1、应力、应变状态分析应力、应变状态分析平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 sin2cos222xyxyx cos2sin22xyx 过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态State of the Stresses of a Given Point 一点的应力状态一点的应力状态Sign convention符号规定：符号规定：Orientation方位方位 以以 x 轴为始边、轴为始边、者为正者为正 Normal stress正应力正应力 拉伸为正；拉伸为正；Shear stress切应力切应力 以企图使微体沿以企图使微体沿
2、旋转者为正旋转者为正sin2cos222xyxyxcos2sin220 xyx1.1.应力圆上一点坐标对应微体一个截应力圆上一点坐标对应微体一个截面应力值面应力值2.2.圆上两点所夹圆心角对应截面法线圆上两点所夹圆心角对应截面法线夹角的两倍夹角的两倍,对应夹角转向相同对应夹角转向相同 主平面主平面 切应力为零的截面切应力为零的截面主应力主应力 321 极值应力与主应力极值应力与主应力平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析应力圆应力圆与任一截面相对与任一截面相对应的点，或位于应的点，或位于应力圆上，或位应力圆上，或位于由应力圆所构于由应力圆所构成的阴影区域内成的阴影区域内三向应力圆三向应力圆1
3、max 231max 3min A A 怎样确定怎样确定A A点处的主应力点处的主应力2 2 32 2 3 请分析图示请分析图示 4 4 种应力状态中，哪几种是等价的种应力状态中，哪几种是等价的 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04545 0 0 0 04545 cos22sin222xyyx sin22-cos222xyyxyx 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析主应变：主应变：1 1 2 2 3 3 使左下直角增大之使左下直角增大之 为正为正 方位角方位角 以以 x 轴为始边轴为始边，为正为正GGGEEEEEEEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxx/x y
4、 z xy yx yz zy zx xz正确应用广义胡克定律某一方向的正应变不仅与这一方向的正确应用广义胡克定律某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关正应力有关广义胡克定律（三向应力状态）广义胡克定律（三向应力状态）主应变与主应力的方位重合主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位 承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚.4545o o 逐一由试验建立失效判据的不可能性；逐一由试验建立失效判
5、据的不可能性；对于相同的失效形式建立失效原因假说的可能性；对于相同的失效形式建立失效原因假说的可能性；利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的失效判据利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的失效判据失效分析与设计准则 建立一般应力状态下强度失效判据与设计准则的思路建立一般应力状态下强度失效判据与设计准则的思路难点难点试验的复杂性试验的复杂性应力状态的多样性应力状态的多样性 单向应力状态单向应力状态下材料的失效判据下材料的失效判据韧性材料韧性材料脆性材料脆性材料 屈服准则屈服准则 最大切应力准则最大切应力准则 形状改变比能准则形状改变比能准则 断裂准则（断裂准则（宏观宏观无裂纹体）无裂纹体）最大拉应
