1、第八章第八章 绕流运动绕流运动 在自然界和工程实际中，有大量流体绕流在自然界和工程实际中，有大量流体绕流物体的流动问题。物体的流动问题。实际流体都有粘性，在大雷实际流体都有粘性，在大雷诺数的绕流中，由于流体惯性力远大于作用于诺数的绕流中，由于流体惯性力远大于作用于流体的黏性力，黏性力相对于惯性力可忽略不流体的黏性力，黏性力相对于惯性力可忽略不计，将流体视为理想流体。由理想流体的流动计，将流体视为理想流体。由理想流体的流动理论求解流场中的速度分布。但在靠近物体的理论求解流场中的速度分布。但在靠近物体的一薄层内，由于存在强烈的剪切流动，黏性力一薄层内，由于存在强烈的剪切流动，黏性力与惯性力处于相同
2、的数量级，从而不能忽与惯性力处于相同的数量级，从而不能忽略。略。8.18.1 无旋流动无旋流动8.28.2 平面无旋流动平面无旋流动8.38.3 几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动8.48.4 势流的叠加势流的叠加8.58.5 绕流运动与附面层绕流运动与附面层基本概念基本概念8.68.6 边界层动量方程边界层动量方程8.78.7 平板层流附面层的近似计算平板层流附面层的近似计算8.88.8 平板上紊流附面层的近似计算平板上紊流附面层的近似计算8.9 8.9 曲面附面层的分离现象与卡门涡街曲面附面层的分离现象与卡门涡街8.108.10绕流阻力和升力绕流阻力和升力8.18.1 无旋流动无
3、旋流动无旋流动就是其流场中每个流体微团不发生旋转，无旋流动就是其流场中每个流体微团不发生旋转，角速度角速度，即，即00)(21zvyvyzx0)(21xvzvzxy0)(21yvxvxyz一一速度势函数速度势函数有势流动（无旋流动）流体微团角速度有势流动（无旋流动）流体微团角速度，或，或得到得到所以所以上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微全微分的充分必要条件分的充分必要条件，用，用(x,y,z,t)表示，该函数的全微分表示，该函数的全微分为：为：(1)00)(21zvyvyzx0)(21xvzvzxy0)(21yvxvxyzzvyvyzx
4、vzvzxyvxvxydzvdyvdxvdzyx全微分存在的充分必要条件：若u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且连续，则有dttudzzudyyudxxudu函数的全微分函数的全微分（2）比较（比较（1）和（）和（2）式，得到）式，得到（3）定义函数定义函数(x,y,z,t)称为称为势函数势函数，由，由可计算得到速度，可计算得到速度，根据伯努利方程得到流场中压强的分布。根据伯努利方程得到流场中压强的分布。dzzdyydxxdxvxyvyzvz速度势函数的特性速度势函数的特性 1势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影2存在势函数的流动一定是无旋流动
5、存在势函数的流动一定是无旋流动3等势面与流线正交等势面与流线正交4不可压缩流体中势函数是调和函数不可压缩流体中势函数是调和函数 空间曲线空间曲线s上任取一点上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分点处流体质点速度分量为量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数，取速度势函数的方向导数其中：其中：，而而，则则速度的分量速度的分量vx、vy、vz分别在曲线分别在曲线s的切线上的投影之和的切线上的投影之和等于速度矢量本身的投影等于速度矢量本身的投影vs。速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速度分量。度分量。xvxyvyzvz),co
6、s(xsdsdx),cos(ysdsdy),cos(zsdsdzszyxvzsvysvxsvs),cos(),cos(),cos(特性特性2 设对某一流动，存在势函数设对某一流动，存在势函数(x,y,z,t(x,y,z,t)，流动的角，流动的角速度分量速度分量类似的推出类似的推出可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋的充分必要条件势流场有速度势函数存在。的充分必要条件势流场有速度势函数存在。0)()(21)(21yzzyzvyvyzx 0zy 等势面等势面：在任意瞬时：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构，速度势函数取同一值的点构成
