1、大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理 大数定律大数定律与与中心极限定理中心极限定理通称通称，是概率，是概率论中比较深刻的理论结果，同时也是数理统计学的论中比较深刻的理论结果，同时也是数理统计学的理论基础，因此在课程体系中起着承上启下的作用理论基础，因此在课程体系中起着承上启下的作用.12 ,lim|0,lim,.PnnnnnnnXXPXXXXXPXXXXX 对对于于随随机机变变量量列列和和随随机机变变量量如如果果对对任任意意的的正正数数恒恒有有则则称称随随机机变变量量列列到到记记作作或或依依概概率率收收敛敛 /,0,lim0.nnnnAnApPpn 在在重重伯伯努努利利试试验验中中事事
2、件件 发发生生的的频频率率 发发生生的的概概率率依依概概率率收收敛敛有有于于 即即对对于于任任意意112 ,0-1(1,),0,1 lim0.nininXXXBXpnpP 设设独独立立同同服服从从分分布布 则则对对于于任任意意有有1211 ,(1,2,).11 lim0.0,niinniiniiiiPXXXXEXDXDXCDXC iEXnn 设设随随机机变变量量列列两两两两不不相相关关 数数学学期期望望和和方方差差均均存存在在 且且有有界界 即即存存在在使使得得则则对对于于任任意意有有 2 ,XEXDXPXDXEX 如如果果随随机机变变量量 的的数数学学期期望望和和方方差差存存在在 则则对对于
3、于任任一一正正数数都都有有1211 ,111 ninniiiiiDXnPXEXnn 证证明明：对对于于任任给给正正数数由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式 有有122niiDXn 122niiDXn 222nCCnn11 11 lim0.nniiniiPXEXnn 注注意意到到概概率率都都是是非非负负的的，两两边边取取极极限限即即得得211 ,0,1m.li0nininXXPXnX 设设随随机机变变量量独独立立同同分分布布 且且数数学学期期望望 存存在在 则则对对于于任任意意有有 12121212 (1),(),(2),2,1nnnnXXXf xXXXXXXXXnX 判判断断下下列列说说法法的的对
4、对错错,并并简简述述理理由由:设设随随机机变变量量独独立立同同具具有有密密度度则则序序列列满满足足辛辛钦钦大大数数定定律律.设设随随机机变变量量例例独独立立同同服服从从参参数数为为 的的泊泊松松分分布布 则则满满足足切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律.n当当试试验验可可重重复复且且次次数数 充充分分大大时时，表表明明用用频频率率估估计计概概率率的的误误差差可可任任意意小小，样样本本均均伯伯努努利利大大数数可可靠靠性性可可任任意意大大；表表明明用用估估计计的的误误差差可可定定任任律律辛辛钦钦大大意意小小，可可数数定定靠靠性性值值可可理理论论律律均均值值任任意意大大.,n试试验验次次数数到到底底需需
5、要要多多大大 样样才才能能保保证证用用估估计计的的误误差差和和可可靠靠性性都都能能达达到到指指定定值值理理论论值值的的要要求求本本221 l im (,),2,txnnnnpPxedtnBxpn pq 设设则则对对于于任任意意实实数数 有有 1.1/2,1,.2.(,),1.nppN np npqqp 棣棣莫莫弗弗证证明明了了该该定定理理的的情情形形 而而拉拉普普拉拉斯斯将将其其推推广广到到取取任任意意小小于于 的的正正数数的的情情形形故故而而得得名名近近似似服服从从其其中中12 ,(1,),nXXXBpx设设随随机机变变量量独独立立同同服服从从 则则对对于于任任意意有有2121lim2ntx
