1、第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構1數位訊號處理數位訊號處理第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構2大綱大綱7.1 FIR與與IIR數位濾波器數位濾波器7.2 FIR濾波器架構濾波器架構7.2.1 直接形式直接形式7.2.2 串聯形式串聯形式7.2.3 線性相位形式線性相位形式 7.3 IIR濾波器架構濾波器架構7.3.1 直接形式直接形式7.3.2 串聯形式串聯形式7.3.3 並聯形式並聯形式7.4 總結與參考文獻總結與參考文獻第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構3數位濾波器數位濾波器(1)l 具有頻率選擇或頻率鑑別功能之離散LTI系統稱為
2、數位濾波器，一般數位濾波器有FIR與IIR兩種型式。1.FIR濾波器：一個LTI系統的脈衝響應長度有限，此系統稱為FIR濾波濾波器器(finite-duration impulse response filter)。可描述具因果性之FIR濾波器之脈衝響應：對應之差分方程式如下：l FIR濾波器也稱非遞迴非遞迴(non-recursive)或移動平均移動平均(moving average,MA)濾波器。else ,01 0 ,Mnbnhn 1 1 1-10MnxbnxbnxbnyM(7.1)(7.2)第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構4數位濾波器數位濾波器(2)2.IIR濾波器：一個LTI
3、系統的脈衝響應長度無限長，此系統稱為IIR濾波濾波器器(infinite-duration impulse response filter)。其差分方程式表示成l輸出yn是由之前的輸出以遞迴方式計算而得到，故也稱自動回歸式自動回歸式(autoregressive,AR)濾波器。lIIR濾波器若能表示成一般差分方程式 上式包含AR與MA兩部份，故此類IIR濾波器又稱為自動回歸移動平均(ARMA)濾波器。Nmmmnyanxny1 MmNmmmmnyamnxbny01 ARMA(7.3)第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構5濾波器架構基本元件濾波器架構基本元件l 檢視數位濾波器之差分方程表示式，
4、可用以下三種基本元件來建構。1.加法器：此元件有兩個輸入及一個輸出。三個或更多信號的加法可藉由連串的兩輸入加法器來實現。2.乘法器(增益)：乘法器是單一輸入單一輸出的元件。3.延遲元件(移位器或記憶體)：將經過它的信號延遲一個取樣，可用一個移位暫存器來實現。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構6數位濾波器數位濾波器(3)l 本章先一般性的說明FIR與IIR數位濾波器實現架構，其中使用前述三種基本元件依濾波器之差分方程式(或系統函數)建構。l 第8章與第9章再分別討論FIR與IIR數位濾波器的設計方法。l 第8章與第9章完成設計之濾波器，可以輕易地以本章所述架構加以實現，實現方式可以採用硬體
5、或軟體。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構7大綱大綱7.1 FIR與與IIR數位濾波器數位濾波器7.2 FIR濾波器架構濾波器架構7.2.1 直接形式直接形式7.2.2 串聯形式串聯形式7.2.3 線性相位形式線性相位形式 7.3 IIR濾波器架構濾波器架構7.3.1 直接形式直接形式7.3.2 串聯形式串聯形式7.3.3 並聯形式並聯形式7.4 總結與參考文獻總結與參考文獻第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構8FIR濾波器系統表示方式濾波器系統表示方式l 一個FIR濾波器的系統函數之型式為l 其脈衝響應hn為l 一個FIR濾波器之差分方程式可表示為1011110 )(MnnnMMz
6、bzbzbbzHelse ,01 0 ,Mnbnhn 1 1 1-10MnxbnxbnxbnyM(7.4)(7.5)第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構9FIR濾波器架構特性濾波器架構特性l 濾波器的階數是M 1，然而它的長度(係數的個數)是M。l FIR濾波器可以設計成一個具有線性相位響應的系統，在某些應用上常需要此線性相位響應之特性。l 與IIR架構相比，FIR架構是相對簡單。l FIR濾波器架構一定是穩定。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構10FIR濾波器實現架構濾波器實現架構l 實現FIR濾波器之三種不同架構：1.直接型式直接型式(Direct form)：此型式直接實現差分
7、方程式(7.3)。2.串聯型式串聯型式(Cascade form)：將(7.1)式中的系統函數H(z)分解成二階因數，然後以串聯方式實現。3.線性相位型式線性相位型式(Linear-phase form)：當一FIR濾波器具有一線性相位響應時，其脈衝響應表現出某些對稱情況。在此型式中，利用此對稱關係可減少大約一半的乘法運算。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構11FIR濾波器架構濾波器架構-直接型式直接型式l 一個四階FIR濾波器(即M=5)之差分方程式為l 差分方程式可被實現成一鏈式延遲線，此四階FIR濾波器之直接型式架構如下圖所示。l系統函數分母等於1，濾波器直接型式架構沒有回饋路徑。
8、l只有一種直接型式架構。4 3 2 1 43210nxbnxbnxbnxbnxbny第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構12範例範例7-1l 試繪製以下FIR濾波器之系統函數的直接形式架構l 對應之差方程式為l 此濾波器直接型式架構如下圖所示。54321244461721)(zzzzzzH 5 24 4 44 3 6 2 17 1 2 nxnxnxnxnxnxny第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構13FIR濾波器架構濾波器架構-串聯型式串聯型式(1)l 將系統函數H(z)轉換成具有實數係數的二階區域之乘積 其中K等於 ，且實數 及 代表二階區域的係數。l 這些二區域以直接型式實現，且