7、流动空间一个连续曲面，成流动空间一个连续曲面，(x,y,z,t0)=常数。常数。在等势面上取一点在等势面上取一点A，并在该面上过，并在该面上过A任取一微元矢任取一微元矢量量，求，求与点与点A处速度处速度的标量积。的标量积。因为因为(x,y,z,t0)=C，所以，所以d=0得到得到这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的，这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的，又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂直。直。0kdzjdyidxLdLdvddzzdyydxxdzvdyvdxv)kdzjdyidx()kvjviv(Ldvzyxzyx
8、0 Ldv不可压缩流体的连续性方程为不可压缩流体的连续性方程为对于有势流动对于有势流动，即即，满足，满足Laplace方程。而满足方程。而满足Laplace方程的函数方程的函数就叫做调和函数就叫做调和函数0zvyvxvzyxxvxyvyzvz0222zyx028.28.2 平面无旋流动平面无旋流动平面流动是指对任一时刻，流场中各点的平面流动是指对任一时刻，流场中各点的速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场中物理量（如温度、速度、压力、密度等）在中物理量（如温度、速度、压力、密度等）在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定流动平面的垂直方向上没有变化。
9、即所有决定运动的函数仅与两个坐标及时间有关。运动的函数仅与两个坐标及时间有关。在实际流动中，并不存在严格意义上的平在实际流动中，并不存在严格意义上的平面流动，而只是一种近似。如果流动的物理量面流动，而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的变化相对其他方向上的变化可在某一个方向的变化相对其他方向上的变化可以忽略，而且在此方向上的速度很小时，就可以忽略，而且在此方向上的速度很小时，就可简化为平面流动问题处理。简化为平面流动问题处理。（图（图1）图图 1 1 绕绕冀冀型的型的流动流动 二二流函数流函数在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为或写成或写成（
10、4）（4）是）是vydx+vxdy成为某一函数成为某一函数（x，y，t）全微分）全微分的充分必要条件，即的充分必要条件，即（5）的全微分为的全微分为（6）比较（比较（5）和（）和（6），得到），得到，符合上式条件的函数符合上式条件的函数（x，y，t）叫做二维不可压缩流）叫做二维不可压缩流场的流函数。场的流函数。0yvxvyx)v(yxvyxdyvdxvdxy)(dyydxxdyvxxvy1.沿同一流线流函数值为常数沿同一流线流函数值为常数2.平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值流线上的流函数的差值3.在有势流动中流函数
11、也是一调和函数在有势流动中流函数也是一调和函数特性特性1s为坐标系为坐标系XOY的任意一条流线，的任意一条流线，在在s上任取一点作速度矢量，与上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流线段在流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为轴上的投影为dx、dy，在，在x、y轴上的投影为轴上的投影为vx、vy或或由由，得到得到在流线在流线s上，上，的增量的增量d为为0，说明沿流线，说明沿流线（x，y，t）为常数，）为常数，而流函数的等值线，即而流函数的等值线，即（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。数后，可以知道流场中各
12、点速度，还可以画出流线。yxvvdydx0dyvdxvxyyvxxvy0ddyydxx特性特性2设设1、2是两条相邻流线，作其间一曲线是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通，求通过过AB两点间单位厚度的流量。两点间单位厚度的流量。(见下图见下图）在在AB上作微元线段上作微元线段,过微元线段处的速度为，过微元线段处的速度为，,单位厚度的流量单位厚度的流量dq应为通过应为通过dx的流量的流量vydx和通和通过过dy的流量的流量vxdy之和，之和，（vy0）沿沿AB线段积分，线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此由于沿流线流函数为常数，因此 jdyidxsdjvivvyxddxxdyydxvdyvd
