1、第三章第三章 1.1.地球重力场的基本理论地球重力场的基本理论引力、离心力与重力引力、离心力与重力引力位与离心力位引力位与离心力位地球的正常重力位地球的正常重力位正常重力公式正常重力公式上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容1、测量坐标参考系统测量坐标参考系统 由基准基准和坐标系坐标系两方面要素构成。基准基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数参考椭球的参数以及参考椭球在空间中的定位及定向定位及定向，甚至还包括单位长度单位长度。狭义的坐标系狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系广义的坐标系是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。2、建立地固坐标系统必须解决的问题建立地固坐标系统必须
2、解决的问题 确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率等）；确定椭球中心的位置（椭球定位）；确定椭球短轴的指向（椭球定向）；建立大地原点。(),KKKKLBAH上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容3 3、19541954年北京坐标系的特点年北京坐标系的特点4 4、19801980年国家大地坐标系特点年国家大地坐标系特点5 5、新、新19541954年北京坐标系的特点年北京坐标系的特点6 6、WGS-84世界大地坐标系世界大地坐标系7 7、站心坐标系、站心坐标系 以测站为原点，测站上的法线以测站为原点，测站上的法线(垂线垂线)为为Z Z轴方向轴方向的坐标系就称为法线的坐标系就称为法线(或垂线或垂线)站
3、心坐标系。常用站心坐标系。常用来描述参照于测站点的相对空间位置关系。工程来描述参照于测站点的相对空间位置关系。工程上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。8 8、不同空间直角坐标系转换、不同空间直角坐标系转换考查学生考查学生一、牛顿万有引力定律222M mM mFkfrr 22FMakmr 22222()()MmMmakkrrr 22224,vravrarTT 322()4af M mT 宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们的质量乘积成正比，与他们之间的距离平方成反比。在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：在相对运动中，行星相对于太阳运
4、动的相对加速度：向心加速度向心加速度二、引力、离心力与重力 用F及P分别表示地球引力引力及质点绕地球自转轴旋转而产生的离心力离心力，这两个力的合力称地球重力重力 用g表示2rmMfF2mP PFg离心力P在赤道达最大值，但数值比地球引力1/200还要小一些。故重力基本上由地球引力确定的。当高出地面35730km处，重力加速度将改变符号，背向地球。三、引力位和离心力位位函数的概念：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标方向位函数的概念：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标方向的偏导数等于引力在相应方向上的分力，则此函数称为位函的偏导数等于引力在相应方向上的分力，则此函数称为位函数。位函数的形式为：数。
5、位函数的形式为：（一）引力位：（一）引力位：单位质点受物质单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者的引力作用产生的位能称为引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：rMfVrmMfVVrrmMfA,ddd2drdVa由牛顿第二定律可导出：单位质点的由牛顿第二定律可导出：单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。的导数，方向与径向方向相反。rMfVzVFyVFxVFzyx，则：（一）引力位（一）引力位dAdrrMmfdA22rMmfFdrrMmfdAdV2
6、CrMmfVrMmfV万有引力定律：万有引力定律：推导如下推导如下:假设沿力的方向做功为假设沿力的方向做功为，则有，则有此功等于位能的减少，此功等于位能的减少，积分则有：积分则有：因为因为r,V=0。所以。所以 C=0，则有，则有取取 m=1，)(dMrmfrMfV引力位或位函数：（二）离心力位（二）离心力位 质点坐标可用质点向径 r，地心纬度及经度表示为：（图3-2）地球自转仅仅引起经度变化，而它对时间的一阶导数等于地球自转角速度时，得cossincoscos0 xryrz coscos,cos sin,sinxryrzr 2 2-0 xxyyz坐标对时间的二阶导数就是质点的离心加速度。（二