9、整個濾波器被實現成串聯的二階區域。2M1,kB2,kB11110 )(MMzbzbbzH1011010 1 MMzbbzbbbKkkkzBzBb12,21,10 1 第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構14FIR濾波器架構濾波器架構-串聯型式串聯型式(2)l 以M=7為例，一個六階 FIR濾波器的串聯架構。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構15範例範例7-2l 試繪製下列系統函數之串聯形式架構。l H(z)經因式分解為54321244461721)(zzzzzzH)441)(61)(1()(21211zzzzzzH第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構16範例範例7-2(續續)l
10、此五階 FIR濾波器的串聯形式架構如下圖所示。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構17FIR濾波器架構濾波器架構-線性相位型式線性相位型式(1)l 相位響應是一個頻率的線性函數其中=0或 /2，且為一常數。l 一個具因果關係的FIR濾波器在0,M 1區間的脈衝響應為hn，當脈衝響應hn具備以下對稱條件時，此FIR濾波器具有線性相位的特性。(7.8)(7.9),)(H100;1Mn,nMhnh 10 2,;1MnnMhnh /(7.7)第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構18FIR濾波器架構濾波器架構-線性相位型式線性相位型式(2)l 具有(7.8)式的對稱條件的脈衝響應之差分方程式可改
11、寫成l 實現上述差分方程式的架構如下圖所示(以M=6 與M=7為例)，此結構比直接型式少50%的乘法運算。2 1 1 10MnxnxbMnxnxb 1 2 1 0110MnxbMnxbnxbnxbnyM 為奇數M 為偶數第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構19範例範例7-3l 給定以下FIR濾波器的系統函數，請繪製其線性相位架構圖。l 線性相位型式之差分方程式可以寫成 l 線性相位架構如下圖所示。63343zz zH )(3463 nx nxnxny第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構20大綱大綱7.1 FIR與與IIR數位濾波器數位濾波器7.2 FIR濾波器架構濾波器架構7.2.1
12、直接形式直接形式7.2.2 串聯形式串聯形式7.2.3 線性相位形式線性相位形式 7.3 IIR濾波器架構濾波器架構7.3.1 直接形式直接形式7.3.2 串聯形式串聯形式7.3.3 並聯形式並聯形式7.4 總結與參考文獻總結與參考文獻第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構21IIR濾波器系統函數濾波器系統函數l 一個IIR濾波器的系統函數給定為 其中 及 是濾波器的係數。l 在不失普遍性的情況下，我們假設 =1，假如 則此種IIR濾波器之階數為N。l 一個IIR濾波器的差分方程式可表示成(7.12)nbna0a0 Na1;101111000 azazazbzbbzazbzAzBzHNNMM
13、NnnnMnnn )()()(MmNmmmmnyamnxbny01 (7.11)第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構22IIR濾波器實現架構濾波器實現架構l 實現一個IIR濾波器之三種不同架構：1.直接型式直接型式：以差分方程式直接加以實現之方式，此種型式之濾波器包含兩部份，即移動平均部份及遞迴部份(或稱為分子及分母部份)。直接型式可分為兩種版本：直接型式I及直接型式II。2.串聯型式串聯型式：在此種型式中，方程式(7.7)中的系統函數H(z)分解成較小的二階區塊，稱為雙方塊(biquad)。此系統函數可表示成這些雙方塊的乘積，每一個雙方塊以一個直接型式來實現，而整個系統函數則是由一串的雙
14、方塊區域所實現。3.並聯型式並聯型式：類似串聯型式，以部份分式展開技巧可將H(z)表示成較小的二階區塊之和，每一區塊再以一直接型式實現，而整個系統函數則是由這些區塊所形成的平行並聯網路所實現。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構23IIR濾波器架構濾波器架構-直接型式直接型式Il 以M=N=4為例，一個IIR濾波器之差分方程式為l 利用延遲、乘法器及加法器直接實現差分方程式如下圖所示，此方式稱為直接型式(direct form)I架構。4 3 2 143210 nxbnxbnxbnxbnxbny4 32 14321 nyanyanyanya移動平均部分自動回歸(回饋)部分)(zB)(1zA
15、第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構24範例範例7-4l 已知濾波器之差分方程式如下 其直接型式I架構為 483629 12453427 13nynynynynxnxnxnxnxny第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構25範例範例7-5l 試繪製下列系統函數的直接型式I架構其架構如下4321421431251)(zzzzzzzzH 第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構26IIR濾波器架構濾波器架構-直接型式直接型式IIl 在直接型式I架構中可分為分子與分母兩部份，分子部份是一個鏈式(tapped)延遲結構，並連接一個回饋鏈式延遲結構的分母部份。l 對調兩部份在串接中的順序可以減少延
