1、华中科技大学微积分上册第华中科技大学微积分上册第五章全部五章全部二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第五章第五章 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的作tAFsin下沿直线运动下沿直线运动,).(tv因此问题转化为因此问题转化为:已知已知,sin)(tmAtv求求?)(tv在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律根据牛顿第二
2、定律,加速度加速度mFta)(tmAsin定义定义 1.若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F(x)及及 f(x)满足满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数.则称则称 F(x)为为f(x)如引例中如引例中,tmAsin的原函数有的原函数有,cos tmA,3cos tmA问题问题:1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.若原函数存在若原函数存在,它如何表示它如何表示?定理定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上
3、连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2.的所有则)(xf原函数都在函数族原函数都在函数族CxF)(C 为任意常数为任意常数)内内.证证:1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知又知)()(xfxF)()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故故0)()(CxFx)(0为某个常数C即即0)()(CxFx属于函数族属于函数族.)(CxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即定义定义 2.)(xf在
4、区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分上的不定积分,d)(xxf其中其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;(P149)若若,)()(xfxF则则CxFxxf)(d)(C 为任意常数为任意常数)C 称为称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组
5、成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 的的积分曲线积分曲线.例例1.设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.解解:xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点所求曲线过点(1,2),故有故有C2121 C因此所求曲线为因此所求曲线为12 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo)2,1(ox例例2.质点在距地面质点在距地面0 x处以初速处以初速0v力力,求它的运动规律求它的运动规律.解解:取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴,原
6、点在地面原点在地面,指向朝上指向朝上,)0(0 xx)(txx 质点抛出时刻为质点抛出时刻为,0t此时质点位置为此时质点位置为初速为初速为,0 x设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为,)(txx 则则)(ddtvtx(运动速度运动速度)tvtxdddd22g(加速度加速度).0v机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛垂直上抛,不计阻不计阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx先求先求.)(tv,ddgtv由由知知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttv g再求再求.)(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx
7、由,02xC 得于是所求运动规律为于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由由)(ddtvtx,0vt g知知机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故ox)0(0 xx)(txx xdd)1(xxfd)()(xf二、二、基本积分表基本积分表(P150)从不定积分定义可知从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或或Cxd)2()(xF)(xF或或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd)1(k 为常数为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束)1()ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdc
8、os)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 xchdx2)16(Cthx xshdx2)17(Cxcoth例例3.求求.d3xxx解解:原式原
9、式 =xxd34134Cx313例例4.求求.dcossin22xxx解解:原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、不定积分的性质三、不定积分的性质分项积分法分项积分法xxfkd)(.1xxgxfd)()(.2推论推论:若若,)()(1xfkxfinii则则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求求.d)5(2xexx解解:原式原式=xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例
10、6.求求.dtan2xx解解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7.求.d)1(122xxxxx解解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCx ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求求.d124xxx解解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表(见见P 150)2.直接积分
11、法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束,2chxxeex2shxxeex思考与练习思考与练习1.证明证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数都是xxex2.若若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(lnxfx1Cx 221机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:3.若若)(xf是是xe的原函数的原函数,则则xxxf
12、d)(ln提示提示:已知已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个原函数是是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知已知xxfsin)(求求即即B)()(xfxsin)(?或由题意或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.求下列积分求下列积分:.cossind)2(;)1(d)1(2222xxxxxx提
13、示提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.求不定积分求不定积分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1)1()1(2xxeexeexxd)1(2Cxeexx221机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.已已22221d1d1xxBxxAxxx求求 A,B.解解:等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA机动 目录 上页 下页 返回 结束
14、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第五章第五章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设,)()(ufuF)(xu可导可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元则有换元公式公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称也称配元法配元法即即xxxfd)
15、()(,凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求求).1(d)(mxbxam解解:令令,bxau则则,ddxau 故故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注注:当当1m时时bxaxdCbxaaln1机动 目录 上页 下页 返回 结束 22)(1d1axxa例例2.求求.d22xax解解:22dxax,axu 令令则则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu arctan)(ax机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求求).0(d22axax21duu想到想到Cu arcs
16、in解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似类似Caxaxaln21例例5.求求.d22axx解解:221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)(d机动
17、 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式:(P155)xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6.求求.)ln21(dxxxxln21xlnd
