1、有限差分法基本原理 流体的控制方程流体的控制方程 0 0 0 z p z w w y w v x w u t w y p z v w y v v x v u t v x p z u w y u v x u u t u 流体的控制方程流体的控制方程 V V V 3 2 2 3 2 2 3 2 2 z w zy w z v yz u x w xw p Dt Dw z v y w zy v yx v y u xy p Dt Dv z u x w zx v y u yx u xx p Dt Du 数值离散概述数值离散概述 有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个
2、网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。 离散网格点离散网格点 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分概念： 设有 的解析函数 ，函数 对 的导数 为： x)(xfy yx x xfxxf x y dx dy xx )()( limlim 00 、 分别是函数及自变量的微分， 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的 、 分别称为 函数及其自变量的差分， 为函数
3、对自变量的差商。 dxdy dx dy xy x y 差分的三种形式（一阶）：差分的三种形式（一阶）： 向前差分 )()(xfxxfy 向后差分 )()(xxfxfy 中心差分 )()(xxfxxfy 与其对应的差商的三种形式（一阶）： 向前差商 x xfxxf x y )()( 向后差商 x xxfxf x y )()( 中心差商 x xxfxxf x y 2 )()( 差分和逼近误差差分和逼近误差 由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分和逼近误差差分和逼近误差 用
4、泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分和逼近误差差分和逼近误差 逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分和逼近误差差分和逼近误差 二阶中心差分： 二阶中心差分： 差分和逼近误差差分和逼近误差 差分方程的建立过程差分方程的建立过程 差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差
5、分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。 模型方程模型方程 为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于 复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程： 0 xt 对流扩散方程： 2 2 xxt 热传导方程： 2 2 xt Poisson方程： f yx 2 2 2 2
6、Laplace方程： 0 2 2 2 2 yx 差分方程的建立过程差分方程的建立过程 以对流方程说明差分方程的建立过程。以对流方程说明差分方程的建立过程。 )()0 ,( 0 xx xt 1.划分网格 选定步长 和 ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xt ., 2, 1, 0 ., 2, 1, 0, 0 ntnt ixixx n i 2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 点为 ),( ni tx 0 n i n i xt 差分方程的建立过程差分方程的建立过程 t t x x i x 1i x 1i x n t 1n t 1n t o 时间导数用一阶向前差商近似代替
7、： tt n i n i n i 1 空间导数用一阶中心差商近似代替： xx n i n i n i 2 11 0 2 11 1 xt n i n i n i n i 则对流方程在 点对应的差分方程为 ),( ni tx 差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为： )( )( 2 0 11 1 ii n i n i n i n i x x t 观察上述差分格式可看出：若知道第 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 层的 ，故称这类格式 为显示格式。 n 1n 显式有限差分模板： 时间推进： 例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆
8、截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。 轴取为沿 杆轴方向， 对应杆的端点，则杆内温度分布 随时间变化由下面的扩散方程来描述： x 1, 0xx ),(txT 2 2 x T t T 100), 1( 100), 0( 0)0,( tT tT xT 时间导数用一阶向前差商近似代替： t TT t T n i n i n i 1 空间导数用二阶中心差商近似代替： 2 11 2 2 2 x TTT x T n i n i n i n i )2( 11 2 1n i n i n i n i n i TTT x t TT 取 ，则最终的差分方程： 5. 0, 1. 0,10 2 tx
9、)( 2 1 11 1n i n i n i TTT 显式有限差分模板： x t T 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 50 50 62.5 62.5 68.8 68.8 0 25 25 37.5 37.5 45.3 0 0 12.5 12.5 21.9 21.9 0 0 0 6.25 6.25 14.1 0 0 0 0 6.25 6.25
10、 0 0 0 6.25 6.25 14.1 0 0 12.5 12.5 21.9 21.9 0 25 25 37.5 37.5 45.3 50 50 62.5 62.5 68.8 68.8 如仍取 而为缩短计算时间，时间 步长 取 ，则最终的差分方程： , 1. 0,10 2 x n i n i n i n i TTTT 11 1 0. 1t x t T 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 100 100 100 100 0 200 0
11、 100 -100 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 100 -100 100 0 200 差分法的基本理论差分法的基本理论 上例中，令 表示差分方程的精确解利用Taylor级数将 上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得 上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。 1.相容性 )2( 11 2 1n i n i n i n i n i TTT x t TT ),( 122 42
12、4 42 2 2 2 2 xtO x Tx t Tt E E x T t T n i n i T T ),( niT ),( 122 22 4 42 2 2 2 2 xtO x Tx t Tt E E x T t T n i n i T T 上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误截断误 差差。显然 与 、 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有 限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应 的偏微分方程是相容相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 、 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意
13、义! T E T Etx tx 2.收敛性 收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问 题。如果在求解区域中的任一离散点 上，当网格步长 、 趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。 一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。 ),(txtx t i tx TniT 0,0 lim),( 3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失
14、或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。 2 11 2 1 ),2( x t STTT x t TT n i n i n i n i n i n i n i n i n i STTSSTT 11 1 )21( n i n i n i n i STTSSTT * 1 * 1 1* )21( 上式中 为差分方程的精确解,如果令 为差分方程的近似数值 解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程： n i T n i T * n i n i n i n i SSS 11 1 )21( 分析例题 Von Neumann稳定性分析方法简介稳定性分析方法简介 上式称为误差传播方程。
15、 4.Lax等价定理 对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容 的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最 基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值； 2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到 证明。 重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收 敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程 的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限 差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。 几种差分格式介绍几种差分格式介绍 FTCS格式（时间向前差分、空间中心差分） )()0 ,( 0 xuxu x u a
16、 t u )( 0 2 0 11 1 ii n i n i n i n i xuu x uu t uu )( )( 2 0 11 1 ii n i n i n i n i xuu uu x t auu 几种差分格式介绍几种差分格式介绍 FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分） )( 0 0 1 1 ii n i n i n i n i xuu x uu t uu )( )( 0 1 1 ii n i n i n i n i xuu uu x t auu 几种差分格式介绍几种差分格式介绍 FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分） )( )( 0 1 1 ii n i n i n i n i xuu uu x t auu )()0 ,( 0 xuxu x u a t u 几种差分格式介绍几种差分格式介绍 )()0 ,( 0 xuxu x u a t u 几种差分格式介绍几种差分格式介绍 )()0 ,( 0 xuxu x u a t u 几种差分格式介绍几种差分格式介绍 迎风格式
