1、2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 1 第二章变形体虚位移原理 弹性力学基本概念预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 2 预预 备备 知知 识（回顾）识（回顾） 线弹性平面问题的平衡线弹性平面问题的平衡 方程方程 小变形平面问题的几何小变形平面问题的几何 方程方程 0 0 b b y yyx x xy x F yx F yx xd yd y xd y yxd yxF x dd b yx x x x d)d( x xyd x xyyxy d)d( o y v x u y x 线应变：线应变： AB
2、 C A B C u v x x u ud x x v vd y y v vd y y u ud xd yd 角应变：角应变： x v y u xy 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3 线弹性平面问题物理方程线弹性平面问题物理方程 平面应力：平面应力： xyxyxy xyy yxx E G E E )1(2 )( 1 )( 1 2 2 平面应变：平面应变： 1 x y z 平面应力：平面应力： 0 yzxzz 平面应变：平面应变： x y z 0 yzxzz 2 E E 1 预预 备备 知知 识（回顾）识（回顾） 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4
3、xd yd y xd y xyd x xyd x yd n s sF xdS sF ydS x y 平面问题应力边界条件平面问题应力边界条件 mlF mlF yxyy xyxx S S 在应力边界上：在应力边界上： lmml mlml yxxyN yxyxN )()( 2 22 22 平面问题物理量的矩阵平面问题物理量的矩阵 表示表示 4 32 21 00 0 0 D DD DD D T xyyx T xyyx T bbbyx FFF T SSSyx FFF T vud T vud 应力矩阵应力矩阵 应变矩阵应变矩阵 体积力矩阵体积力矩阵 表面力矩阵表面力矩阵 位移矩阵位移矩阵 已知位移矩阵已
4、知位移矩阵 弹性矩阵弹性矩阵 预预 备备 知知 识（回顾）识（回顾） 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 5 平面问题物理量的矩阵平面问题物理量的矩阵 表示表示 取决于材料性质取决于材料性质 各相同性、线性弹性时各相同性、线性弹性时 D 引入两个算子矩阵引入两个算子矩阵 xy yx A 0 0 微分算子矩阵微分算子矩阵 lm ml L 0 0 方向余弦矩阵方向余弦矩阵 2 31 1 E DD 中：中：D 2 2 1 E D )1(2 4 E D 平面应力平面应力 平面应变平面应变： 1 2 2 1 E E 预预 备备 知知 识（回顾识（回顾） 2020/5/10 哈尔滨工业大
5、学 土木学院 王焕定 6 基本方程矩阵表示基本方程矩阵表示 平衡方程平衡方程 0 b FA 几何方程几何方程 0 T dA 0 D 物理方程物理方程 边界条件边界条件 u Sdd0 SFL0 S 杆系问题的基本方杆系问题的基本方 程程（作业）（作业） 平衡方程如何建立？平衡方程如何建立？ 几何方程如何建立？几何方程如何建立？ 内力和变形间关系如何？内力和变形间关系如何？ 由微段的平衡条件建立由微段的平衡条件建立 由微段的变形条件建立由微段的变形条件建立 kGAQ x v EIM EAN 2 2 d d 以上内容必须以上内容必须 通过自己动手通过自己动手 达到熟练掌握达到熟练掌握 2020/5/
6、10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 7 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 一、变形体虚位移时外力功计算一、变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明二、变形体虚位移原理表述和证明 三、一些名词含义的解释三、一些名词含义的解释 四、势能驻值原理和最小势能原理四、势能驻值原理和最小势能原理 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 8 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的受力分析内部微元体的受力分析 xd ydo AB CD x y y x x d x x x x d
7、y y x x xx x dd 10 xd yd y xd yxF x dd b yx x x x d)d( o A x xyd xy xy xy )dd y ( 高阶小量高阶小量 yyy y T x x xxx dd)d( 2 1 高阶小量高阶小量 同理同理 yx x yy y x x x x T x x xx x x xxx d)d( d)ddd( 2 1 d 其余类推其余类推 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 9 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的位移分析内部微元体的位移分析 xd yd
8、o 1 2 3 4 )d 2 1 ,d 2 1 (vvuu xx 1 2)d 2 1 d,d 2 1 d(vvvuuu yxyx 3)dd 2 1 ,dd 2 1 (vvvuuu yxyx 4)d 2 1 ,d 2 1 (vvuu yy )d 2 1 d 2 1 ,d 2 1 d 2 1 (vvvuuu yxyx o ) , (vvuu A 虚 位 移 虚 位 移 y y x x y x dd dd 算子符号算子符号 能写出各点能写出各点 的位移吗？的位移吗？ 提示：连续函提示：连续函 数台劳级数展数台劳级数展 开开 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 10 变形体虚位移原理