7、）离心力位（二）离心力位(续续)假定一个函数（离心力位）：则有：因此，我们可把Q称为离心力位函数。)(2222yxQ022zQyyyQxxxQQVW)(2222yxrdmfW)()()(zQzVzWgyQyVyWgxQxVxWgzyx（三）重力位（三）重力位重力是引力和离心力的合力，重力位重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位是引力位V和离心和离心力位力位Q之和：之和：对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：n由各分力可计算重力加速度（模）：由各分力可计算重力加速度（模）：222zyxgggg重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向
8、上重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力：的分力：),cos(lggglWl重力位重力位 (续续)gdWdlu当当g与与l相垂直时，那么相垂直时，那么d=0，有，有常数常数当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为成的重力等位面，专称它为大地水准面。大地水准面。u如果令如果令g与与l夹角等于夹角等于，则有：则有：u水准面之间既不平行，也不相交
9、和相切。水准面之间既不平行，也不相交和相切。重力的单位重力的单位对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量纲，单位是：伽伽(Gal=cms)，毫伽(mGal=Gal/1000=10ms)微伽(Gal=mGal/1000=10m s)地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从赤道向两极增大的趋势。地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。四、地球的正常重力位要精
10、确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位正常重力位。正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。)(2222yxrdmfWM重力位重力位用球谐函数表示的地球引力位的公式勒让德多项式勒让德多项式 称为称为n阶阶主球函数主球函数(或带球函数或带
11、球函数)。称为称为n阶阶K级的勒让德级的勒让德缔合函数缔合函数(或伴随函数或伴随函数)。称为称为缔合球函数缔合球函数(其中，当其中，当k=n时称为时称为扇球函数扇球函数，当，当kn时称时称为为田球函数田球函数)。090式中：极距，10011(cos)(cossin)(cos)nnnnnnnKKKnnnKVVA PrAKBKP第第n阶地球引力位公式阶地球引力位公式)(cosnP)(cosKnP)(cossin ),(coscosKnKnPKPKnKKnKnKnnnnnPKBKAPArV11)(cos)sincos()(cos1seita地球正常重力位地球正常重力位222sin2rVW当选取前当选
12、取前3项时，将重力位项时，将重力位W写成写成U221012221(cos)(cossin)(cos)sin2KKnnnnnnKKnUA PAKBKrPr()!2(cos)sindm,1,()!knknnmmMnkBfR Pkknnk00(cos)nnnmMAfR Pdm()!2(cos)cosdm()!knknnmmMnkAfR Pknk地球正常重力位的公式现在需要求系数：现在需要求系数：若地球是旋转椭球体，则有转动惯量若地球是旋转椭球体，则有转动惯量 ，将系数代入，将系数代入则有：则有：式中：式中：001101122011122222,AAABAABABsin2)cos31(21 23222
13、fMrrKrMfUKMA C00AfM22=()4BAAf0111110AAB01122222(),=02ABAfCABBAB设赤道的设赤道的离心力与重力之比离心力与重力之比为：为：令：令：地球形状参数。地球形状参数。则有：则有：地球正常重力位的公式22232eaaaqagfMfMsin2)cos31(31 22qrMfU23,2Ka与大地水准面相近的正常位水准面方程与大地水准面相近的正常位水准面方程注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们
14、寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对上式中，对r和和 取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面。取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面。取取 ，求得与大地水准面相近的正常位水准面，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程：方程：联立求解联立求解 得：得：将分母展开，并略去将分母展开，并略去、q q平方以上各高次项，就得到一平方以上各高次项，就得到一个旋转体，其表面是一个水准面：个旋转体，其表面是一个水准面：ar ,902201(13cos)sin32MqUfUr221(1 3cos)sin/(1)3232qqracos)2(1 2qar01
