1、第一节第一节 共形映射的概念共形映射的概念第二节第二节 分式线性映射分式线性映射第三节第三节 唯一决定分式线性映射的条件唯一决定分式线性映射的条件第四节第四节 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射21.有向曲线的切向量z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb如果z(t0)0,at0b,则表示z(t)的向量与C相切于点P0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z(t0)1 共形映射的概念P03事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示ttzttz)()(00 的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)4当点P沿C
2、无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示ttzttztzt)()(lim)(0000 的向量与C相切于点P0=z(t0),且方向与C的正向一致.如果我们规定这个向量的方向作为C上点P0处的切线的正向,则我们有1)Arg z(t0)就是P0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角52.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是:z=z(t),atb,它的正向相应于参数t增大的方向,且z0
3、=z(t0),z(t0)0,at00映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0,arg w(2i)=0的分式线性映射.解 由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.2)得22.24()e,(2)(2).4iiiziweziiw zziiwie48所求的映射为 2e,(2)24arg(2)0,.22iiziiwwieziwipp22ziwizi49例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射.x1y(z)OOuv(w)1aa150
4、解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与1|1(0).,1,0,.zwwzwzwaaaa 点 对称于单位圆周的点应该被映射成平面上的无穷远点 即与对称的点 因此当时而当时满足这些条件的分式线性映射具有如下的形式,111zzzwkkkzzzaaaaaaakka 其中51由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1代入上式,得所以|k|=1,即k=eij.这里j是任意实数.1|11|1|1|,kwaaaa又因,1zwkzaa52因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是
5、 反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z|=1上的点z=ei(为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.解 由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w2i|2且满足条件w(2i)=2i,arg w(2i)p/2的分式线性映射.解 容易看出,映射=(w2i)/2将|w2i|2映射成|1,且满足(2i)=0的映射易知为2e222e221(2)2e,4iiiziziwiziziwii故有由此得56221e(2)2e,2
6、24arg(2)arg(2e)arg(4).2arg(2),0.22222(1).222iiiwiziwiziiwiiwiwizizwizizipp 已知从而得所求映射为或572i(z)O()2i(w)izziw22)1(2iziz22w=2(i+)581.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是 当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍4 几个初等函数所构成的映射1ddnwnzzd0dwz59O(z)0O(w)n0w=zn(z)(w)OOnp2上岸下岸w=
7、zn60例1 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1的一个映射.解=z4将所给角形域0arg z0.又从上节的例2知,映射44|1.iwwiziwzi将上半平面映射成单位圆所求映射为61(z)O4pO()1(w)z4iiwizizw4462例2 求把下图中由圆弧C1与C2所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.aj0(w)O1C1C2a(z)Oii63aO()aj0(w)O1C1C2a(z)Oii10eiwziizi0()2iziwezip64解 先求出把C1,C2的交点i与i分别映射成平面中的=0与=,并使月牙域映射成角形域0arg a;再把这角形域通
8、过映射w=exp(ij0)转过一角度j0,即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射.将所给月牙域映射成平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:其中k为待定的复常数.zikzi650011()211.11,.,0arg.iizikziiCzkikizikiiCziziziwieezizipa 此映射把上的点映射成取使这样 映射就把映射成平面上的正实轴根据保角性 它把所给的月牙域映射成角形域所求的映射为66例3 求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)aha a+hBCD67xOy(z)C(a+ih)B D
9、aOv(w)aha a+hBCDO(z1)CB Dihh2CO BD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBDh+hz1=zaz2=z12z3=z2+h234zz w=z4+aahazw22)(68解 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左作一个距离为a平移:z1=za.第二,再应用映射z2=z12,便得到一个具有割痕h2Re(z2)+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z
10、3平面.694344422,.,:,.:()zzzzawzawwzaha第四 通过映射便得到上半 平面最后 把 平面向右作一距离为 的平移便得到 平面中的上半平面把所有的映射复合起来就得到所求出映射702.指数函数 w=ez 在z平面内 w=(ez)=ez0由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射.设z=x+iy,w=reij,则r=ex,j=y,(6.4.2)由此可知:z平面上的直线x=常数,被映射成w平面上的圆周r=常数;而直线y=常数,被映射成射线j=常数.带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa.特别是带形域0Im(z)2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的.71aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw72由指数函数w=ez所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa.因此,如果要把带形域映射成角形域,常常利用指数函数.73例4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|0.而根据(6.3.4)又知:Im()0|1.eezziwiwiwi映射将平面的上半平面映射成单位圆因此所求的映射为