9、和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算内部微元体的外力功计算 高阶小量高阶小量 yx y u x u uF yx xyxx xy x dd)()( b ) 2 d 2 d (dd )d 2 d (d)d() 2 d (d )d 2 d (d)d() 2 d (dd b y y ux x u uyxF y y ux x u uxy y x x u ux x x uy y u uyx x y y u uyW x xy xyxy x xx 外外 8 y方向的力所做的方向的力所做的 功等于多少？功等于多少？ yxvF yxy v
10、x v y yxy yxy dd )()( b 请大家自行写出内部微元体请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功向外力的总虚功 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 11 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算内部微元体的外力功计算 高阶小量高阶小量 外外 yx y v x v y u x u yxvF xy uF yx W yxyx y xyy x xy x dd ) ( ( dd )()(d bb yxvF xy uF yx W y xyy x xy x dd )()(d bb 刚刚 外
11、外 yx y v x v y u x u W yxyx dd ) ( (d 变变 外外 原形原形 刚性位移刚性位移 变形位移变形位移 变变 外外 刚刚 外外 外外 WWWddd 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 12 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 边界微元体的外力功计算边界微元体的外力功计算 xd yd x y A1 3 2 o x x v vx x u ud 2 1 ,d 2 1 1 y y v x x v vy y u x x u ud 2 1 d 2 1 ,d 2 1 d 2 1 2 y y v
12、 vy y u ud 2 1 ,d 2 1 3 y y v x x v vy y u x x u uod 3 1 d 3 1 ,d 3 1 d 3 1 xd yd y xd y xyd x xyd x yd n s sF xdS sF ydS x y AF xdb AF ydb 设设A点虚位移为点虚位移为 vvuu, 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 13 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 边界微元体的外力功计算边界微元体的外力功计算 ) 2 d 2 d (d) 3 d 3 d (dd ) 2 d (d)
13、 2 d (dd Sb y y ux x u usF y y ux x u uyxF x x u ux y y u uyW xx xyx 外外 高阶小量高阶小量 sv s y s x Fsu s x s y F xyyyxyxx d) d d d d (d) d d d d ( SS 刚刚 外外 外外 刚刚 外外 WW svmlFsumlFW yxyyxyxx dd d)(d)(d SS 不管是否平衡均一样不管是否平衡均一样 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 14 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 变形体
14、的外力总虚功计算变形体的外力总虚功计算 边边 外外 内内 外外 外外 WWWdd 变变 外外 刚刚 外外 WWdd yx x v y u y v x u svmlFumlF yxvF yx uF yx xyyx yxyyxyxx y yxy x xy x dd)( d)( )( dd )()( SS bb 变变 外外 刚刚 外外 外外 WWW 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 15 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算变形体虚位移时外力功计算 矩阵表示变形体的外力总虚功矩阵表示变形体的外力总虚功 变变 外外 刚刚 外外 外外 WWW
15、 S A sdLF AdFAW d)( d)( T S T b 刚刚 外外 变变 变变 外外 WAW A d T 18 17 48 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 16 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的表述虚位移原理的表述 受给定外力作用，变形连续体处于平受给定外力作用，变形连续体处于平 衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移 （具有任意、独立性），外力所做的总虚（具有任意、独立性），外力所做的总虚 功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也功恒等于变形体所接受的总
16、虚变形功，也 即恒满足如下虚功方程即恒满足如下虚功方程 变变外外 WW 变变 外外 WA sdFAdFW A AS d dd T T S T b 26 能说能说 出虚出虚 位移位移 原理原理 和虚和虚 功原功原 理的理的 表述表述 有何有何 区别区别 吗？吗？ 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 17 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的必要性证明虚位移原理的必要性证明 0 b FA SFL0 S 必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。 0d)( d)( T S
