1、 e e e e e e e 6 5 4 3 2 1 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 3 4 2 321 21 )( )( xxxxv xxu 设单元内任一点位移为设单元内任一点位移为 E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 e e e e e e e F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 单元杆单元杆 端力端力 单元杆单元杆 端位移端位移 一、确定形函数一、确
2、定形函数 x )(xu )(xv 1 1、广义坐标法、广义坐标法 63 52 41 )()0( )()0( )()0( l lvv luu 2 432 32)(xx dx vd x 任一截面转角为任一截面转角为 2 1 2 1 /1/1 01 ll 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 6 5 3 2 3323 22 4 3 2 1 / 1/2/ 1/2 /1/3/2/3 0010 0001 llll llll 66553322 2211 )( )( NNNNxv NNxu E,A, I , l x e 1 F 2 F
3、 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 x )(xu )(xv 63 52 41 )()0( )()0( )()0( l lvv luu 2 1 2 1 /1/1 01 ll 3 4 2 321 21 )( )( xxxxv xxu 设单元内任一点位移为设单元内任一点位移为 一、确定形函数一、确定形函数 1 1、广义坐标法、广义坐标法 任一截面转角为任一截面转角为 2 432 32)(xx dx vd x 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的
4、单元分析的单元分析 6 5 3 2 3323 22 4 3 2 1 / 1/2/ 1/2 /1/3/2/3 0010 0001 llll llll 66553322 2211 )( )( NNNNxv NNxu 32 6 32 5 4 32 3 32 2 1 23 2 231 1 llN N N lllN N N 6 1 6532 41 00 0000 NNNN NN v u d E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 x )(xu )(xv 63 52
5、41 )()0( )()0( )()0( l lvv luu 2 1 2 1 /1/1 01 ll 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 x )(xu )(xv 6 5 3 2 3323 22 4 3 2 1 / 1/2/ 1/2 /1/3/2/3 0010 0001 llll llll 66553322 2211 )( )( NNNNxv
6、NNxu 32 6 32 5 4 32 3 32 2 1 23 2 231 1 llN N N lllN N N 6 1 6532 41 00 0000 NNNN NN v u d 2 1 21 NNd 6 5 4 2 3 2 1 1 e N 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 6 1 6532 41 00 0000 NNNN NN v u d E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e
7、 6 x )(xu )(xv 2 1 21 NNd 6 5 4 2 3 2 1 1 e N 65 4 2 32 1 1 0 00 0 00 NN N N NN N N i N 为发生为发生 ); 6, 1(0, 1ijj ji 杆端位移时杆端位移时, ,杆中位移。如：杆中位移。如： 2 N为发生为发生 0, 1 654312 杆端位移时杆端位移时, ,杆中竖向位移。杆中竖向位移。 1 2 )( 2 xN x ?)( 3 xN x 1 3 )( 3 xN ?) 1 (?)0( ii NN 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元
8、分析 E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 x )(xu )(xv 6 1 6532 41 00 0000 NNNN NN v u d 65 4 2 32 1 1 0 00 0 00 NN N N NN N N i N 为发生为发生 ); 6, 1(0, 1ijj ji 杆端位移时杆端位移时, ,杆中位移。如：杆中位移。如： 2 N为发生为发生 0, 1 654312 杆端位移时杆端位移时, ,杆中竖向位移。杆中竖向位移。 1 2 )( 2 xN x ?