6、iinXnpPxedtnpq 122 ,0,nXXXx 设设随随机机变变量量且且该该分分独独立立同同分分布布布布的的数数学学期期望望和和方方差差存存在在 则则对对于于任任意意有有2121lim2ntxiinXnPxedtn 1010 400一一颗颗均均匀匀骰骰子子连连掷掷次次,求求其其点点数数例例之之和和大大于于的的概概率率.100 ,400.nYnP Y 记记表表示示次次抛抛掷掷中中的的点点数数之之和和 则则所所求求概概率率为为解解1212,1,2,3,4,5,6 innnXiXXXYXXX 记记 表表示示第第 次次抛抛掷掷中中出出现现的的点点数数 则则独独立立同同服服从从上上的的均均匀匀分
7、分布布且且2100100()100 3.5350,()100 1.71E YD Y10010035040035040017.117.1YP YP 01(2.9240)10.99820.0018.3,1000.120.用用四四舍舍五五入入法法获获得得用用 位位小小数数表表示示的的近近似似值值时时求求个个数数和和的的误误差差的的绝绝对对值值超超过过的的概概率率例例121006 ,(0.0005,0.0005).0,10/12.iiiiED 记记表表示示第第 个个数数舍舍入入误误差差 则则独独立立同同服服从从区区间间上上的的均均匀匀解解分分布布 其其期期望望和和方方差差为为1100110011004
8、11001100 ,100,()0,()10/12.EEEDDD 于于是是个个近近似似数数之之和和的的总总误误差差为为其其期期望望和和方方差差为为 1001 0.01iiP 所所求求概概率率为为022(2 3)0.00053 例例3 3 检查员逐个地检查某种产品检查员逐个地检查某种产品,每检查一个每检查一个产品需要用产品需要用10秒钟秒钟.但有的产品需重复检查一但有的产品需重复检查一次，再用去次，再用去10秒钟秒钟.假设产品需要重复检查的假设产品需要重复检查的概率为概率为 0.5,求检验员在求检验员在 8 小时内检查的产品多小时内检查的产品多于于1900个的概率个的概率.解解 检验员在检验员在
9、 8 小时内检查的产品多于小时内检查的产品多于1900个，等价于说检查个，等价于说检查1900个产品所用的时间个产品所用的时间小于小于 8 小时小时.设设 X 为检查为检查1900 个产品所用的时间个产品所用的时间(单位单位秒秒)，则所求概率为，则所求概率为 3600 8P X XkP 10 200.5 0.5()15,()25kkE XD X 190021 ,(,),kkXXXN 注注意意到到所所以以近近似似服服从从其其中中11900,XX独独立立同同服服从从2()28500,()47500.E XD X 设设 Xk 为检查第为检查第 k 个产品所用的时间个产品所用的时间(单位：单位：秒秒)
10、,k=1,1900,则则 3600 8P X 288002850047500 0.9162 100.,120,;,4 报报名名听听概概率率统统计计课课的的学学生生人人数数是是服服从从参参数数为为的的泊泊松松分分布布 相相关关部部门门决决定定 如如果果报报名名人人数数超超过过人人 就就分分两两个个班班讲讲授授 否否则则 就就集集中中在在一一个个班班讲讲授授.试试求求该该课课程程将将在在两两个个班班讲讲授授例例的的概概率率.,(100),(120)XXPP X 设设为为报报名名解解人人数数 则则所所求求概概率率为为11001100 ,(1),100,100.XXPXXXEXDX设设独独立立同同服服
11、从从则则且且0 ,(120)100120100 1(2)0.023100100P XXP 于于是是 所所求求概概率率 A 发发生生 A 发发生生三、典型例题.,),(,),(的的近近似似值值求求记记上上服服从从均均匀匀分分布布且且都都在在区区间间机机变变量量设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随个个噪噪声声电电压压一一加加法法器器同同时时收收到到105VPVV1002021kV20201kkk 解解,5)(kVE).20,2,1(12100)(kVDk例例12012100520201 kkVZ2012100520 V则则 105VP20121005201052012100520 VP387.