13、qyxBAABBAddqq12q 特性特性3对平面势流对平面势流有有将将，代入上式得到代入上式得到即即，满足，满足Laplace方程。所以在平面势流中流函方程。所以在平面势流中流函数也是调和函数。数也是调和函数。0)(21zvyvyzxzvyvyzyvxxvy022yx02s三三流函数和势函数的关系流函数和势函数的关系在平面势流中有在平面势流中有，交叉相乘得交叉相乘得说明等势线族说明等势线族(x,y,z,t)=C1与流函数族与流函数族(x,y,z,t)=C2相互正交。相互正交。在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称为为流网流网。xvxyvy
14、yvxxvy0yyxx极坐标极坐标(r,)中，径向的微元线段是中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线，圆周的微元线段是段是rd，速度势函数，速度势函数(r,t)与与vr、v的关系是的关系是，速度流函数速度流函数(r,t)与与vr、v的关系是的关系是，速度势函数和流函数的关系是速度势函数和流函数的关系是 ，rvrvrrvrvrrvrr vrr例例1有一个速度大小为有一个速度大小为 v(v(定值定值)，沿，沿 x x 轴方向的均匀流动，求轴方向的均匀流动，求它的速度势函数。它的速度势函数。解：解：首先判断流动是否有势首先判断流动是否有势 0)(21zvyvyzx 0)(21xvzvzxy 0)(2
15、1yvxvxyz 流动无旋，为有势流动。流动无旋，为有势流动。由由dzvdyvdxvdzyx 得到得到 vdxd 积分得积分得 Cvx 因常数因常数 C C 对对 所代表的流场无影响，令所代表的流场无影响，令 C=0C=0，最后速度势函数为最后速度势函数为 vx 例例2平面不可压缩流体速度势函数平面不可压缩流体速度势函数 )3(22yxax，a0a0，试确定，试确定流速及流函数，并求通过连接流速及流函数，并求通过连接 A(0,0)A(0,0)和和 B(1,1)B(1,1)两点的连两点的连线的直线段的流体流量。线的直线段的流体流量。解：解：因因 )33(22yxayxvx axyxyvy6 dy
16、yxaaxydxdyvdxvdyydxxdxy)33(622 积分积分 Cayyaxdyyxaaxydxdyvdxvdyydxxdxy32223)33(6 流函数为流函数为 323ayyax 在点在点 A(0,0)A(0,0)：0A ，在点，在点 B(1,1)B(1,1)：aB2 过连接过连接 A(0,0)A(0,0)和和 B(1,1)B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量两点的连线的直线段的流体流量为为 aBA2 例例3某定常平面流动某定常平面流动axvx，ayvy，a a 为常数。求这一流动的流函数为常数。求这一流动的流函数 和势函数，并绘制流网。和势函数，并绘制流网。解：解：首先检验流
17、动是否存在，即是否满足平面流动的连续性方首先检验流动是否存在，即是否满足平面流动的连续性方 程程 0aayvxvyx 可见满足连续性方程，存在流函数。求流函数：可见满足连续性方程，存在流函数。求流函数：axdyaydxdyvdxvdyydxxdxy 积分积分 Caxyaxdyaydxdyvdxvdyydxxdxy 令令 0，得到流线方程，得到流线方程 Cxy 再求速度势函数，先判断流动是否有势再求速度势函数，先判断流动是否有势 0)(21zvyvyzx 可见，流动无旋，存在势函数。可见，流动无旋，存在势函数。Cyxaaydyaxdxdyvdxvdyydxxdyx)(222 令令 0 ，得到流线
18、方程，得到流线方程 Cyx22 最后画流网最后画流网 流线是一族以流线是一族以x轴和轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。直角平分线为渐近线的双曲线族。将将x轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿y轴轴垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两侧。侧。8.3 8.3 几种简单的几种简单的平面无旋流动平面无旋流动一一均匀流均匀流二二点源和点汇点源和点汇三三点涡点涡一一均匀流均匀流定义定义:流体作等速直线运动流体作等速直线运动，流体中各点速度
19、的大小流体中各点速度的大小和方向都相同的流动称为均匀流和方向都相同的流动称为均匀流。设均匀流的速度为设均匀流的速度为v，与与 x x 轴平行轴平行，那么那么 vyxvx 0 xyvy 求速度势函数求速度势函数:cxvdxvdyvdxvdyx 令令 c=0c=0，xv 求流函数求流函数 cyvdyvdyvdxvdxy 令令 c=0c=0，yv 均匀流的均匀流的等势线是一族平行于等势线是一族平行于 y y 轴的直线轴的直线，流线为一流线为一族平行于族平行于 x x 轴的直线轴的直线,如取如取，则其流网是正方形网格则其流网是正方形网格.均匀流的复势为均匀流的复势为 zviyxvyivxviW)(图图