6、力准则最大拉应力准则 最大拉应变准则最大拉应变准则一般应力状态下材料的失效判据一般应力状态下材料的失效判据脆性材料：抵抗断裂的能力 抵抗滑移的能力r.n 第一与第二强度理论，一般适用于脆性材料第三与第四强度理论，一般适用于塑性材料11r 3212 r313 r 213232221421 rctminmax ctminmax 塑性材料：抵抗滑移的能力 抵抗断裂的能力三、三种基本变形的应力公式三、三种基本变形的应力公式组合变形组合变形：由外力引起的变形包括两种或三种基本变形，即由外力引起的变形包括两种或三种基本变形，即拉压、扭转、弯曲拉压、扭转、弯曲的组合。的组合。二、内力计算二、内力计算 分别计
7、算各基本变形内力，画出轴力、扭矩或弯矩图分别计算各基本变形内力，画出轴力、扭矩或弯矩图，确定危险截面确定危险截面一、外力分解：基本变形一、外力分解：基本变形 轴向载荷：向轴线简化轴向载荷：向轴线简化沿轴线力沿轴线力+弯曲力偶弯曲力偶 横向载荷：向剪心简化横向载荷：向剪心简化(对称截面剪心与形心重合对称截面剪心与形心重合)横向力横向力+扭转力偶扭转力偶AN1.1.拉压拉压 (合外力过截面形心合外力过截面形心)2.2.扭转扭转 zzWMyIMmax 矩形AQhybhQbIQSzz234123max223.3.弯曲弯曲(对称弯曲对称弯曲)tIQSzz薄壁：薄壁：pITpWTmaxtT2圆圆(管管)闭
8、口薄壁闭口薄壁 四、强度计算四、强度计算 应力叠加应力叠加确定危险点确定危险点求相当应力求相当应力 1.1.Combined bending and axial load 弯拉弯拉(压压)组合组合zWMANmaxmax 2.2.Combined bending and torsion弯扭组合弯扭组合 适用范围：变形与横截面高度相比可忽略适用范围：变形与横截面高度相比可忽略3.3.Combined Bending,Torsion and Tension(Compression)拉弯扭组合拉弯扭组合(e(eccentric axial loadccentric axial load）强度条件强度条
9、件(塑性材料塑性材料,圆截面圆截面)强度条件（塑性材料强度条件（塑性材料,圆截面）圆截面）22zyMMM BC段段 图图 凹曲线凹曲线MWM max 承压薄壁圆筒应力分析承压薄壁圆筒应力分析Axial stress 轴向应力Circumferential stress周向应力一一般般忽忽略略不不计计 20/r D 2t1pD 42pDx 03 Failure Criteria 强度条件Ductile materials塑性材料：塑性材料：Brittle materials脆性材料：脆性材料：组合变形组合变形?静不定结构？静不定结构？1 2 21 7.0 压杆稳定问题压杆稳定问题细长杆：细长杆：
10、欧拉公式一般表达式欧拉公式一般表达式（1 1）球形铰：弯曲与）球形铰：弯曲与I Iminmin方向一致。方向一致。（2）柱形铰：弯曲与）柱形铰：弯曲与(I/(I/2 2)minmin方向一致方向一致使系统微偏离使系统微偏离,考察其力学行为考察其力学行为分析方法分析方法:静力法静力法刚杆弹簧系统刚杆弹簧系统平衡的三种类型平衡的三种类型 三类不同的压杆三类不同的压杆 细长杆细长杆发生弹性屈曲发生弹性屈曲(p)AIi 中长杆中长杆发生弹塑性屈曲发生弹塑性屈曲(s p)粗短粗短杆杆发生屈服发生屈服(s)il slenderness ratio 柔度柔度ppE 采用强度理论校核强度采用强度理论校核强度)
11、(p0cr ba压杆稳定条件压杆稳定条件 ststcrFnFF ststcr n能量法一、教学要求和重点1、弹性杆件外力功和变形能的计算；弹性体的功能原理；2、功的互等定理与位移互等定理 3、余能与卡氏第二定理4、变形体虚功原理与单位载荷法的推证过程。利用单位载荷法计算梁，桁架与刚架的位移，包括相对位移。5、了解冲击变形，冲击载荷与冲击应力的简化计算方法。(一).基本概念1外力功弹性体在外力作用下发生变形。在变形过程中，外力所作之功。二、基本内容 本章介绍利用功、能概念分析弹性构件位移的基本原理和方法；Ff d WAreaD D D D 0 dfW线性弹性体载荷与相应位移保持正比关系的弹性体2
