1、 空间杆系有限元法也称空间杆系有限元法也称空间桁架位移法。空间桁架位移法。 空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法， 适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条 件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等 工况均可计算。工况均可计算。 能考虑网架与下部支承结构的共同工作能考虑网架与下部支承结构的共同工作 。 计算程序见下表。计算程序见下表。 3.43.4空间杆系有限元法空间杆系有限元法 网架杆件网架杆件 节点位移节点位移 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 总刚度矩阵总刚度矩阵 总刚度
2、方程总刚度方程 节点位移值节点位移值 杆件内力杆件内力 单元内力与节点位移间关系单元内力与节点位移间关系 引入边界条件引入边界条件 节点平衡及变形协调条件节点平衡及变形协调条件 基本单元 基本未知量 3.4.13.4.1网架计算基本假定网架计算基本假定 网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力；网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力； 结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很 小，符合小变形理论。小，符合小变形理论。 奥运会场馆奥运会场馆 鸟巢鸟巢 3.4.23.4.2单元刚度矩阵单元刚度矩阵 一等截面空间桁架杆件一等截面空间桁架杆件ijij如图所
3、示，设局部直角坐标如图所示，设局部直角坐标 系为系为 ， 轴与轴与ijij杆平行。杆平行。 zyx x 图图3.24 ij3.24 ij杆的杆端轴力和位移杆的杆端轴力和位移 局部直角局部直角 坐标下坐标下 杆端力向量为：杆端力向量为： 杆端位移向量为：杆端位移向量为： 杆端力和位移的关系可写为杆端力和位移的关系可写为 结构分析中为方便杆结构分析中为方便杆 端力和位移的叠加，端力和位移的叠加， 应采用统一坐标系，应采用统一坐标系， 即结构整体坐标即结构整体坐标xyzxyz。 这样需对局部坐标系这样需对局部坐标系 下的单元刚度矩阵进下的单元刚度矩阵进 行坐标转换。行坐标转换。 图图3.25 3.2
4、5 杆件在整体坐标中杆件在整体坐标中 整体坐标整体坐标 坐标转换坐标转换 设杆件设杆件ij ij （即（即 轴）与整体坐标轴）与整体坐标x x，y y，z z轴夹轴夹 角的余弦分别为角的余弦分别为l l，m m，n n。由图。由图2525所示的几何关所示的几何关 系可以得出系可以得出 式中式中lijlijijij杆的长度杆的长度 奥运会场所奥运会场所 令令 分别表示杆件分别表示杆件ijij在整体在整体 坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。 在整体坐标系中在整体坐标系中ijij杆节点力和节点位移间的关杆节点力和节点位移间的关 系力为：系力为： 两坐
5、标系之间的转换关系为两坐标系之间的转换关系为 式中式中TT坐标转换矩阵坐标转换矩阵 并注意到并注意到TT- -1 1=T=TT T，得到整体坐标下，得到整体坐标下ijij杆节杆节 点力和位移的关系为：点力和位移的关系为： 00000 00000 00000 00000 00000 00000 l m n T l m n 得到杆件得到杆件ijij在整体坐标系中的单刚矩阵在整体坐标系中的单刚矩阵 ： 3.4.33.4.3结构总刚度矩阵及总刚度方程结构总刚度矩阵及总刚度方程 建立了杆件建立了杆件单元刚度矩阵单元刚度矩阵之后，即可按照变形之后，即可按照变形 协调及节点内外力平衡条件建立结构的协调及节点
6、内外力平衡条件建立结构的总刚度总刚度 矩阵矩阵及相应的总刚度方程。及相应的总刚度方程。 对对公式公式变换为：变换为： FFi i ，FFj j 分别为杆件分别为杆件ijij在整体坐标系下在整体坐标系下 i i，j j点的杆端力列阵；点的杆端力列阵； i i ，j j 分别为杆件分别为杆件ijij在整体坐标系在整体坐标系 下下i i，j j点的位移列阵；点的位移列阵； KKii ii ， ，KKjj jj 分别为杆件 分别为杆件ijij在在i i端，端，j j端发端发 生单位位移时，在生单位位移时，在i i端，端，j j端产生的内力；端产生的内力； KKij ij ， ，KKji ji 分别为杆