16、遲元件的個數(或消除一條延遲線)，此種簡化形成一個稱為直接型式II之架構。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構27範例範例7-6l 已知一濾波器之差分方程式如下 其直接型式II架構為 483629 12453427 13nynynynynxnxnxnxnxny第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構28範例範例7-7l 試繪製下列系統函數的直接型式II架構。其架構如下43214214312 5 1)(zzzzzzzzH第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構29IIR濾波器架構濾波器架構-串聯型式串聯型式(1)l 系統函數H(z)寫成由具有實數係數的二階區域之乘積，即是將分子及分母多項式做
17、因式分解，然後把一對共軛複數根或任何兩個實數根結合成二次多項式。(假設N為偶數)(7.14)其中K等於 而 、及 為實數，並代表二階函數的係數。2N1,kB2,kB1,kA2,kANNNNzazazbzbbzH 1 )(11110NNNNzazazbbzbbb 1 1 1101010KkkkkkzAzAzBzBb12,21,12,21,10 1 1 第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構30IIR濾波器架構濾波器架構-串聯型式串聯型式(2)l 上式之二階區域函數可表示為 此二階區域可稱之為第k個雙方塊區域。l 第一個雙方塊輸出與濾波器輸入之關係式：l 最後一個雙方塊輸出就是濾波器輸出：Kkz
18、AzAzBzBzYzYzHkkkkkkk,)()()(,1;11221122111)()(01zXbzY)()(1zYzYK第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構31IIR濾波器架構濾波器架構-串聯型式串聯型式(3)l 每一個雙方塊區域可以由直接型式II加以實現。l 整個濾波器即可用串接的雙方塊來實現。l 以四階IIR濾波器為例，其串聯型式架構如下圖所示。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構32範例範例7-8l 已知個濾波器可由下面差分方程式所敘述：l 對應之系統函數(已做因式分解)2121212125.025.012315.01910625.0)(zzz z zzzzH 4183272
19、11 1343422 11216nxnxnxnxnxnynynynyny第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構33IIR濾波器架構濾波器架構-並聯型式並聯型式(1)l 利用部份分式展開技巧將系統函數H(z)寫成雙方塊(二階區域)與多項式的和：(7.16)其中K等於 ，而且 、及 為實數，並代表二階區域的係數。2N0,kB,1kB1,kA2,kANNMMzazazbzbbzAzBzH 1 )()()(11110 時此項存在當NMNMkkkNNNNzCzazazbzbb01111110 1 1 1022,11,11,0,KkNMNMkkkkkkkzCzAzAzBB 時此項存在當雙方塊雙方塊(二階
20、二階)多項式多項式第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構34IIR濾波器架構濾波器架構-並聯型式並聯型式(2)l 上式之第k個二階區域系統函數為l 若M N，第k個二階區域之輸出與濾波器輸入的關係式l 若M N，濾波器輸出為所有二階區域之輸出總和。l 若M N，濾波器輸出為所有二階區域之輸出以及多項式部份(FIR部份)之總和。,1,;1 )()()(22,11,11,0,1KkzAzAzBBzYzYzHkkkkkkk)()()(zXzHzYkk)()(zYzYK第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構35IIR濾波器架構濾波器架構-並聯型式並聯型式(3)l 每一個雙方塊區域用直接型式II來加
21、以實現。l 以M=N=4為例，下圖展現此四階IIR濾波器的並聯型式架構。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構36範例範例7-9l 試繪以下IIR濾波器系統函數並聯形式架構l 將H(z)做部份分式分解並表示成432131273514 1)(zzzzzzzH21121231211)(zzzzzzH第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構37範例範例7-9(續續)l 前述之IIR濾波器之並聯形式實現架構如下圖所示。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構38大綱大綱7.1 FIR與與IIR數位濾波器數位濾波器7.2 FIR濾波器架構濾波器架構7.2.1 直接形式直接形式7.2.2 串聯形式串聯形
22、式7.2.3 線性相位形式線性相位形式 7.3 IIR濾波器架構濾波器架構7.3.1 直接形式直接形式7.3.2 串聯形式串聯形式7.3.3 並聯形式並聯形式7.4 總結與參考文獻總結與參考文獻第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構39總結總結l 本章主要介紹IIR及FIR濾波器結構可由有理分式之系統函數或等效的差分方程式來加以模式化，再經由濾波器基本元件的設計來實現各種濾波器的架構。l 第8章與第9章再分別討論FIR與IIR數位濾波器的設計方法。l 第8章與第9章完成設計之濾波器，可以輕易地以本章所述架構加以實現，實現方式可以採用硬體或軟體。第第7章章 數位濾波器架構數位濾波器架構40參考文獻參考文獻1.V.K.Ingle and J.G.Proakis,Digital Signal Processing using MATLAB,Thomson Learning,Inc.2007.2.余兆棠、陳順智 譯，數位信號處理-使用MATLAB，滄海，2000年12月。3.陳后金 編著，數位信號處理，新文京，2005年6月。4.董紹平、王洋、陳世耕 編著，數位訊號處理基礎，儒林，1993年1月。5.具再熙 編著，數位訊號處理基礎_使用Matlab，儒林，2007年3月二版。