15、32MqUfa五、正常重力公式五、正常重力公式 正常重力位在正常水准面法线（n）的变化量 即为正常重力:(忽略n与向量r的区别)顾及r与a的关系得：特例：特例：，赤道正常重力：赤道正常重力：，极点处正常重力：，极点处正常重力：dUdUdndr 222(1(13cos)sin)fMqr20235(1()cos)22fMqqa90223(1)9.78ms2efMqa022(1)9.832mspfMqa 设重力扁率为 克莱罗定理克莱罗定理（一般正常重力公式）：（一般正常重力公式）：精确的正常重力公式：精确的正常重力公式：正常重力公式正常重力公式55 ,+=22peeqq 20(1sin)e2201(
16、1sinsin2)e517(1)235q反映地球扁率与反映地球扁率与重力扁率的关系重力扁率的关系2111()84用不同的观测数据，导出的正常重力公式：用不同的观测数据，导出的正常重力公式：1901190119091909年赫尔默特公式：年赫尔默特公式：19301930年卡西尼公式：年卡西尼公式：19751975年国际地球正常重力公式：年国际地球正常重力公式：GS84GS84坐标系中的椭球重力公式：坐标系中的椭球重力公式：)2sin000007.0sin005302.01(030.978220)2sin000059.0sin0052882.01(049.978220)2sin0000058.0s
17、in005302.01(032.978220/)sin86390019318513.01(03267714.9782B122(1 0.00669437999013sin)B不推导给出高出水准椭球面不推导给出高出水准椭球面H米的正常重力计算公式米的正常重力计算公式H3086.00六、正常重力场参数 在物理大地测量中在物理大地测量中,正常椭球重力场可用正常椭球重力场可用4 4个基本个基本参数决定参数决定,即：即：地球正常地球正常(水准水准)椭球的基本参数，又称椭球的基本参数，又称地球大地地球大地基准常数基准常数是：是：其中：其中：002,(),UAfMAf ACfKM,2fMJa222JfMaA2
18、223322222AqqqJa fM fMaq32)231(0qafMU223aK用地球大地基准常数表示的正常重力位用地球大地基准常数表示的正常重力位2/sin)cos()/(1/),(2222222rPraJrfMfMJafUnnen式中：P2n为主球谐系数，J2n为J2的闭合表达式；J2与地球扁率有如下关系：ae为椭球长半轴。8/92/2/322JqJ总结总结旋转椭球体为我们提供了一个非常简单而又精确的旋转椭球体为我们提供了一个非常简单而又精确的地球几何形状的数学模型，使一些公式推导与计算地球几何形状的数学模型，使一些公式推导与计算很方便。为了地面上以铅垂线为依据的观测数据归很方便。为了地
19、面上以铅垂线为依据的观测数据归算到椭球面上，还必须给这个椭球模型加上密合于算到椭球面上，还必须给这个椭球模型加上密合于实际地球的引力场。为此，我们首先把旋转椭球赋实际地球的引力场。为此，我们首先把旋转椭球赋予与实际地球椭球相等的质量，同时假定它与地球予与实际地球椭球相等的质量，同时假定它与地球一起旋转，进而用数学约束条件把椭球面定义为其一起旋转，进而用数学约束条件把椭球面定义为其本身重力场中的一个等位面，并且这个重力场中的本身重力场中的一个等位面，并且这个重力场中的铅垂线方向与椭球面相垂直，由此决定的旋转椭球铅垂线方向与椭球面相垂直，由此决定的旋转椭球的重力场称为正常重力场。这样的椭球称为正常
20、椭的重力场称为正常重力场。这样的椭球称为正常椭球，也称为水准椭球。球，也称为水准椭球。结束 谢谢谢谢!扇谐函数田谐函数+-19541954年北京坐标系的特点年北京坐标系的特点 1954年北京坐标系坐标系源自于原苏联采用过的年北京坐标系坐标系源自于原苏联采用过的1942年普年普尔科沃坐标系，属参心坐标系。尔科沃坐标系，属参心坐标系。该坐标系采用的参考椭球是克拉索夫斯基椭球，与现代精该坐标系采用的参考椭球是克拉索夫斯基椭球，与现代精确的椭球参数的差异较大。还是一个只有几何量表示的椭确的椭球参数的差异较大。还是一个只有几何量表示的椭球。球。该椭球并未依据当时我国的天文观测资料进行重新定位，该椭球并未
21、依据当时我国的天文观测资料进行重新定位，而是直接由前苏联西伯利亚地区的一等锁，经我国的东北而是直接由前苏联西伯利亚地区的一等锁，经我国的东北地区传算过来的。地区传算过来的。椭球定向不十分明确，椭球的短半轴不指向国际通用的椭球定向不十分明确，椭球的短半轴不指向国际通用的CIO极。参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的系统极。参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的系统性倾斜，东部高程异常达性倾斜，东部高程异常达60余米，最大达余米，最大达68米。米。该坐标系统的大地点坐标是经过局部分区平差得到的，即该坐标系统的大地点坐标是经过局部分区平差得到的，即没有进行整体平差。区与区之间存在较大的隙距。没有进