12、D DFW 克拉比隆定理 niiiFW12D D功功与加载次序无关与加载次序无关Principle of superposition？niiF,F,F，21D DD D fF kf 2D DFW D D广义位移广义位移 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等广义载荷广义载荷 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等2应变能弹性体因变形而贮存的能量。Fi广义载荷，广义载荷，D D i相应相应广义位移广义位移 niiiFW12D D lllEIxxMGIxxTEAxxFV 2 p2 2N2)d(2)d(2)d
13、(lzzlyyllEIxxMEIxxMGIxxTEAxxFV 2 2 t2 2N2)d(2)d(2)d(2)d(（圆截面杆或杆系）（圆截面杆或杆系）（非圆截面杆或杆系）（非圆截面杆或杆系）niiiiiAElFV12N21（桁架）（桁架）相应位移相应位移弹性体上在载荷作用点沿载荷作用方向的位移弹性体上在载荷作用点沿载荷作用方向的位移功能原理:根据能量守恒定律，如果所加载荷为静载荷时，则贮存在弹性体内的应变能数值上应等于载荷所作之功3、功的互等定理与位移互等定理 对于线性弹性体，对于线性弹性体，第第一组外力一组外力 Fi 在第二组外力引起在第二组外力引起的位移的位移 D DiP 上所作的功上所作的
14、功，等于，等于第二组外力第二组外力 Pj在第在第一一组外组外力引起的位移力引起的位移 D DjF上所作的功上所作的功 mjjjniiiPF1F1PD DD D 当当F1与与F2的数值相等时，的数值相等时，F2在点在点1沿沿F1方位引起方位引起的位移的位移D D12，等于等于F1在点在点2沿沿F2方位引起的位移方位引起的位移D D21位移互等定理功的互等定理对于线性弹性体，利用外力功与加载次序无关的概念，可以建立功的互等定理。4、余能与卡氏第二定理 FfW0 cd D D 0 dfWD DFWW c弹性体的余能弹性体的余能Vc数数 值上值上等于余功：等于余功：ccWV Complementary
15、 Work 余功余功Work功功 ckkFV D D 弹性体的余能对载荷弹性体的余能对载荷 F Fk k 的偏导数，等于该载的偏导数，等于该载荷的相应位移荷的相应位移 D Dk 克罗第恩格塞定理克罗第恩格塞定理cVV kkFV D D 线性弹性体的应变能，对载荷线性弹性体的应变能，对载荷 F Fk k 的偏导数，等于该载荷的相应位的偏导数，等于该载荷的相应位移移 D D k 卡氏（第二）定理卡氏（第二）定理对于线性弹性体：对于线性弹性体：(早于克罗第早于克罗第恩格塞定理恩格塞定理)xFMEIxMxFMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFkzlzzkylyyklklkd)(d)(d)()(d
16、)()(tN N FaFaABC利用卡氏定理求自由端利用卡氏定理求自由端A A的挠度的挠度:注意区分多个力具有相同值的情况计算计算q qA附加力法附加力法5、变形体虚功原理与外力保持平衡并满足静力边界条件的内力，称为与外力保持平衡并满足静力边界条件的内力，称为静力可能内力静力可能内力或或可能内力可能内力（静定：真实的内力；静不静定：真实的内力；静不定：满足协调条件为真实内力）定：满足协调条件为真实内力）满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，称为称为几何可能位移几何可能位移或或虚位移虚位移，相应之变形称为，相应之变形称为可能变形可能变形或或虚
17、变形虚变形（可以是真实位移，也可以是虚拟位移，可以（可以是真实位移，也可以是虚拟位移，可以是该点作用力产生，也可以是其他点作用的力产生）是该点作用力产生，也可以是其他点作用的力产生）作用在所有微段上的可能内作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功力在虚变形上作之总虚功内虚功内虚功 lMTFW Ni*)d*d*d(q q lzzyyMMTFW Ni)*d*d*d*d(q qq q 外力在可能位移上所作之总虚功外力在可能位移上所作之总虚功外虚功外虚功We变形体虚功原理：变形体虚功原理：处于平衡状态的变形体，外力在处于平衡状态的变形体，外力在可能位移上所作外虚功可能位移上所作外虚功 We，等于