9、)( 3 xN x 1 3 )( 3 xN ?) 1 (?)0( ii NN 0) 1 (0) 0 (0) 1 (0) 0 ( 1) 1 (0) 0 (0) 1 (1) 0 ( 1) 1 (0) 0 (0) 1 (1) 0 ( 6633 5522 4411 NNNN NNNN NNNN 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 一、确定形函数一、确定形函数 2 2、试凑法、试凑法 利用形函数的性质建立形函数矩阵利用形函数的性质建立形函数矩阵 (1)(1)确定确定 )( 1 N 0, 1 1 N 由由 可设可设 )()1 (
10、 1 fN 由由 可知可知 1, 0 1 N 1)(f 所以所以 1 1 N (2)(2)确定确定 )( 2 N 由由 可设可设 0, 1 2 N )()1 ( 2 fN 0; 0 0 2 1 2 dx dN dx dN l ff ldx dN1 )1 ()( 1 2 0 1 ) 1 () 11 () 1 ( 1 1 2 l ff ldx dN )()1 ()(gf )()1 ( 2 2 gN l gg ldx dN1 )()1 ()()1 ( 2 2 2 0) 1 (0) 0 (0) 1 (0) 0 ( 1) 1 (0) 0 (0) 1 (1) 0 ( 1) 1 (0) 0 (0) 1 (1
11、) 0 ( 6633 5522 4411 NNNN NNNN NNNN 0 1 )0()01 ()0()01 ( 2 2 0 2 l gg ldx dN 0 1 )0()0( 2 l gg l 1) 0()0( 2 gN 2)0( g 21)(g 322 2 231)21 ()1 ()(N 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 一、确定形函数一、确定形函数 二、确定应变矩阵二、确定应变矩阵( (建立几何方程建立几何方程) ) 2 2 dx vd dx ud x x v u dx d dx d 2 2 0 0 e NN
12、dx d dx d 2 1 21 2 2 0 0 e NA e B 2 2 0 0 dx d dx d A微分算子矩阵微分算子矩阵 NAB 21 NNA 21 NANA 21 BB 11 NAB 32 1 2 2 0 00 0 0 NN N dx d dx d llll l /6/4/12/60 00/1 22 llll l B /6/2/12/60 00/1 22 2 e Nd 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 一、确定形函数一、确定形函数 二、确定应变矩阵二、确定应变矩阵( (建立几何方程建立几何方程) ) x
13、 x EI EA xM xN 0 0 )( )( e B EI EA D 0 0 弹性矩阵弹性矩阵 三、确定弹性矩阵三、确定弹性矩阵( (建立物理方程建立物理方程) ) x x EIM EAN 物理方程物理方程 e Nd e BD 四、确定单刚和单元等效结点荷载四、确定单刚和单元等效结点荷载 ( (建立平衡方程建立平衡方程) ) E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 x )(xu )(xv 1 2 3 l T e T e e dxxqdFW 0 )( )
14、( )( )( xq xq xq y x l T Te T e e dxxqNFW 0 )( )( 0 l T e T e dxxqNF 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 e BD xM xN )( )( e B E,A, I , l x e 1 F 2 F 2 2 1 1 5 F 4 F 3 F6 F )(xqx )(xqy x y 1 2 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 e 6 x )(xu )(xv 1 2 3 l T ee e dxxqdFW 0 )( )( )( )( xq xq xq y x l
15、 T Te T e e dxxqNFW 0 )( )( 0 l T e T e dxxqNF ll i dxMdxNW 00 dx M Nl T y x 0 dxBDB l e T T e 0 l e T T e dxBDB 0 ei WW l e T T e dxBDB 0 )( 0 l T e T e dxxqNF l T e dxxqNF 0 )( l e T dxBDB 0 1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 e BD xM xN )( )( e B ll i dxMdxNW 00 dx M Nl T y x
16、 0 dxBDB l e T T e 0 l e T T e dxBDB 0 ei WW l e T T e dxBDB 0 )( 0 l T e T e dxxqNF l T e dxxqNF 0 )( l e T dxBDB 0 e E eee FFk l T e dxBDBk 0 单刚单刚 l Te E dxxqNF 0 )( 单元等效结点荷载单元等效结点荷载 l T e dxBDBk 0 1 0 21 2 1 0 0 ldBB EI EA B B T T 2221 1211 kk kk ldBDBk j T iij 1 0 (i,j=1,2)(i,j=1,2) 1.5 基于变形体虚位移
17、原理的弯曲单元基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元自由式单元)的单元分析的单元分析 ld llll l EI EA ll ll l 64126 0 00 1 0 0 64 0 126 0 0 1 22 1 0 22 lEIlEI lEIlEI lEA /4/60 /6/120 00/ 2 23 ldBDBk T 1 1 0 111 lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEA lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEA dxBDBk l T e /4/60/2/60 /6/120/6/120 00/00/ /2/60/4/60 /6/120/6/120 00/00/ 22 2323 22 2323 0 形函数矩阵是那两组量之间的联系矩阵形函数矩阵是那两组量之间的联系矩阵? 应变矩阵是那两个量之间的联系矩阵应变矩阵是那两个量之间的联系矩阵? 弹性矩阵是那两个量之间的联系矩阵弹性矩阵是那两个量之间的联系矩阵? 单刚是那两个量之间的联系矩阵单刚是那两个量之间的联系矩阵? 单元分析的步骤是怎样的单元分析的步骤是怎样的? 作业作业:1.推导自由式单元形函数推导自由式单元形函数 )( 3 N 2.推导连续梁单元的单刚推导连续梁单元的单刚.位移模式取位移模式取 2 21 )(xxxv