22、行整体平差。区与区之间存在较大的隙距。1980年国家大地坐标系特点年国家大地坐标系特点 采用国际大地测量协会采用国际大地测量协会19751975年推荐的参考椭球年推荐的参考椭球IAG-IAG-7575国际椭球，有国际椭球，有四个几何和物理参数。四个几何和物理参数。椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向1968.0 JYD1968.0 JYD地极原点方向），起始子午面平行于格地极原点方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。属参心坐标系。林尼治平均天文子午面。属参心坐标系。按照椭球面与似大地水准面在我国境内符合最好的按照椭球面与似大地水准面
23、在我国境内符合最好的约束条件进行定位，大地原点确定在我国中部。约束条件进行定位，大地原点确定在我国中部。高程系统以高程系统以19561956年黄海平均海水面为高程起算基准。年黄海平均海水面为高程起算基准。在在19801980年国家大地坐标系中的大地点成果是经过整年国家大地坐标系中的大地点成果是经过整体平差。体平差。新新1954年北京坐标系的特点年北京坐标系的特点 采用克拉索夫斯基椭球参数。是综合BJ54和GDZ80建立起来的参心坐标系。采用多点定位，但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合。定向明确，坐标轴平行与GDZ80相平行，椭球短轴平行于地球质心指向1968.0 JYD地极原点方向），
24、起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。大地原点与GDZ80相同，但大地起算数据不同。大地高程基准采用1956年黄海系。与BJ54旧相比，所采用的椭球参数相同，其定位相近，但定向不同。BJ54旧的坐标是局部平差的结果，而BJ54新是GDZ80整体平差结果的转换值。WGS-84世界大地坐标系世界大地坐标系v WGS-84坐标系是目前坐标系是目前GPS所采用的坐标系统，所采用的坐标系统，GPS卫星卫星所发布的广播星历参数就是基于此坐标系统的。所发布的广播星历参数就是基于此坐标系统的。v WGS-84坐标系统的全称是坐标系统的全称是World Geodical System-84（世（世界大地坐标系
25、界大地坐标系-84），它是一个地心地固坐标系统。），它是一个地心地固坐标系统。WGS-84坐标系统由美国国防部制图局建立，于坐标系统由美国国防部制图局建立，于1987年取代了当年取代了当时时GPS所采用的坐标系统所采用的坐标系统WGS-72坐标系统而成为坐标系统而成为GPS的所使用的坐标系统。的所使用的坐标系统。v WGS-84坐标系的坐标原点位于地球的质心，坐标系的坐标原点位于地球的质心，Z轴指向轴指向BIH1984.0定义的协议地球极方向，定义的协议地球极方向，X轴指向轴指向BIH1984.0的的启始子午面和赤道的交点，启始子午面和赤道的交点，Y轴与轴与X轴和轴和Z轴构成右手系轴构成右手系
26、.v WGS-84坐标系与国际地球参考系（坐标系与国际地球参考系（ITRS，最精密的地心，最精密的地心地固坐标系）很接近，差异在地固坐标系）很接近，差异在2cm以内。以内。不同空间直角坐标系转换不同空间直角坐标系转换 一般存在一般存在3个平移参数和个平移参数和3个旋转参数以及个旋转参数以及1个尺度变化参数，共计有个尺度变化参数，共计有7个参数。个参数。000111222111)1(ZYXZYXmZYXXYXzYz如如5个公共点个公共点 2220001112111121112234:1000 01 0 000 1 0XYZXYVZXZYXVYZXaYZYXaZVaa 已知值可写出误差方程1:()
27、TTXB PBB PL其解为3241111:1,XYzaaaXmaaaa由可进一步求得VBXL写成矩阵形式为:一般利用一般利用3个以上的公共点求解转换参数个以上的公共点求解转换参数引力位的基本性质引力位的基本性质 位函数沿任意方向位函数沿任意方向S的导数，等于引力在这个方向上的分力。的导数，等于引力在这个方向上的分力。引力对单位质点所作的功等于位函数在质点运动的终点和起引力对单位质点所作的功等于位函数在质点运动的终点和起点的位函数值之差，而与质点所经的路径无关。点的位函数值之差，而与质点所经的路径无关。引力位的物理意义是，质点在该位置上位能的负值，引力位的物理意义是，质点在该位置上位能的负值，E E=-=-V V()如果质点运动的方向恒与作用力如果质点运动的方向恒与作用力 的方向正交，的方向正交，V=常数，常数，这样的曲面称为等位面。这样的曲面称为等位面。由由 式可知，两等位面之间的距离不是一个常数，式可知，两等位面之间的距离不是一个常数，即等位面互不平行。此外，两个等位面之间的位差即等位面互不平行。此外，两个等位面之间的位差dV不会不会等等于零，当于零，当F F为有限时，为有限时，dS也不会等于零，即两相邻等位面既也不会等于零，即两相邻等位面既不会相交，也不会相切。不会相交，也不会相切。SVFSddFSVFSdd