12、02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02d2112tet)387.0(1 .348.0)1,0(N(近似近似)例例2.设由机器包装的每包大米的重量是一个设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量随机变量,期望是期望是10kg,方差是方差是0.36kg,求求100袋袋这种大米的总重量在这种大米的总重量在990至至1010公斤之间的公斤之间的概率概率.例例3.(供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车换工件等常需停车.设开工率为设开工率为
13、0.6,并设每并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少千瓦电力就能以问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产保证该车间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),设应供应设应供应N千瓦电力千瓦电力,
14、现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理)1(pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)=P(0XN)这里这里 np=120,np(1-p)=48)48120()48120(N)48120N(查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，)48120(N从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142.也就是说也就是说,应供应应供应142 千瓦电力就能以千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产而影响生产.999.0)1.3(4
15、8120N 3.1,故故例例4：某电视机厂每月生产一万台电视机，但：某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为它的显像管车间的正品率为0.8，为了以，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月应生产多少只显像管？问该车间每月应生产多少只显像管？997.0)75.2(一一填空题填空题：1设设nXXX,21是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量序序列列,且且均均值值为为,方方差差为为2,那那么么当当 n充充分分 大大 时时,近近 似似 有有X 或或/nX 。特特别别的的，当当同同为为正正态态分分布布时时，对
16、对于于任任意意的的n，都都精精确确有有X 或或/nX ),(2nN )1,0(N),(2nN )1,0(N练习题练习题2设设nXXX,21是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列变量序列,且且 2,iiXDXE，那么，那么 niiXn121依概率收敛于依概率收敛于 22 解：解：)(2iXE 2)()(iiXEXD 22 相互独立相互独立且且,22221nXXX),2,1(i22211nPiiXn 故故。近近似似地地服服从从随随机机变变量量大大时时足足够够则则当当方方差差为为且且它它们们的的期期望望均均为为零零序序列列是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量设设 niinXYnXX1221
17、5.0,)3)4,0(2 nN二、选择题二、选择题B kpn设设置置外外线线的的最最少少条条数数，需需要要得得到到满满足足的的概概率率分分机机呼呼叫叫外外线线时时能能及及时时，为为使使每每部部，则则根根据据中中心心极极限限定定理理外外线线的的概概率率为为部部分分机机，每每部部分分机机呼呼叫叫、假假设设某某单单位位交交换换台台有有975.012.02002 55)(44)(33)(22)(DCBAB解解:设设200部分机中同时呼叫外线的部数为部分机中同时呼叫外线的部数为X,则则X服从二项式分布服从二项式分布)12.0,200(B)88.024,24(NX于是于是欲求欲求975.0)(kXP，97
18、5.0)88.0242488.02424(kXP即即96.188.02424 k得得)975.0)96.1(是是下下面面的的关关系系式式不不成成立立的的，则则由由中中心心极极限限定定理理可可见见决决定定于于数数，独独立立重重复复试试验验成成功功的的次次次次是是，而而是是每每次次试试验验成成功功的的概概率率利利试试验验），设设次次独独立立重重复复试试验验（伯伯努努、考考虑虑,05.0|0)10(3 pnvPnvppnnn 98.0)()96.1()(98.0)(96.1)(2pqnDpqnCnBnpqAD)975.0)96.1(。下下列列结结果果正正确确的的是是则则对对任任意意给给定定的的相相互
19、互独独立立，且且设设,0,10,1,1)()(,.41021 iXDXEXXXii 1012;1|1|)(iiXPA 1012;1|1101|).(iiXPB 1012;1|10|)(iiXPC 1012;101|10|)(iiXPD 律律。不不服服从从切切比比雪雪夫夫大大数数定定下下列列哪哪种种情情况况量量序序列列，是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变设设.5nnXX;,2,1,0,!1)()(kekkXPXAnn的的概概率率分分布布为为;,)(babaXBn 上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间 xxxfXCn,)1(1)()(2 的的概概率率密密度度函函数数为为 1,01,3)()(4xxxxgXDn的的概概率率密密度度函函数数为为