18、解解:原式原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfd11)(arctan)9(2)(arctan xfxarctand例例7.求求.d3xxex解解:原式原式=xexd23)3d(323xexCex332例例8.求求.dsec6xx解解:原式原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxee
19、xxd1xxee1)1(dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxsin11sin1121例例10.求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证同样可证xxdcscCxxcotcscln或
20、或xxdcscCx2tanln机动 目录 上页 下页 返回 结束 222d)(2123xax例例11.求求.d)(23223xaxx解解:原式原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动 目录 上页 下页 返回 结束)2cos2cos21(241xx 例例12.求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2c
21、osxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x原式原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxexex111xexexxxdd xexxd)1(例例14.求求.d)1(
22、1xexxxx解解:原式原式=xexxxxd)1()1(xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:例例15.求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解:原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(xfxf小结小结常用简化技巧常用简化技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降
23、低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式利用三角公式;配元方法配元方法(4)巧妙换元或配元巧妙换元或配元等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx万能凑幂法万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差利用积化和差;分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式,如如思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4
24、)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxd)1(1102.求求.)1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3)1(d10 xxx10)x)1(d10 xxx)1(1010 xx)1(d10 xxx)1(d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分若所求
25、积分xxxfd)()(易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.难求，难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2.设设)(tx是单调可导函数是单调可导函数,且且,0)(t)()(ttf具有原函数具有原函数,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf,)(t令令)()(1xxF则则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct)(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式则有换元公式例例16.求求.)0(d22axxa解解:令令,),(
26、,sin22ttax(正弦代换正弦代换)则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17.求求.)0(d22aaxx解法一解法一:令令,),(,tan22ttax(正切代换正切代换)则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx2
27、2ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa1C例例17.求求.)0(d22aaxx解法二解法二:令令,shtax(双曲代换双曲代换)则则chtaatshaax22222tchtaxdd)/(1/ln()/(2axaxaxarcsht 原式原式 chtachtadt1Ct Cxax22ln)ln(1aCCtd例例18.求.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令令,),0(,sec2ttax(正割代换正割代换)则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22
28、ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ax axa,时当ax令令,ux,au 则于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式原式21)1(22ta221a例例19.求求.d422xxxa解解:令令,1tx(倒代换倒代换)则则txtdd21原式原式ttd12tttad)1(2122,0时当 x42112tta Cata2223)1(23当当 x 0 时时,类似可得同样结果类似可得同样结果.Cxaxa32223)(23)
29、1(d22ta机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例20.求求.dln1lnxxxx解解:为了去掉根号，作代换为了去掉根号，作代换,ln1xt则则.21,1ln2tdtdxxtx原式原式tdttt212dtt)1(22Ctt2323Cxxln1)2(ln32小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令令taxsin或或taxcos,d),()4(22xxaxf令令taxtan或或taxsh,d),()5(22xaxxf令令taxsec或或taxch机
30、动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲第四节讲xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(P159-160)(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换,d)()6(xafx令令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)2
31、4(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束.32d2 xxx解解:原式原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(公式公式(20)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例21.求例例22.求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(公式公式(23)例例23.求.1d2xxx解解:原式=22)()()(d21x(公式公式(22)2521xCx512arcsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例24.求.1d2xex解解:原式xxee21dCexarcsin(公式公式(22)例例25.求求.d222axxx解解:令令,
32、1tx 得得原式原式ttatd1221)1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttd)1(12132例例26.2)1(d23xxxx解解:原式原式1)1()1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1(22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121)1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 返回 结束 1.已知已知,1d)(25Cxxxfx求求.d)(xxf解解:两边求导两边求导,得得)(5xfx,12xx则则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dt
33、tt222d121ttt1(1)1(d)1(212221tt)1(d)1(212221tt23)1(312tCt21)1(2(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习xxxd11)132备用题备用题 1.求下列积分求下列积分:)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin5机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求不定积分求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用利用凑微分法凑微分法,xx22sin2s
34、in1原式原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 分子分母同除以分子分母同除以3.求不定积分求不定积分解解:.d1)1(122xxx令令,sintx,sin1122txttxdcosd 原式原式ttttdcos)sin1(cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct)tan2arctan(21Cxx212arctan21机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttdtansecsec222第三节由
35、导数公式由导数公式vuvuuv)(积分得积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd1)v 容易求得容易求得;xvuxvudd)2比容易计算容易计算.:)d(的原则或及选取vvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第五章第五章 例例1.求求.dcosxxx解解:令令,xu,cosxv 则则,1 uxvsin 原式原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考:如何求如何求?dsin2xxx提示提示:令令,2xu,sin xv 则则原式原式xx cos2xxxdcos2Cxxxxxcos2sin2cos2机动 目录 上页 下页