17、T b S A sdLF AdFAW 刚刚 外外 变变 变变 外外 刚刚 外外 外外 WWWW 15 变变 外外 WAW A d T 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 18 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的必要性证明虚位移原理的必要性证明 0 u Sd 又又 必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。 u SSSS AA sdLsdF AAdFAW d)d( dd)( TT S TT b外外 AS SA AdAsdL sdFAdFW d)(d) dd) TTT
18、T S T b 外外 15 =0 SA sdFAdFWdd) T S T b外外 变变 WA A d T 格林公式格林公式 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 19 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的充分性证明虚位移原理的充分性证明 充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。 设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。 也即也即 0 b dFA 此时，“体积力”为：此时，“体积力”为： dF b 2 2 d d
19、t d d 变变 外外 WA sdFAddFW A AS d dd)( T T S T b 因为“平衡”，由必要性可得：因为“平衡”，由必要性可得： 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 20 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的充分性证明虚位移原理的充分性证明 充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。 变变 外外 WA sdFAddFW A AS d dd)( T T S T b 因为虚功方程恒成立，由此可得：因为虚功方程恒成立，由此可得： 0d T A A
20、dd 因为虚位移的任意性和独立性，由此可得：因为虚位移的任意性和独立性，由此可得： 0 d 这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 21 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的几点说明虚位移原理的几点说明 1）适用于一切可变形物体（可变性固体、流体）适用于一切可变形物体（可变性固体、流体 等）。等）。 2）虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是）虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是 必要性命题，而后者则是充分必要的命题。必要
21、性命题，而后者则是充分必要的命题。 3）王光远院士与我曾经证明，当不是取微元体）王光远院士与我曾经证明，当不是取微元体 进行研究时，不能证明变形体平衡。进行研究时，不能证明变形体平衡。 4）我们还曾经证明，当虚位移不具有完全任意）我们还曾经证明，当虚位移不具有完全任意 和独立性时，也不能证明变形体平衡。和独立性时，也不能证明变形体平衡。 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 22 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的几点说明虚位移原理的几点说明 5）只需将面积分改成体积分，线积分改成面积）只需将面积分改
22、成体积分，线积分改成面积 分，即可得到三维问题的虚功方程。分，即可得到三维问题的虚功方程。 6）利用虚位移原理做近似分析时，是应用原理）利用虚位移原理做近似分析时，是应用原理 的充分性，认为是用必要性时错误的。的充分性，认为是用必要性时错误的。 7）像虚功原理证明中一样，外力总虚功可分解）像虚功原理证明中一样，外力总虚功可分解 成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格 林公式实质是切割面内力总虚功为零。林公式实质是切割面内力总虚功为零。 8）格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变）格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变 形。形。请大家自行考虑如何从虚功方程出
23、发，请大家自行考虑如何从虚功方程出发， 用平衡和边界条件推得格林公式。用平衡和边界条件推得格林公式。作业作业 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 23 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 一些名词含义的解释一些名词含义的解释 1）任何满足几何方程和位移边界条件的位移，）任何满足几何方程和位移边界条件的位移， 称作可能位移，记作称作可能位移，记作dk。 2）由可能位移通过几何方程求得的应变，称作）由可能位移通过几何方程求得的应变，称作 可能应变，记作可能应变，记作 k。 3）由可能应变通过物理方程求得的应力，称作）由可能应变通过物理方程求得的应力，称作 可能应
