1、2023-2-61预备知识回顾预备知识回顾 二重积分的计算法二重积分的计算法2023-2-62Oy)(1yx)(2yxxdc且在积分区域D上连续时,f(x,y)被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为 X-型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDax若D为Y-型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分2023-2-63xyOxyDO说明说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选
2、择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则 2023-2-64121221d y例例1.计算,dDyxI其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X-型区域,则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2.将D看作Y-型区域,则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy
3、2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO2023-2-65例例2.计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 2023-2-66例例3.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20ds
4、inxxxx先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.2023-2-67例例4.4.计算二重积分,d22Dxdyyx其中区域D 是由直线,2yx y与双曲线 1xy 围成的闭区域.x0yyx2y 1A(,2)2B(1,1)C(2,2)1xy解解:Y-型区域，则:Dyxy121 y22Dxdxdyy21dy21dy251113ydyy276422411 113 24yyy1212yyxdxy32113yyxy2023-2-68例例5.5.计算二重积分Dxdyd其中D是由直线y=2x,x=2y 和直线x+y=3所围的封闭区域.Oyxx=2yy=2xx+y=31D2D
5、解解:,1022:1xxyxD32yxxy由将D看作X-型区域，它由两部分组成:2132:2xxyxD)2,1(得交点1 232yxyx)1,2(得交点)1,2()2,1(2023-2-69例例5(5(续续).).计算二重积分Dxdyd其中D是由直线y=2x,x=2y,和直线x+y=3所围的封闭区域.Oyxx=2yy=2xx+y=31D2D解解:,1022:1xxyxD积分域D由两部分组成:2132:2xxyxD1 2X-型区域Dxdyd1dDxdy2dDxdy 1022dxdyxx 2132dxdyxx1022dxxx2123 dxxx|10243x|212433 xx232023-2-61
6、0第七节第七节 多维随机变量多维随机变量 及其分布及其分布(1)一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量2023-2-611 在实际问题中，可能遇到多个随机变量的在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：情形，如：1)射击问题中射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述标描述;2)研究学龄前儿童的发育情况，观察身高研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等体重等;3)具体评价产品的质量具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺可能有多个评价指标如尺寸寸,外形外
7、形,外包装等外包装等.2023-2-6121）定义：）定义：设设 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=，设设 X=X()和和 Y=Y()是定义在是定义在 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机叫做二维随机向量，或二维随机变量。向量，或二维随机变量。X()Y()一、一、二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数2023-2-613注注 意意 事事 项项我们应把二维随机变量)1(SeeYeXYX ，之间是有联系的；与看作一个整体，因为YX上的随机点可看作平面，量在几何上，二维随机变YX)2(2023-2-61
8、4则称则称,y yx,x,对任意实数对任意实数是二维随机变量,是二维随机变量,设设),(YX.的的联联合合分分布布函函数数是是二二维维随随机机变变量量YX，yYxXPyxF，3.3.联合分布函数联合分布函数1）定义定义2）几何意义）几何意义yo(x,y)(X,Y)的概率的无 穷为落在以表示平面上的随机点矩形区域内左下方顶点而位于该点yx,X,Yyx,F2023-2-6153 3）一个重要的公式）一个重要的公式，y，yxx2121设则则 2121yYyxXxP ，22yxF，21yxF，yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)12yxF，11yxF
9、，2023-2-6164）分布函数具有以下的基本性质：）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是变量是变量 x,y 的不减函数，即的不减函数，即对于任意固定的对于任意固定的 y,当当 x1 x2时，时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF 对于任意固定的对于任意固定的 y,;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF,1),(0)2(yxF且且对于任意固定的对于任意固定的 x,当当 y1 y2时，时，对于任意固定的对于任意固定的 x,2023-2-617（3 3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即即 F(x,y)关于关于