36、返回 结束 例例2.求求.dlnxxx解解:令令,ln xu xv 则则,1xu 221xv 原式原式=xx ln212xxd21Cxxx2241ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求求.darctanxxx解解:令令,arctan xu xv 则则,112xu221xv 原式原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111(212xx arctan212Cxx)arctan(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求求.dsinxxex解解:令令,sin xu xev,则则,cosxu xev 原式原式xexsinxxexdcos再
37、令再令,cosxu xev,则则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故故 原式原式=Cxxex)cos(sin21说明说明:也可设也可设veux,为三角函数为三角函数,但两次所设类型但两次所设类型必须一致必须一致.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积,按按“反对幂指三反对幂指三”的的顺序顺序,前者为前者为 后者为后者为u.v例例5.求求.darccosxx解解:令令,arccosxu 1 v,则则,211xuxv 原式原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1
38、(222121xxxxarccosCx 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 反反:反三角函数反三角函数对对:对数函数对数函数幂幂:幂函数幂函数指指:指数函数指数函数三三:三角函数三角函数例例6.求求.dcoscosln2xxx解解:令令,coslnxu xv2cos1,则则,tan xuxvtan原式原式=xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxxtan机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求求.dxex解解:令令,tx则则,2tx ttxd2d 原式原式tettd2tet(2Cxex)1(2,tu tev)teC机动
39、目录 上页 下页 返回 结束 令令例例8.求求.)0(d22axax解解:令令,22axu,1 v则则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式原式=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求求.)(d22nnaxxI解解:令令,)(122naxu,1 v则则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式得递推公式nnnIannaxxanI22221
40、212)(21222)(aaxnaxx)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:递推公式递推公式nnaxxI)(d22已知已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得利用递推公式可求得.nI例如例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.证明递推公式证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd)1(sectan22)d
41、(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或或1I0I,Cx1ICx cosln机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:分部积分题目的类型分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分直接分部化简积分;2)分部产生循环式分部产生循环式,由此解出积分式由此解出积分式;(注意注意:两次分部选择的两次分部选择的 u,v 函数类型不变函数类型不变,解出积分后加解出积分后加 C)3)对含自然数对含自然数 n 的积分的积分,通过分部积分建立递通过分部积分建立递 推公式推公式.例4 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函数是,cosxx求求.d
42、)(xxfx 解解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明:此题若先求出此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例12.求求.d xI23)1(2x解法解法1 先换元后分部先换元后分部令令,arctanxt 则则tdtdxtx2sec,tanteIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21x
43、x211xCexarctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 xeIxdarctan23)1(2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1(11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部积分法用分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 xexarctan211xd 23)1(2xxexarctanvu内容小结内容小结 分部积分公式分部积分公式xvuvuxvudd1.使用原则使用原则:xvuvd易求出易求出,易积分易积分2.使用经验使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前前 u 后后v3.题目类型题目类型:分部化简分部
44、化简;循环解出循环解出;递推公式递推公式4.计算格式计算格式:vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求求xxId)ln(sin解解:令令,lnxt 则则texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求可用表格法求多次分部积分多次分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 uexexuudd,例例14.求求.d)(ln43xxx解解:令令则则原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24
45、240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式=ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里下述运算错在哪里?应如何改正应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得 0=1答答:不定积分是原函数族不定积分是原函数族,相减不应为相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法求此积分的正确作法是用换元法.xxsinsind
46、Cx sinln机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题.求不定积分求不定积分解解：.d1xexexx方法方法1(先分部先分部,再换元再换元)xexexxd1)1(d1xxeexx2)1(dxe12xexxexd12令令,1xeu则则uuuxd12d2uuud142212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2(先换元先换元,再分部再分部)令令,1xeu则则,)1ln(2ux故故xexexxd1uuuuuud12)1ln()1(222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(2
47、2uuu4Cu arctan412xexCeexx1arctan414机动 目录 上页 下页 返回 结束 1uuuxd12d2第四节 基本积分法基本积分法:直接积分法直接积分法;换元积分法换元积分法;分部积分法分部积分法 初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容本节内容:第五章第五章 一、一、有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数有理函数:nm 时时,)(xR为假分式为假
48、分式;nm 时时,)(xR为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式+真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式:;)1(1)1(2xx;653)2(2xxx.)1)(21(1)3(2xx解解:(1)用拼凑法用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)用赋值法用赋值法
49、6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故故25x原式36x机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)混合法混合法)1)(21(12xx xA2121xCBx原式)21(xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令1,0 xC541215461CB52B51C原式=x214512112xx四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42)1,0
50、4(2nqp变分子为变分子为)2(2pxM2pMN 再分项积分再分项积分 例例2.求求.)1)(21(d2xxx解解:已知已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求求.d3222xxxx解解:原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23思考思考:如何求如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束?d)32(222xxxx提示提示