20、2均匀流示意图均匀流示意图二二 点源和点汇点源和点汇点源：流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流点源：流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流动动，这个点称为，这个点称为源点源点。点汇：流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流点汇：流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流动动，这个点称为，这个点称为汇点汇点。设源点或汇点位于坐标原点，从源点流出或向汇点设源点或汇点位于坐标原点，从源点流出或向汇点流入的流体速度只有径向速度流入的流体速度只有径向速度 rv，而无切向速度，而无切向速度 v ，通过半径为通过半径为 r r 的单位长度圆柱面流出或流入的流量为的单位长度圆柱面流出或流入的流量为qrrvr12
21、得到得到 rqvr2 注：注：q q 是点源或点汇的强度，对于点源，是点源或点汇的强度，对于点源，rv与与 r 同向，同向，q q 前取正号；对于点汇，前取正号；对于点汇，rv与与 r 异向，异向，q q 前取负号。前取负号。求点源或点汇的速度势函数和流函数求点源或点汇的速度势函数和流函数 rqrrvr2 0rrv drrqdrvdrvdr2 dqdrvdrvdr2 对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：rqln2 2q 等势线是半径不同的圆，流线是通过原点极角不同的射等势线是半径不同的圆，流线是通过原点极角不同的射线。线。注：当注：当 r=0r=
22、0 时，速度势函数和速度时，速度势函数和速度 rv无穷大，源点和汇无穷大，源点和汇点是流动的奇点，因此，速度势函数和速度点是流动的奇点，因此，速度势函数和速度 rv只有在源只有在源点或汇点以外才有意义。点或汇点以外才有意义。图图3a点源点源 图图3b点汇点汇 irln)reln()iyxln(zlni 点源和点汇的复势：点源和点汇的复势：)(2)(ln22ln2ireqirqqirqiW 或或zqWln2 若源点和汇点的位置不在原点，而在若源点和汇点的位置不在原点，而在 0z 点，其复势应点，其复势应为为)ln(20zzqW 三三点涡点涡定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度定义：流体质
23、点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径大小与向径r成反比的流动成反比的流动。又被称为。又被称为自由涡自由涡。将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一半径半径r处流体的速度可由处流体的速度可由stokes定理得到定理得到,那么那么而而求点涡的速度势函数和流函数求点涡的速度势函数和流函数对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：等势线是等势线是的线，流线是以坐标原点为圆心的同心的线，流线是以坐标原点为圆心的同心圆。点涡的复势是圆。点涡的复势是或或常数rv2rv 20rv 0rrvrrrrv2drdrvdr
24、vdr2drrdrvdrvdr2 2rln2常数)(2)(ln2ln22ireiiririiWziWln2 图图4点涡示意图点涡示意图8.48.4 势流的叠加势流的叠加势流叠加原理势流叠加原理有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函数、复势函数分别为数、复势函数分别为、1 1、1 1、W1和和、2 2、2 2、W2，由于和都满足线性，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分方程，可以将和分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别为别为、W，存在以下关系：，存在以下关系：因此因
25、此1v2vv212121WWWxxxvvxxxv2121yyyvvyyyv212121vvv流动变成流动变成n个，同样将个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量个流动叠加，复合流动的相应量定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流动的复势的代数和，此即动的复势的代数和，此即势流的叠加原理势流的叠加原理。n21n21nWWWW21nvvvv21一一 螺旋流螺旋流 点汇（源）点汇（源）+点涡点涡流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断流出。流出。点汇的复势为点汇的复势为点涡的复势为点涡的复势为