10、x 右连续，关于右连续，关于 y 也右连续也右连续.yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1).0),(),(),(),()4(11211222 yxFyxFyxFyxF说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数。这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数。2023-2-618 定义定义 若若X,Y均均为离散随机变量，则为离散随机变
11、量，则(X,Y)为为二维离散随机变量二维离散随机变量,且且二、二维离散随机变量)1,2,(ji,y,YxXPpjiji则称则称)的所有可能取值为)的所有可能取值为(X,Y),2,1,(),(jiyxji1.二维离散随机变量的联合概率分布二维离散随机变量的联合概率分布合概率分布。合概率分布。)的联合概率函数或联)的联合概率函数或联为(为(X,Y2023-2-619XYixxx21jyyy2111p21p1 ip12p22p2ipjp1jp2ijp其中其中满满足足：ijp);,2,1,(,0)1(jipij.1)2(11 ijijp2023-2-620设随机变量设随机变量X在在1,2,3,41,2
12、,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取试求（试求（X,Y）的联合概率分布。）的联合概率分布。例例1的正整数的正整数取不大于取不大于的取值：的取值：ijii,YX1,2,3,4,j)PP()P(iX|iYiXji,YXi141一个值，随机变量一个值，随机变量Y在在1-X中等可能地取一整数值，中等可能地取一整数值，解：解：由乘法公式易得（由乘法公式易得（X,Y）的联合概率分布。）的联合概率分布。iji1,2,3,4,即即Y X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162023-2-621设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的
13、联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例22321121001ppppp1).P(|-|YX求求 1|-|jiyxijp1)P(YXX Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：5205025035095062023-2-622三、二维连续随机变量若存在非负若存在非负有平面上的任意区域使得对于函数RxOyyxf),(RdxdyyxfRYXP),(),(，为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量则称则称),(YX.),(称联合概率密度)称联合概率密度)称为联合密度函数(简称为联合密度函数(简yxf1.二维连续随机变量二维连续随机变量
14、 定义定义 设设X,Y均均为连续随机变量，为连续随机变量，2023-2-623 联合概率密度的联合概率密度的性质：性质：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf)连续，则有)连续，则有在点(在点(若若另外，另外，yx,yx,f)(设设 G 是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点(X,Y)落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(),(这个公式非常重要！这个公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF 2023-2-624例例3的的分分布布密密度度为为设设),(YX.,0,0,0,e),()(其他yxyxfyx(1)求求F(x,y);1
15、yx1D1O xy(2)求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率内的概率,区域区域D如图如图所示所示.2023-2-625 xyvuvufyxFdd),(),(解解(1).,0,0,0,dd),(00其他yxvuvufxy .,0,0,0,dde00)(其他其他yxvuxyvu .,0,0,0),e1)(e1(其他其他yxyx2023-2-626(2).ded1010)(xyxyx 1010dedexyxyx 1010d)e(exxyx 101d)e1(exxx2642.0e211 1 yx1D10 xy.dd),(),(DyxyxpDYXP 101d)ee(xx2023-2-627例例 4
16、的的密密度度函函数数为为，设设二二维维随随机机变变量量YX；常数常数求求c解：解：由由密密度度函函数数的的性性质质，得得 其它其它，00043yxceyxfyx 的的联联合合分分布布函函数数；，求求YX ，求求2010 YXP 1)4(YXP2023-2-628 dxdyyxf，1 0043dxdyecyxdyedxecyx 040312c 所以，所以，12c xy0,0 yx ；，0 yxF时时，或或当当00 yx yxF，)2(yYxXP ，其其它它，00043yxceyxfyx dudvvufxy ，2023-2-629时时，且且当当00 yx yxF，dvedueyvxu 040312
17、 dudvvufxy ，xyvudvedu004312 yxee4311 其它其它，所以，所以，0001143yxeeyxFyx2023-2-630dyedxeyx 20410312 2010yxdxdyyxf，20431012dyedxyx 8311 ee 2010 YXP，2023-2-6311Oxy1x+y=1 1yxdxdyyxf，1 YXP 1043101431212dyedxdyedxyxxyx4334 ee2023-2-632小结：小结：1 1 二维离散型随机变量的联合分布率的二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质定义及性质。2 2 联合分布函数的联合分布函数的定义及性质定义
18、及性质。3 3 二维连续型随机变量的联合概率密度的二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性定义及性 质，质，特别是特别是 GdxdyyxfGYXP.),(),(4 4 二维均匀分布和二维正态分布。二维均匀分布和二维正态分布。2023-2-6331.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数.,),(yYxXPyxF 2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数,ijjipyYxXP ;,2,1,ji.),(yyxxijjipyxF3.二维连续随机变量的联合概率密度和二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数分布函数.dd),(),(vuvupyxFyx
