1、12机械优化设计的定义：机械优化设计的定义：机械优化设计机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。期目标的最优设计方案和最佳设计参数。3一一 设计变量设计变量 在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。设计变量必须是设计变量必须是独立变量独立变量，即：在一个优化设计问题中，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有任意两个设计变量之间没有函数关系函数关系。二二 设计空间设计空间 在一个优化设计问题中
2、，所有可能的设计方案构成了一个在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间向量空间，并且是，并且是一个一个欧氏空间欧氏空间。一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的间的维数维数。三三 目标函数目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为设计变量的函数，称为目标函数目标函数。4 四四 设计约束设计约束 优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件优化设计中设计变
3、量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。是设计变量的函数。约束条件的分类约束条件的分类（1）根据约束的性质分）根据约束的性质分边界约束边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即性能约束性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出来由结构的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。的约束条件。iiibxai 1,2,，n5u=1,2,，m 0Xgu 0Xhvv=1，2，p n（2）根据约束条件的形式分）根据约束条件的形式分不等式约束不等式约束一个一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于少于 n。显
4、式约束显式约束 隐式约束隐式约束等式约束等式约束6五五 可行域可行域 可行域可行域:在设计空间中，满足在设计空间中，满足所有约束条件的所有约束条件的所构成的所构成的空间空间。7min.0,1,2,0,1,2,nuvfXXRs tgXumhXvpn六六 优化设计的数学模型优化设计的数学模型（一）优化设计的数学模型（一）优化设计的数学模型8min.0,1,2,0,1,2,uvfXs tgXumhXvpn（二）约束优化设计的最优解二）约束优化设计的最优解 约束优化设计的最优解为使约束优化设计的最优解为使的的 X*、f(X*)。9 2-1 目标函数的基本性质目标函数的基本性质一一 函数的等值面（线）函
5、数的等值面（线）函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质整体性质的。的。二二 函数的最速下降方向函数的最速下降方向梯度梯度X1 点的最速下降方向为点的最速下降方向为 局部性质局部性质 TnnxXfxXfxXfxfxfxfXf21211fX10 用用Matlab可画出该可画出该函数的等直线。函数的等直线。11122212111222123142min()44 s.t.()20()10()0()0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的
6、无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：*(2,0)x，*()0Fx约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58,1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=013三三 函数的近似表达式函数的近似表达式 f(X)的近似表达式为的近似表达式为 kkTkkTkkXXXHXXXXXfXfXf21 H(X(k)为为Hessian 矩阵矩阵 22221222222122122122122nknknknkkknkkkkkxXfxxXfxxXfxxXfxXfxxXfxxXfxxXfxXfXfXH142-2 函
7、数的凸性函数的凸性1.凸集凸集 2.凸函数凸函数 如果如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；矩阵正定，为凸函数；二次函数二次函数 12TTfXX QXb Xc15 1.002.3.2.4.2TTTfXCfXCfXb XfXbfXX XfXXQfXX QXfXQX常数则，即，则，则，对称矩阵。则，162-3 优化问题的极值条件优化问题的极值条件 *一、无约束优化问题的极值条件一、无约束优化问题的极值条件12()0TnFFFFxxxxx1.F(x)在在 处取得极值，其必要条件是处取得极值，其必要条件是:*x即在极值点处函数的梯度为即在极值点处函数的梯度为n维零向量。维零向量。172.处取得极值充分条
