟。56.你生活在别人的眼神里，就迷失在自己的心路上。你永远无法满足所有人，不必
25、为了取悦这个世界而扭曲自己。22.我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。94.玉不琢，不成器；木不雕，不成材；人不学，不知理。24.没有目标的学习是空学，没有方法的学习是死学。119.有什么样的想法就有什么样的未来；有什么样的想法就有什么样的生活。47.与其相信依靠别人，不如相信依靠自己。29.身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，你唯一可以抱怨的，只有不够努力的自己。33.人生用一个字来总结就是“找”字。97.做有用的事，说正能量的话，想美好的事，睡安稳的觉。把时间发生在进步上，而不是抱怨上。116.立志宜思真品格，读书须尽苦功夫。92.你所浪费的今天，是昨天死去的人奢望的明天；你所厌恶的现在，是未来的你回不去的曾经。115.分数铸就辉煌，汗水凝聚实力。48.不求与人相比，但求超越自我，要哭就哭出激动的泪水，要笑就笑出成长的性格。92.有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。76.不怕别人比你优秀，就怕比你优秀的人比你还努力。94.在学习上，最大的竞争对手就是你自己，要勇于超越自我。