19、 内容小结内容小结RdxdyyxfRYXP),(),(2023-2-634习题二习题二(P64)(P64)：16,17,1816,17,18作业作业2023-2-635思考题 .1,0,1,1),(yxyxyxF令令.),(量的分布函数量的分布函数是否为某个二维随机向是否为某个二维随机向请判断请判断yxF),5(),4()1(),(,但不满足性质但不满足性质满足性质满足性质虽然虽然不是不是 yxF)1,1()1,1()1,1()1,1(FFFF因因为为.010111 2023-2-636备用题备用题1.次次，令令：将将一一枚枚均均匀匀的的硬硬币币掷掷 3的的联联合合分分布布律律试试求求),(Y
20、X；数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现的的次次3 X；，的的可可能能取取值值为为3210X，的可能取值为的可能取值为31Y与与反反面面出出现现次次数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现次次数数3 Y解解之之差差的的绝绝对对值值 2023-2-637 30 YXP，；81 11 YXP，；83；0 31 YXP，12 YXP，；83；0 32 YXP，；0 13 YXP，81 33 YXP，；0 10 YXP，；数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现的的次次3 X与与反反面面出出现现次次数数次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现次次数数3 Y之之差差的的绝绝对对值值 的的联联合合分分布布律律为为由由此此
21、得得随随机机变变量量),(YXXY0 1 2 3130838308181002023-2-6382.的指数分布，的指数分布，服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量1 Y如下：如下：定义随机变量定义随机变量kX,2,1.,1,0 kkYkYXk.21的的联联合合分分布布列列和和求求XX解解种种情情况况：的的联联合合分分布布列列共共有有如如下下 4),(21XX)1()2,1()0,0(21 YPYYPXXP,63212.0e11-2023-2-639,0)2,1()1,0(21 YYPXXP)21()2,1()0,1(21 YPYYPXXP,23254.0ee2-1-)2()2,1()1,1(
22、21 YPYYPXXP.13534.0e)2(12-YP2023-2-640的联合分布列为的联合分布列为所以所以),(21XX2X1X1063212.000000.023254.013534.0102023-2-6413.设随机事件设随机事件A,B满足满足.21)()(,41)(BAPABPAP .0,1不发生不发生若若，发生发生若若，令令AAX .0,1不发生不发生若若，发生发生若若，BBY求求(X,Y)的分布列的分布列.解解,21)()()(,41)(APABPABPAP，又，又所以所以81)(ABP,21)()()(BPABPBAP2023-2-642从从而而所所以以.41)(BP)(1
23、)()0,0(BAPBAPYXP .858141411)()()(1 ABPBPAP.818141)()()()1,0(ABPBPBAPYXP.818141)()()()0,1(ABPAPBAPYXP.81)()1,1(ABPYXP所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为2023-2-643YX108581818110所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为2023-2-6444.在长为在长为a的线段的中点的两边随机地各取的线段的中点的两边随机地各取相互相互与与且且则则YXaaUYaUX),2/(),2/,0(独立，它们的联合密度函数为独立，它们的联合密度函数为 .,0,2,20,
24、4),(2其他其他ayaaxayxpY为线段中点右边所取点到端点为线段中点右边所取点到端点0的距离，的距离，一点，求两点间的距离小于一点，求两点间的距离小于a/3的概率的概率.记记X为线段中点左边所取点到端点为线段中点左边所取点到端点0的距离，的距离，解解Oxa 2aXY2023-2-645的的交交集集为为的的非非零零区区域域与与而而3/),(ayxyxp 图图2.2的阴影部分，因此，所求概率为的阴影部分，因此，所求概率为)3(aXYP yaxaaxaad4d26322 .92 6axyO图图2-22aa2a3a3axy 2023-2-6465.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率
25、密度为 .,0,42,20),6(),(其它其它yxyxkyxp;3,1)2()1(YXPk；常数常数求：求：解解 yxyxpd)d,()1().3.2(4)3(见图见图 YXP,8)d210(d)6(d422042kyykxyxky 故故 k=1/8.2023-2-647xyxyYXPd)6(81d3,1)2(1032 .83)d211(8132 yy xyyxxYXP4220d)6(d814)3(202/2)d4(681xxx.32 xyO12234x+y=4图图2-42023-2-6486.设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为 .,0,0,0,e),()43(其他其他y
26、xkyxpyx;)1(k确定常数确定常数的概率，的概率，落在区域落在区域求求DYX),()2(解解(1)由联合密度的性质知由联合密度的性质知.20,10);,(yxyxD其中其中1d)d,(yxyxp2023-2-649 00)43(dded)d,(yxkyxyxpyx而而,112dede0043 kyxkyx.12 k所以所以(2)求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率，使用公式内的概率，使用公式 DyxyxpDYXPdd),(),(20,10);,(yxyxD此时此时2023-2-650 102043dede1220,10yxYXPyx于是有于是有02)e(01)e(43yx )e)(1e1(83 9502.0