26、将两者叠加后得到的新流动的复势为将两者叠加后得到的新流动的复势为得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为令上式等于常数，可以得到令上式等于常数，可以得到等势线方程等势线方程流线方程流线方程zqWln2点汇ziWln2点涡)(ln2ln2ln2ln2iriqziqzizqWWW点涡点汇)ln(21rq)ln(21rqqeCr1qeCr1等势线和流线为相互正等势线和流线为相互正交的对数螺旋线簇，称交的对数螺旋线簇，称为螺旋流。为螺旋流。点汇点汇+点涡点涡阴螺旋流阴螺旋流点源点源+点涡点涡阳螺旋流阳螺旋流 图图5 5 螺旋流示意图螺旋流示意图二二 偶极子流偶极
27、子流 点源点源+点汇点汇将源点设于将源点设于A点（点（-a,0），汇点于），汇点于B点（点（a,0），强度），强度都为都为q，点源的复势为点源的复势为点汇的复势为点汇的复势为将点源和点汇叠加后的新流动的复势为将点源和点汇叠加后的新流动的复势为若源点和汇点无限接近，即若源点和汇点无限接近，即,如果强度不变时，汇点如果强度不变时，汇点将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。)ln(2azqW点源)ln(2azqW点汇)ln(2)ln(2azqazqWWW点源点汇02 a若在若在2a逐渐缩小时，强度逐渐缩小时，强度q逐渐增强，当逐渐增强，当2a减小减小到零
28、时，到零时，q应增加到无穷大，以使应增加到无穷大，以使保持一个有限保持一个有限值，即值，即，在这一极限状态下的流动称为偶，在这一极限状态下的流动称为偶极子流，极子流，M是偶极矩，方向从点源到点汇。是偶极矩，方向从点源到点汇。偶极子流的复势为偶极子流的复势为或或新流动的速度势函数和流函数分别为新流动的速度势函数和流函数分别为 Maq 2)()2(lim02常数MaqqazMzdzdMaazazaqazazqWqaqa2)(ln22)ln()ln(22lim)ln()ln(2lim0202)sin(cos2121irMreMWicos2 rMsin2 rM求等势线方程和流线方程求等势线方程和流线方
29、程 1等势线方程等势线方程由于由于，有，有得到得到整理后整理后等势线方程为等势线方程为表示一族圆心在表示一族圆心在x轴上，并与轴上，并与y轴在原点相切的圆轴在原点相切的圆2流线方程流线方程由于由于，有有得到得到整理后得流线方程为整理后得流线方程为表示一族圆心在表示一族圆心在y轴上，并与轴上，并与y轴在原点处相切的圆。轴在原点处相切的圆。CrMcos2rxcosCyxxMrMx2222212221Cyxx21221)CyCx（CrMsin2rysinCyxyMrMy2222222221Cyxy22222)(CCyx 图图6偶极子流示意图偶极子流示意图 圆柱体绕流圆柱体绕流设有一速度为设有一速度为
30、的均匀流，从与圆柱体垂直的方向的均匀流，从与圆柱体垂直的方向绕过一半径为绕过一半径为r0的无限长圆柱体，的无限长圆柱体，这样的流动看成是平这样的流动看成是平面流动。面流动。均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径，柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径，而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，完全不受而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，完全不受扰动，作均匀流动。扰动，作均匀流动。圆柱体绕流可以分为两种情况。圆柱体绕流可以分为两种情况。一一圆柱体无环量绕流圆柱体无环量绕流二二圆柱体有环量绕流
31、圆柱体有环量绕流v 图图7 7 绕无穷长圆柱的流动绕无穷长圆柱的流动一一 圆柱体无环量绕流圆柱体无环量绕流由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动。1.势函数和流函数势函数和流函数均匀流和偶极子流的复势分别为均匀流和偶极子流的复势分别为根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流动的复势为动的复势为那么速度势函数和流函数分别为那么速度势函数和流函数分别为(1)sin(cos)(1irvreviyxvzvWi)sin(cos2222irMerMzMWisin)2(cos)2()sin(cos2)sin(cos22
