1、2.3行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质 二、应用举例二、应用举例 三、小节、思考题三、小节、思考题 一、行列式的性质 性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等即，行列式与它的转置行列式相等即， 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. T AA 记记 T A nn a a a 22 11 2 121 n n a aa nn aa a 21 12 A nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a , .AAT 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列 式的性质凡
2、是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质性质2 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则如果行列式中有两行（列）完全相同，则 此行列式为零此行列式为零. . 法，还可证得法，还可证得类似地，利用数学归纳类似地，利用数学归纳 性质性质3 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数如果行列式中某一行（列）元素是两组数 的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和， 而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式 对应的行（列）相同，即对应的行（列）相同，即 nnnininn nii nii
3、aaaaa aaaaa aaaaa D )( )( )( 21 2222221 1111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和： nnnin ni ni nnnin ni ni aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 1 2221 1111 1 2221 1111 例如例如 nii , 21 ni , 21 ni , 21 n ii 1 n i 1 n i 1 或（对列），有或（对列），有 .（列）展开即可（列）展开即可 行行边的行列式都按第边的行列式都按第事实上，只要对等号两事实上，只要对等号两i 为为记成分块矩阵形式，即记成分块矩阵形式，即 性质性质4 4
4、 （行列式的“初等变换”）若将初等行（行列式的“初等变换”）若将初等行 （列）变换用于（列）变换用于 n n 阶行列式：阶行列式： （1 1） 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. . nnnn inii n aaa aaa aaa 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa 21 21 11211 .行展开即得行展开即得按第按第事实上，等号两端同时事实上，等号两端同时i （2） 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数一数 k
5、然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列 式的值不变式的值不变 njnjnin jji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 njnjnjnin jjji njji ji aakaaa aakaaa aakaaa kc )( )( )( )( 1 222221 111111 k 例如例如 从等号右端从等号右端 看，利用性看，利用性 质质3、性质、性质4 的（的（1）及性）及性 质质2即得等号即得等号 左端。左端。 （3 3） 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 证明证明 设行列式写成分块形
6、式，则设行列式写成分块形式，则 nji A , 1 njji cji , 1 )1( niji cij , 1 )1( nij cji , 1 )1( B nij , 1 , 571571 266 853 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 266 853 例如，有例如，有 推论推论1 某一行（列）元素全为零的某一行（列）元素全为零的行列式等于零行列式等于零 推论推论2 若有两行（列）元素对应成比例，则若有两行（列）元素对应成比例，则行列行列 式等于零，即式等于零，即 nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa 21 21 2
7、1 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k 21 21 21 11211 . 0 推论推论3 对对 n 阶行列式及数阶行列式及数 k,有有 AkkA n 计算行列式常用方法计算行列式常用方法：利用运算：利用运算 把行列式把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值或或 者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。 )(krij 例例1 计算计算4阶行列式阶行列式 3351 1102 4315 2113 D 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 1
8、3111 1115 对对解解 于是于是工作量相对较小工作量相对较小 化为零的化为零的，所以将该行其它元素，所以将该行其它元素行有行有考虑到第考虑到第 , 03 2 31 c )1( 34 c D 055 1111 115 )1( 33 055 026 115 55 26 )1( 31 50 28 .40 )1( 12 r .解毕解毕 性质性质5 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ).(, 0 2211 jiAaAaAa jninjiji , 1 1 1 111 11
9、 nnn jnj ini n jnjnjj aa aa aa aa AaAa 证证 行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jA , 1 1 1 111 11 nnn ini ini n jninji aa aa aa aa AaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaa ikjk 行行第第 j 行行第第 i ,时时所以当所以当ji ).(, 0 2211 jiAaAaAa jninjiji 同理同理 ).(, 0 2211 jiAaAaAa njnijiji 相同相同 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0 , 1 ki kiA Aa n j kjij 当当 当当 ;
10、, , kj0 kjA Aa n 1i ikij 当 当 阶行列式阶行列式已知已知例例52 mB 57010 33555 68012 22444 12111 . 4544 AA 试求代数余子式之和试求代数余子式之和 行展开，得行展开，得按行列式的第按行列式的第解解4 )1(33555 4544434241 mAAAAA ，即得，即得式作乘积之和，由性质式作乘积之和，由性质 行对应元素的代数余子行对应元素的代数余子行与第行与第再用行列式的第再用行列式的第 5 42 )2(022444 4544434241 AAAAA 两式，两式，、联立联立)2()1( )1(33555 4544434241 m
11、AAAAA )2(022444 4544434241 AAAAA x4 y2 024 35 yx myx 即即 解得解得 . 11 2 4544 myAA 性质性质6 6 设设 L L 是有如下分块形式的是有如下分块形式的 ( ( n + p n + p ) ) 阶阶 矩阵：矩阵： pp nn BC OA L 则有则有 BAL 是方阵时，当然也成立是方阵时，当然也成立，当，当由性质由性质BA,1 BA BO CA U pp nn 推论推论是同阶方阵，则有是同阶方阵，则有若若BA, BAAB 矩阵乘积的行列矩阵乘积的行列 式等于行列式的式等于行列式的 乘积！乘积！ 再回顾初等矩阵再回顾初等矩阵
12、的行列式的行列式 阶行列式阶行列式计算含字母计算含字母例例44 1 1 1 1 baaccb bac acb cba A 解解 1000 2 1 1 )1( )1( 23 34 baaccb acb cba A r r 按第按第4行行 展开展开 二、应用举例 1000 2 1 1 )1( )1( 23 34 acaccb acb cba A r r baaccb acb cba baaccba accba cbcba c c )(2 )1( )1( 21 31 baaccba accba cbcba c c )(2 )1( )1( 21 31 cbabac cabc cbcba r r 220
13、 0 )1( )2( 12 13 cbabac cabc cba 22 )( abccba3 333 按第按第1列列 展开展开 .解毕解毕 .5的行列式等于零的行列式等于零证明奇数阶反对称矩阵证明奇数阶反对称矩阵例例 证明：证明： 知，知，再由性质，再由性质知，知，又由性质，又由性质得得 是奇数，则由是奇数，则由阶反对称矩阵，阶反对称矩阵，是是设设 31 , AAAA AAnnA TT T 即得即得,)1(AA n AA n )1( 是奇数，故必有是奇数，故必有而而n AA 即即 . 0 A (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同 等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的
14、性质凡是对行成立的对列也 同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值列式的值 三、小结 行列式的行列式的6个性质个性质 行列式的性质 . , )()4 . ,)()3 .),()2 . D D,1) T 乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数 中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行 等于零等于零 则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行 行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行 即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列 kk . |,)9 ., )( , )( )8 . , )( )7 . , )( )6 . )( )5 AkkAAn n 有阶行列式特别注意：对 行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列 然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列 式之和此行列式等于两个行列 则的元素都是两数之和行若行列式的某一列 式为零 则此行列元素成比例列行列式中如果有两行 提到行列式符号的外面 以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