24、力，记作可能应力，记作 k。 4）可能应力在可能应变时所作的功，也即所储）可能应力在可能应变时所作的功，也即所储 存的应变能，称作可能应变能，记作存的应变能，称作可能应变能，记作Uk。 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 24 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 一些名词含义的解释一些名词含义的解释 5）从可能位移退回到初始（也称自然）状态时，）从可能位移退回到初始（也称自然）状态时， 外力所作的功，称作外力势能，记作外力所作的功，称作外力势能，记作Pf。 6）可能应变能和外力势能的总和，称作对应可）可能应变能和外力势能的总和，称作对应可 能位移能位移dk的
25、总势能，简称总势能，记作的总势能，简称总势能，记作 k。 7）可能位移和真实位移的偏差，称作位移的变）可能位移和真实位移的偏差，称作位移的变 分，记作分，记作 d 。由此可得应变、应力的变分。由此可得应变、应力的变分。 8）可能位移总势能和真实总势能的偏差，其中）可能位移总势能和真实总势能的偏差，其中 与位移变分成线性关系的部分，称作势能的与位移变分成线性关系的部分，称作势能的 一阶变分，记作一阶变分，记作 。位移变分二次式部分。位移变分二次式部分 称作势能的二阶变分，称作势能的二阶变分，记作记作 2 。余类推。余类推。 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 25 变形体虚位移
26、原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理势能驻值原理和最小势能原理 势能驻值原理的表述：势能驻值原理的表述：某一变形可能状态为真实某一变形可能状态为真实 位移状态的充分必要条件是，相应于此位移状态位移状态的充分必要条件是，相应于此位移状态 的变形体势能取驻值。也即势能对位移的一阶变的变形体势能取驻值。也即势能对位移的一阶变 分恒等于零。分恒等于零。 为了证明上述原理，先证明如下的为了证明上述原理，先证明如下的格林公式：格林公式： V VS V VdASdL d d)(d)( T TT 式中式中 满足平衡条件，满足平衡条件， 和和 间满足几何方间满足几何方 程，程，
27、还满足位移边界条件。还满足位移边界条件。 d d 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 26 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理势能驻值原理和最小势能原理 格林公式格林公式的证明：的证明： 原理可得原理可得满足协调，因此由虚功满足协调，因此由虚功满足平衡，满足平衡， d 变变 外外 WVVdF SdLSdFW VV SS u dd d)(d TT b TT S LFSSSS uS ,上上又又 V VS VS V VdASdL VdFSdL d d)(d)( dd)( T TT T b T 格林公式证毕格林公式证毕 2020/5/10
28、 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 27 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理势能驻值原理和最小势能原理 势能驻值原理势能驻值原理的证明：的证明： VS V SdFVdF Ved 2 k T Sk T b 0 k T kk dd dd)( k 变形体的总势能可表为：变形体的总势能可表为： 式中势能的一阶变分为：式中势能的一阶变分为： SdFVdFV SVV ddd T S T b T 将位移的一阶变分理解为将位移的一阶变分理解为虚位移虚位移，则由变形体虚，则由变形体虚 位移原理的虚功方程可证势能一阶变分为零，能保位移原理的虚功方程可证势能一阶变分为零
29、，能保 证平衡。因此，势能原理结论正确。证平衡。因此，势能原理结论正确。 16 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 28 变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移原理和势能原理 势能驻值原理和最小势能原理势能驻值原理和最小势能原理 最小势能原理：最小势能原理： 线性、弹性变形体的总势能可表为：线性、弹性变形体的总势能可表为： VS V SdFVdF Vd 2 k T Sk T b k T kk dd d 2 1 )( 由此可证明，对于一切位移变分，势能的二阶变由此可证明，对于一切位移变分，势能的二阶变 分恒大于等于零（仅在位移变分为零时才等于零）。分恒大于等于零（仅在位移变分为
30、零时才等于零）。 因此势能取最小值。因此势能取最小值。 从势能原理证明可见，它和虚位移原理等价。都从势能原理证明可见，它和虚位移原理等价。都 等价于平衡条件等价于平衡条件. 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 29 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法里兹法 里兹法基本思路里兹法基本思路: 选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”，选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”， 将一个无限自由度的位移设为若干基函数的线性将一个无限自由度的位移设为若干基函数的线性 组合，组合， 从而把无限自由度化为有限个自由度问题。从而把无限自由度化为有限个自由度问题。 以