32、21rrMvirrMvirMirvWWcos22rrMvsin22rrMv代入代入得到直角坐标下的速度势函数和流函数得到直角坐标下的速度势函数和流函数（2）令令，即，即得到零流线方程为得到零流线方程为零流线是一个以坐标原点为圆心，半径零流线是一个以坐标原点为圆心，半径的圆周的圆周和和x轴，零流线到轴，零流线到A处分成两股，沿上下两个半圆周流到处分成两股，沿上下两个半圆周流到B点，又重新汇合。点，又重新汇合。将将代入方程（代入方程（1）中，那么均匀流绕过圆柱体无）中，那么均匀流绕过圆柱体无环量绕流的势函数和流函数可以写成环量绕流的势函数和流函数可以写成（）（3）222yxxMxv222yxyMy
33、v222yxrrxcosrysin00222yxyMyvvMyxy2022210)2/(vMr202rvMsin)1(cos)1(220220rrrvrrrv0rr 图图8 8 均匀流绕过圆柱体无环量的流动均匀流绕过圆柱体无环量的流动12速度分布速度分布流场中任意一点流场中任意一点P（x，y）的速度分量为）的速度分量为（4）在在或或处，处，这说明在无穷远处流动变成，这说明在无穷远处流动变成均匀流。均匀流。在极坐标系中，速度分量为在极坐标系中，速度分量为沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无均匀流绕过圆柱体的
34、平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无环量绕流。环量绕流。当时，在圆柱面上，速度分布为当时，在圆柱面上，速度分布为（5）)(2)()(1 222202222220yxxyrvyvyxyxrvxvyxxy vvx0yvsin)1(1cos)1(220220rrvrvrrvrvr0sin)1(220drrrvdsvsin20vvvr 说明，流体沿圆柱表面只有切向速度，没有径向速度，说明，流体沿圆柱表面只有切向速度，没有径向速度，符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况。在圆符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况。在圆柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在（B点）和
35、点）和（A点）处，点）处，A、B二点是分流点，也称二点是分流点，也称为驻点。在为驻点。在处，处，达到最大值，达到最大值，即等于，即等于无穷远处来流速度的无穷远处来流速度的2倍。倍。01800v90v vv2max3.压力分布压力分布圆柱面上任意点的压力，可以由圆柱面上任意点的压力，可以由Bernoulli方程计算方程计算将圆柱表面的速度分布将圆柱表面的速度分布(5)代入上式得到代入上式得到(6)如采用压力系数来表示，根据如采用压力系数来表示，根据Bernoulli方程定义方程定义将代入上式，得到将代入上式，得到用用表示流体作用于物体表面上的压力是无量纲量，与表示流体作用于物体表面上的压力是无量
36、纲量，与圆柱体半径、均匀流速度无关，只与表面位置有关。圆柱体半径、均匀流速度无关，只与表面位置有关。2222vpvp)sin41(2122vpp22121vvvppCp2sin41pC 图图9 9 压强系数沿圆柱面的分布压强系数沿圆柱面的分布4.合力合力从压力分布看出，在圆柱面上压力对称于轴、轴，从压力分布看出，在圆柱面上压力对称于轴、轴，那么柱面上合力等于。流体作用在圆柱体上的总压力那么柱面上合力等于。流体作用在圆柱体上的总压力分解成、方向上的分力分解成、方向上的分力、，分别为与来流平，分别为与来流平行和垂直的作用力，称为流体作用在柱体上的阻力和行和垂直的作用力，称为流体作用在柱体上的阻力和
37、升力。有升力。有（）（）理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中，圆柱体理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中，圆柱体不受阻力和升力作用。事实上，实际流体由于粘性作用，不受阻力和升力作用。事实上，实际流体由于粘性作用，绕过圆柱产生摩擦力，而且在圆柱绕流后面部分形成脱绕过圆柱产生摩擦力，而且在圆柱绕流后面部分形成脱流和尾迹，流动图形和理想流体绕流截然不同。就是说，流和尾迹，流动图形和理想流体绕流截然不同。就是说，在实际流体绕流圆柱体中，会产生阻力。在实际流体绕流圆柱体中，会产生阻力。00yxFLFD二二 圆柱体有环量绕流圆柱体有环量绕流在前面无环量绕流基础上，让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转，形