7、件 分别为杆件ijij在在j j端，端，i i端发端发 生单位位移时，在生单位位移时，在i i端，端，j j端产生的内力。端产生的内力。 以图以图2626所示的空间桁所示的空间桁 架节点架节点 3 3 为例，说为例，说 明总刚矩阵及总刚方明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共程的建立。该桁架共 有有9 9个单元，个单元，5 5个节点，个节点， 单元及节点编号如图单元及节点编号如图 示。相交于节点示。相交于节点3 3的的 杆件有。杆件有。 图图3.26 3.26 单元及节点编号单元及节点编号 变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等等 ，即：，即： 内
8、外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即：之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点连于节点3 3的杆端力与各节点位移关系为的杆端力与各节点位移关系为： 整理得：整理得： 上式就是节点上式就是节点3 3得内外力平衡方程，对网架中得得内外力平衡方程，对网架中得 所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为 结构总刚度方程，表达式为：结构总刚度方程，表达式为： 对于本例，总刚度矩阵中的第对于本例，总刚度矩阵中的第7 7行至第行至第9 9行的元行的元 素表示如下：素表示如下： 总刚矩阵具有下列特点：
9、总刚矩阵具有下列特点： 矩阵具有对称性矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出，计算时不必将所有元素列出， 只列出上三角或下三角即可。只列出上三角或下三角即可。 矩阵具有稀疏性，网架结构每一节点所连杆件矩阵具有稀疏性，网架结构每一节点所连杆件 数量有限，总刚矩阵中除主对角及其附近元素数量有限，总刚矩阵中除主对角及其附近元素 为非零元素外，其余均为零元素。为非零元素外，其余均为零元素。 3.4.43.4.4总刚矩阵中边界条件的处理方法总刚矩阵中边界条件的处理方法 未引入边界条件前，总刚矩阵未引入边界条件前，总刚矩阵KK是奇异的，不是奇异的，不 能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移能进行求解。
10、引入结构边界条件消除刚体位移 后，总刚矩阵为正定矩阵。后，总刚矩阵为正定矩阵。 位移为零位移为零 弹性约束弹性约束 指定位移指定位移 处理方法处理方法 3.4.6 3.4.6 杆件内力杆件内力 引入边界条件后，求解引入边界条件后，求解公式公式，得出各节点的位，得出各节点的位 移值，由移值，由公式公式和和公式公式可得出可得出ijij杆端内力为杆端内力为 将将公式公式展开并代入展开并代入公式公式整理可得杆件内力表达整理可得杆件内力表达 式为式为 式中式中 N N杆件轴力，以拉为正。杆件轴力，以拉为正。 ee T e KT=F cos()cos()cos () jijiji ij EA Nuuvvw
11、w l 3.4.7 3.4.7 空间杆系有限元法计算步骤空间杆系有限元法计算步骤 (1)(1)根据网架结构、荷载对称性选取计算简图，根据网架结构、荷载对称性选取计算简图， 并对其节点和杆件进行编号，为减小总刚矩阵并对其节点和杆件进行编号，为减小总刚矩阵 带宽，节点编号应遵循相邻节点号差最小的原带宽，节点编号应遵循相邻节点号差最小的原 则。则。 (2)(2)计算杆件单元长度及杆件与整体坐标轴夹角计算杆件单元长度及杆件与整体坐标轴夹角 余弦；余弦； (3)(3)初选各杆的截面积；初选各杆的截面积； (4)(4)建立局部和整体坐标系下的单元刚度矩阵；建立局部和整体坐标系下的单元刚度矩阵； ( (5)5)集合总刚矩阵，为减小矩阵容量，宜采用变集合总刚矩阵，为减小矩阵容量，宜采用变 带宽一维存贮方式；带宽一维存贮方式； (6)(6)建立荷载列阵；建立荷载列阵； (7)(7)引入边界条件对总刚度方程进行处理；引入边界条件对总刚度方程进行处理； (8)(8)求解总刚度方程，得出各节点位移值；求解总刚度方程，得出各节点位移值； (9)(9)根据节点位移计算杆件内力；根据节点位移计算杆件内力； (10)(10)按杆件内力调整杆件截面，并重新计算，按杆件内力调整杆件截面，并重新计算， 迭代次数宜不超过迭代次数宜不超过4 45 5次。次。