31、所设位移作为可能位移，以所设位移作为可能位移， 令体系的总势能一令体系的总势能一 阶变分恒等于零使系统近似平衡，阶变分恒等于零使系统近似平衡， 从而求得组合从而求得组合 系数。系数。 代回所设位移场，可进一步确定任意点的代回所设位移场，可进一步确定任意点的 位移，利用几何、物理方程，还可求得应变和应位移，利用几何、物理方程，还可求得应变和应 力等。力等。 上述近似方法即为上述近似方法即为里兹法里兹法。 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 30 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法里兹法 里兹法的解题步骤里兹法的解题步骤: 1）选取满足位移边界条件的函数
32、作为“基函数”）选取满足位移边界条件的函数作为“基函数” dS iu : 2）设近似位移场为基函数的线性组合）设近似位移场为基函数的线性组合 dCV i i i : 3）将所设位移场代入势能表达式，从而将势能）将所设位移场代入势能表达式，从而将势能 表为组合系数的函数表为组合系数的函数 4）令势能一阶变分（对组合系数偏导）为零，）令势能一阶变分（对组合系数偏导）为零， 建立求组合系数的线性代数方程组，并求所需量建立求组合系数的线性代数方程组，并求所需量 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 31 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠
33、曲线并计算里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度点挠度 1）选取满足位移边界条件（）选取满足位移边界条件（A点挠点挠 度转角为零）的函数作为“基函数”度转角为零）的函数作为“基函数” 4 3 3 2 2 1 xaxaxav 设设 2）对于所选的挠曲线，其虚位移、虚曲率，可能位）对于所选的挠曲线，其虚位移、虚曲率，可能位 移对应的弯矩等如下所示：移对应的弯矩等如下所示： 4 3 3 2 2 1 xaxaxav 4 3 3 2 2 1 lalalavB )63 ( 2 2 321 xaxaa )63(2 2 321 xaxaaEIM AB ql q lEI,x 2020/5/10 哈尔滨工
34、业大学 土木学院 王焕定 32 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度点挠度 3）外力的总虚功为：）外力的总虚功为： )727580( 60 d 321 3 0 aaa ql vqlxvqW l B 外外 4）总虚变形功为：）总虚变形功为： 33 5 2 4 1 3 23 4 2 3 1 2 013 2 2 2 1 )724520( 5 2 )32(6 )432(2d aalalal EI aalalalEI aalallaEIxMW l 变变 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕
35、定 33 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度点挠度 5）当）当v 仅取一项时，由虚功方程可得：仅取一项时，由虚功方程可得： EI ql v EI ql a B 33 42 1 当当v 仅取二项时，由虚功方程可得：仅取二项时，由虚功方程可得： EI ql v EI ql a EI ql a B 24 11 424 17 4 2 2 1 当当v 取三项时，由虚功方程可得：取三项时，由虚功方程可得： EI ql v EI ql v EI q a EI ql a EI ql a BB 24 11 2
36、4 11 2434 3 44 32 2 1 精精 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 34 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度点挠度 5）当）当v 仅取一项时，弯矩为：仅取一项时，弯矩为： 3 2 2 ql M 当当v 仅取二项时，弯矩为：仅取二项时，弯矩为： 12 17 2 3 12 17 22 ql Mx qlql M A 当当v 取三项时，弯矩为：取三项时，弯矩为： 精确解精确解 2 2 2 3 22 qx qlx ql M 里兹法位移精度高于内力精度里兹法位移精度高
37、于内力精度 当试函数组合包含真解时，当试函数组合包含真解时， 结果为精确解，否则为近似解结果为精确解，否则为近似解 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 35 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力 (各杆各杆EA相同相同) )( 4 2 2 222 vvuu l EA U A B l l D P C 设设D点水平位移为点水平位移为u，竖向位移为，竖向位移为v。在。在 此位移下，体系的应变能此位移下，体系的应变能U为：为： 体系的外力势能为：体系的外力势能为： PvPf
38、体系的总势能为：体系的总势能为： Pvvvuu l EA )( 4 2 2 222 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 36 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 根据势能原理，真实位移应使总势能最小，因此由根据势能原理，真实位移应使总势能最小，因此由 势能对位移的偏导数为零可得势能对位移的偏导数为零可得 0)( 4 2 0)( 4 2 Pvvu l EA v vuu l EA u 由此可解得由此可解得 )( 2 23 )( 2 12 EA Pl v EA Pl u 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 37 虚位移原理和势能原理的应用虚位移原理和势能原理的应用 由位移可求得各杆变形（伸长）如下：由位移可求得各杆变形（伸长）如下： vvuu CDBDAD )( 2 2 由此可解得各杆的轴力为：由此可解得各杆的轴力为： PN PN PN CD BD AD 2 32 2 22 2 12 A B l l D P C 从这个例子你能得到从这个例子你能得到