38、在前面无环量绕流基础上，让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转，形成有环量绕流。成有环量绕流。1.势函数和流函数势函数和流函数设定圆柱顺时针旋转。有环量绕流是由均匀流、偶极子流、点涡叠设定圆柱顺时针旋转。有环量绕流是由均匀流、偶极子流、点涡叠加而成，其复势分别为加而成，其复势分别为(8)叠加后的复势为叠加后的复势为ziWzrvzMWzvWln2220涡偶均ln2)1(sin2)1(cos2ln2)sin(cos)sin(cos)(ln2)(ln2220220202020rrrrvirrrvriirrirvirierrrevzizrvzvWii其速度势函数和流函数分别为其速度势函数和流函数分别为(9)2
39、.速度分布速度分布流场中任一点流场中任一点P(r,)处的速度为处的速度为(10)当时当时，即，即的圆周是一条流线，圆柱的圆周是一条流线，圆柱面上速度分布为面上速度分布为(11)rrrrvrrrvln2)1(sin2)1(cos220220rrrvrvrrvrvr2sin)1(cos)1(2202200rr Cr 0ln20rr 02sin20rvvvr 这说明流体与圆柱体没有分离现象，只有沿着圆周切这说明流体与圆柱体没有分离现象，只有沿着圆周切线方向的速度。当时线方向的速度。当时，说 明 在 远 离 圆 柱 体 处 流 体 为 均 匀 流。说 明 在 远 离 圆 柱 体 处 流 体 为 均 匀
40、 流。当点涡的强度当点涡的强度时，在圆柱体的上部环流的速度方时，在圆柱体的上部环流的速度方向与均匀流的速度方向相同，而在下部则相反。叠加向与均匀流的速度方向相同，而在下部则相反。叠加的结果在上部速度增高，而在下部速度降低，这样就的结果在上部速度增高，而在下部速度降低，这样就破坏了流线关于破坏了流线关于x轴的对称性，使驻点轴的对称性，使驻点A和和B离开了离开了x轴，轴，向下移动。为了确定驻点的位置，令向下移动。为了确定驻点的位置，令(11)中中，得到驻点的位置角为得到驻点的位置角为(12)rcos vvrsin vvr00vvr04sin若若，则，则，圆柱面上的两个驻点左右对称，圆柱面上的两个驻
41、点左右对称，并位于第三和第四象限内，且并位于第三和第四象限内，且A、B两驻点随两驻点随值的增加值的增加而向下移动，并互相靠拢。而向下移动，并互相靠拢。若若，则，则，圆柱面上不存在驻点，驻点脱离，圆柱面上不存在驻点，驻点脱离圆柱面沿圆柱面沿y轴向下移到某一位置。令轴向下移到某一位置。令(10)中的中的和和，得到两个位于，得到两个位于y轴上的驻点，一个在圆柱体内，轴上的驻点，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。事实上，只有一个在圆柱体外的自另一个在圆柱体外。事实上，只有一个在圆柱体外的自由驻点由驻点A，全流场由经过驻点，全流场由经过驻点A的闭合流线划分为内、外的闭合流线划分为内、外两个区域，外部区域
42、是均匀流绕过圆柱体有环量的流动，两个区域，外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动，在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流，但在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流，但流线不是圆形的。流线不是圆形的。如果叠加的点涡强度如果叠加的点涡强度，驻点的位置与上面讨论的情，驻点的位置与上面讨论的情况正好相差况正好相差180。由此可见，驻点的位置不简单取决于，。由此可见，驻点的位置不简单取决于，而取决于而取决于。vr041sinvr04 1sin0rv0v0)4/(0vr 图图10 10 均匀流绕过圆柱体有环量的流动均匀流绕过圆柱体有环量的流动3.压力分布压力分布将圆柱面上的速度分布将圆柱面上的
43、速度分布(11)代入代入Bernoulli方程，方程，得到得到(13)2222vpvp)2sin2(21)(2121202222rvvpvvvppr4.合力合力圆柱体上取一微元线段圆柱体上取一微元线段，单位长度上圆柱体所受到的，单位长度上圆柱体所受到的力力，力沿力沿x和和y轴方向上的分量为轴方向上的分量为沿整个圆柱面进行积分得到沿整个圆柱面进行积分得到(14)将圆柱面压强将圆柱面压强(13)代入上式，得到代入上式，得到说明圆柱有环量绕流的阻力为零。说明圆柱有环量绕流的阻力为零。sd1dsnpFdcospdsdFxsinpdsdFy200200sincosdprFLdprFDyx20202202
44、02022202002020cossin2cossincos)821(cos)2sin2(21dvrdvdrvprdrrvvpFDx（15）这就是库塔这就是库塔-儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方向沿环量的反方向旋转向沿环量的反方向旋转90确定。确定。vvdvrdvdr