8、件处取得极值充分条件2222112122222*2122222212*()nnnnnFFFxx xx xFFFx xxx xFFFFx xx xx 正定或负定xxl海色（海色（Hessian）矩阵）矩阵 ，即各阶主，即各阶主子式均大于零，则子式均大于零，则X*为为。()Hx*xl海色（海色（Hessian）矩阵）矩阵 ，即各阶主，即各阶主子式负、正相间子式负、正相间，则，则X*为为。()Hx181、约束优化设计的最优点在可行域、约束优化设计的最优点在可行域 D 中中 最优点是一个内点，其最优解条件与无约束最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；优化设计的最优解条件相同；
9、*二、约束优化问题的极值条件二、约束优化问题的极值条件192、约束优化设计的最优点在可行域、约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上的边界上 设设 X(k)点有适时约束点有适时约束10(1,2,)()0()0()ljkjkj JkiiijjghFinxxxgjJjJx*库恩库恩塔克条件塔克条件（K-T条件）：条件）：20 是多元函数取得约束极值的是多元函数取得约束极值的,以用来作为约束极值的判断条件，以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。又可以来直接求解较简单的约束优化问题。这种情况这种情况K-TK-T条件即为多元函数取条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件
10、。得约束极值的充分必要条件。21第三章第三章 一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法*黄金分割法黄金分割法1、在寻找一个区间、在寻找一个区间 Xa,Xb，使函数，使函数 f(X)在该区间的极小点在该区间的极小点 X*Xa,Xb 。2、用黄金分割法在区间、用黄金分割法在区间 Xa,Xb 中寻找中寻找 X*。Xa，X1，X2，Xb 如何消去子区间？如何消去子区间？f(X1)f(X2)，消去，消去Xa，X1，保留，保留X1，Xb120.61803398875bbaabaXXXXXXXX22第三章第三章 一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法确定最优解所在区间的进退法确定最优解所在区间的进退法一维
11、搜索的插值类方法一维搜索的插值类方法23*4-1 梯度法梯度法负梯度方向负梯度方向 是函数最速下降方向。是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即 k=1,2,n kXf kkdfX 第第 四四 章章 无约束最优化方法无约束最优化方法24 *在最速下降法中，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直数梯度相互垂直。而搜。而搜索方向就是负梯度方向，索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向因此相邻两个搜索方向互相垂直。互相垂直。图图4-2 最速下降法的搜索路径最速下降法的搜索路径254-2 牛顿法牛顿法
12、牛顿法的迭代公式牛顿法的迭代公式 阻尼牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向牛顿方向 110,1,kkkkkXXHXfXk ,1,011kXfXHXXkkkk 1kkkdHXfX 264-3 变尺度法变尺度法(DFP 法法)H(0)=I，变尺度法本质上是共轭方向法。变尺度法本质上是共轭方向法。1kkkHHH 111kkkdHfX 274-4 共轭方向法共轭方向法1共轭方向共轭方向定义：定义：设设 A 为为 n n 阶实对称正定矩阵，有一组阶实对称正定矩阵，有一组非零非零的的 n 维向量维向量 d1、d2、dn，若满足，若满足 diT A dj 则称向量系则称向量系 di(i=1,2,n)
13、对于矩阵对于矩阵 A 共轭共轭。28*二二 鲍威尔鲍威尔(Powell)法法 鲍威尔法原理，鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？如何构成共轭方向？能具体运用！能具体运用！29*4-5 单纯形方法单纯形方法单纯形思想、原理；单纯形思想、原理；四种操作：四种操作：反射、扩张、收缩和缩边反射、扩张、收缩和缩边。30第五章第五章 约束优化设计约束优化设计5-1 关于设计约束的若干概念关于设计约束的若干概念 可行域可行域 所有满足全部约束条件的点的集合。所有满足全部约束条件的点的集合。0,1,2,0,1,2,uvgXumDXhXvpn31可行点可行点 可行域中的点，即满足所有约束条件的点。可行域中的点，即满
14、足所有约束条件的点。边界点边界点 在可行域边界上的点。在可行域边界上的点。若有点若有点 Xk 使得使得 则则 Xk 为一个边界点。为一个边界点。内点内点 除边界点以外的所有可行点。除边界点以外的所有可行点。若有点若有点 Xk 满足满足 则则 Xk 为一个内点。为一个内点。miXgki,2,1,0miXgki,2,1,032非可行域非可行域 可行域以外的区域。可行域以外的区域。非可行点非可行点 非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。适时约束适时约束 若有点若有点 X k 使某个不等式约束使某个不等式约束 gu(X)0 的等号的等号 成立，即成立，即
15、则称则称 g i(X)0 为点为点 X k 的一个适时约束。的一个适时约束。等式约束始终是适时约束。等式约束始终是适时约束。miXgki,2,1033*可行下降方向可行下降方向1可行方向可行方向 定义定义 设点设点 ，若对于方向，若对于方向 S，存在任意小正数，存在任意小正数 0，使得，使得 则称则称 S 为为 X(k)点的一个可行方向。点的一个可行方向。i.X(k)为可行域中的一个内点，为可行域中的一个内点，X(k)的任何方向均为可行方向。的任何方向均为可行方向。ii.X(k)为可行域中的一个边界点，设为可行域中的一个边界点，设 X(k)在约束面在约束面 gi(X)=0 上上。DXk 11,
16、kkkXXdXD 0TkigXd342 可行下降方向可行下降方向定义定义 设设 S 是是 的一个可行方向，即的一个可行方向，即 若对于上式中的若对于上式中的 X(k)、X(k+1)存在存在 则称则称 d为为 X(k)点的一个可行下降方向。点的一个可行下降方向。i.X(k)为可行域中的一个内点为可行域中的一个内点 DXk 11,kkkXXdXD 01kkXfXf()0kTkfxd35ii.X(k)点是可行域中若干约束面的交点点是可行域中若干约束面的交点 设设 X(k)点在约束面点在约束面 gj(X)=0，j=1,2,J若若 d 是是 X(k)点的一个可行下降方向，则应有点的一个可行下降方向，则应
17、有可行：可行：下降：下降：01,2,kjgXjJ()0(1,2,)kTkjjJgxd()0kTkfxd36*5-2 约束优化设计的复合形法约束优化设计的复合形法 对约束优化问题对约束优化问题1 确定初始复合形确定初始复合形 选择选择 顶点，这顶点，这 k 个顶点必须是个顶点必须是可行点可行点。2 确定搜索方向确定搜索方向i.计算计算 k 个顶点的函数值，设个顶点的函数值，设 记记 最坏点最坏点 X(1)为为 X(H)次坏点次坏点 X(2)为为 X(SH)最好点最好点 X(k)为为 X(L)muXgtsRXXfun,2,10.min kkXfXfXfXf12137ii.求出求出 X(2)、X(3
18、)、X(k-1)、X(k)的点集的中心的点集的中心(几何中心几何中心)X(S)iii.以以 X(H)指向指向 X(S)的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点点 X(R)。iv.若若 f(X(R)f(X(H)，则以，则以 X(R)代替代替 X(H)，构成新的复合形。，构成新的复合形。kjjSXkX211 HSSRXXXX381 内点法构造惩罚项的方法内点法构造惩罚项的方法 对于约束优化问题对于约束优化问题内点法的惩罚函数为内点法的惩罚函数为 muukkXgrXfrX11,min.0,1,2,nufXXRstgXum*5-3 惩罚函数法惩罚函数法
19、或或 muukkXgrXfrX1ln,392 内点法初始点的选择内点法初始点的选择 内点法要求初始点内点法要求初始点 X(0)是一个内点。是一个内点。3 惩罚因子惩罚因子 r(k)的选择的选择 0210rrr40二二 外点外点 惩罚函数法惩罚函数法 外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。等式约束的优化问题。外点惩罚函数的形式为：外点惩罚函数的形式为：2211(,)()max0,()()mlijijrfrgrhxxxxr是惩罚因子是惩罚
20、因子,012rrr 外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点的形式可知，当迭代点x 不可行时，惩罚项的值大于不可行时，惩罚项的值大于0。41三三 混合法混合法 混合法是用内点法处理不等式约束，用外点法处混合法是用内点法处理不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用来求解含不等式和等式约束的优化理等式约束。可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。问题。混合惩罚函数的形式为：混合惩罚函数的形式为：r是惩罚因子是惩罚因子,混合法具有内点法的特点，迭代过程在可行域之内混合法具有内点法的特点，迭代过程在可行域之内进行，参数的选择同内点法。进行，参数的选择同内点法。()()2()1111(,)()()()mlkkjkijirfrhgrxxxx01210kkrrrrr