45、vprdrrvvpFLy20203202022020222020020221sincos21sin2sinsin)821(sin)2sin2(21 图图11升力的方向升力的方向8.8.5 5绕流运动与附面层绕流运动与附面层基本概念基本概念用用N-S方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解，方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解，工程上涉及到大雷诺数流动，要寻求新的近似方法。工程上涉及到大雷诺数流动，要寻求新的近似方法。在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为0，在，在固体边界的外法线方向上的流体速度从固体边界的外法线方向上的流体速度从0迅速增大，迅速增大，
46、在边在边界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘性作用不能忽略性作用不能忽略，边界附近的流区称为，边界附近的流区称为边界层（或附面边界层（或附面层）层），边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流，边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流体来处理。体来处理。如图，平板前方均匀来流的速度如图，平板前方均匀来流的速度v，从平板前缘开始形从平板前缘开始形成边界层，其厚度沿流增加。在边界层外缘附近流速渐成边界层，其厚度沿流增加。在边界层外缘附近流速渐近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向
47、从到的一段距离。从到的一段距离。边界层定义：边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流动具有很大法向速度梯度的流动区域动具有很大法向速度梯度的流动区域。注意：1.对于平板绕流，边界层外缘，对于弯曲固壁，边界层外缘。2.边界层的外边界线与流线不重合，外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘 进入边界层内。8.8.6 6 边界层动量方程边界层动量方程流体绕流中作用在物体上的力可以分为垂直于来流体绕流中作用在物体上的力可以分为垂直于来流方向的升力和平行于来流方向的阻力，绕流阻力可流方向的升力和平行于来流方向的阻力，绕流阻力可以分成摩擦阻力与形状阻力，都
48、与边界层有关。绕流以分成摩擦阻力与形状阻力，都与边界层有关。绕流阻力作用表现在于边界层内流速的降低，引起动量的阻力作用表现在于边界层内流速的降低，引起动量的变化。通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力。变化。通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力。沿物体的曲面取沿物体的曲面取x轴，沿物体表面法线取轴，沿物体表面法线取y轴，在物轴，在物体表面取边界层微元段体表面取边界层微元段ABCD，把它放大，把它放大，x轴便成为轴便成为直线，线段直线，线段BD长为长为dx，AC为边界层外边界，为边界层外边界，AB、CD垂直于物体表面。垂直于物体表面。假设：假设：不计质量力不计质量力流动为定常流动流动为定常流动
49、dx无限小，无限小，BD、AC可看成直线可看成直线由动量方程由动量方程（1）MCD、MAB、MAC分别为单位时间内通过分别为单位时间内通过CD、AB、AC面的流体动量在面的流体动量在x轴上的分量，轴上的分量，Fx为作用在微元面积段为作用在微元面积段上所有外力合力在上所有外力合力在x轴上的投影。轴上的投影。由控制面由控制面AB沿沿x方向流入动量方向流入动量（2）由控制面由控制面CD沿沿x方向流出动量方向流出动量（3）由控制面由控制面AC沿沿x方向流入动量方向流入动量（4）xACABCDFMMM02dyvMxABdxdyvxdyvdxxMMMxxABABAB)(02020)(dxdyvxvMxAC
50、dxdsdxxppddxxpppFx0sin)21()(因为因为，所以，所以边界层内边界就是物体表面，其流速为边界层内边界就是物体表面，其流速为0，其压强等于边，其压强等于边界层外边界的压强，即沿物体表面的法线界层外边界的压强，即沿物体表面的法线y方向压强不变，方向压强不变，p与与y无关，可用全微分代替偏微分，上式可写作无关，可用全微分代替偏微分，上式可写作（5）将（将（2）、（）、（3）、（）、（4）、（）、（5）代入（）代入（1）得到）得到（6）方程（方程（6）就是）就是边界层积分方程边界层积分方程，由冯，由冯卡门首先推导出卡门首先推导出来来的，称作的，称作卡门动量积分方程卡门动量积分方程