18、可能内力在虚变形，等于可能内力在虚变形上所作内虚功上所作内虚功 Wi，即，即 We Wi6、单位载荷法 q q q q lzzyyxMxMxTxF N)d()d()d()d(D D q q q q lzzyyxMxMxTxF N)d()d()d()d(1D D线位移，线位移，加单位力加单位力D D角位移，角位移，加单位力偶加单位力偶D D相对相对线位移，线位移，加一对相等相反单位力加一对相等相反单位力D D相对相对角位移，角位移，加一对相等相反单位力偶加一对相等相反单位力偶D D 广义位移广义位移，施加相应施加相应单位广义载荷单位广义载荷 lzzzyyyxEIxMxMxEIxMxMxGIxTx
19、TxEAxFxF tNNd)()(d)()(d)()(d)()(D D线弹性体：线弹性体：注意注意:在建立在建立 和和M(x)的表达式时，梁段的划分和坐标的表达式时，梁段的划分和坐标x的的选取应完全一致选取应完全一致;当所得位移为正，则位移与所加单位载荷当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向，同向，为负，则说明两者反向。为负，则说明两者反向。)(xM7冲击：物体以一定速度作用在构件上，而且在极短的时间内，物体速度变为零，这时，物体与构件之间产生很大的相互作用力。假设假设 冲击物为刚体冲击物为刚体 冲击物与被冲击物冲击物与被冲击物接触后，始终保持接触接触后，始终保持接触 被冲击物的质量忽略不计
20、被冲击物的质量忽略不计(简化为无质量弹簧，不计弹性波简化为无质量弹簧，不计弹性波)忽略局部塑性变形忽略局部塑性变形，冲击过程中的能量损失忽略不计，冲击过程中的能量损失忽略不计分析分析冲击变形最大时，冲击物的速度为零冲击变形最大时，冲击物的速度为零pVE 冲击物的势能转化为被冲击物的应变能冲击物的势能转化为被冲击物的应变能 冲击变形最大，冲击变形最大，被冲击物的应力也最大被冲击物的应力也最大:静变形静变形static deformationstD:maximum dynamic deformationdD ststd211D DD DD Dh std211D DhPP重量为重量为P、速度为速度为
21、v 的物体的物体冲击梁冲击梁端端旋转轴在旋转轴在A端突然端突然被刹停被刹停线性弹性体受到自由落体的垂线性弹性体受到自由落体的垂直冲击时，受冲击点的最大冲直冲击时，受冲击点的最大冲击位移和相应的冲击载荷：击位移和相应的冲击载荷：例：图示相同梁例：图示相同梁AB、CD，自由端间距，自由端间距=Ql3/3EI，当重为当重为Q的物体突然加于的物体突然加于AB梁的梁的B点时，求点时，求CD梁梁C点点的挠度的挠度f。解：解：重物势能损失：重物势能损失：()EQf 梁的应变能：梁的应变能：2211()22ABCDUkfkf ABCDQll33BPlyEI 33ABEIkl 33CDEIkl 222()22f
22、ff 22f 33QlEI Qk Qk 静不定问题静不定问题(1)判断结构的静不定度；(2)选择静定基，解除静不定结构的多余约束，而以相应的未知力代替其作用；(3)建立变形协调条件，即静定基在多余约束处应满足的变形条件；(4)用单位载荷法计算静定墓上在多余约束处的相应位移；(5)建立补充方程，将求得的多余约束处的位移代入变形协调条件，即用载荷和未知力表示的变形条件；(6)由补充方程求解未知力；在静定基上计算原静不定结构的内力，应力和位移。内内2度度F桁架静不定度桁架静不定度 =m-(2n 3)m:杆数；杆数；n：节点数节点数1（内）（内）1（外）（外）2 度度F3（内）（内）3（外）（外）6
23、度度圆环在水平方向有一自由度圆环在水平方向有一自由度梁：外梁：外3 3环：内环：内3 3梁环接触：梁环接触：1 13+3+1=7 度度F圆环圆环F两度内力静不定两度内力静不定六度内力静不定六度内力静不定四度内力静不定四度内力静不定封闭框架三内，加一铰减一，加一封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一刚接杆加三，加一铰支杆加一对对称称结结构构对称载对称载荷荷反对称反对称载荷载荷内力、变形内力、变形对称对称内力、变形内力、变形反对称反对称000q qD DSF(对称面上对称面上无集中力无集中力)FsMPP000fMFN(对称面上对称面上无集中力偶、无集中力偶、集中力集中力)PPFF
24、MMF 2F2F2F2FFFABRFF上下、左右对称，上下、左右对称，剩余一个多余内力剩余一个多余内力弯矩弯矩可以仅用平衡条件求解可以仅用平衡条件求解!两反对称轴两反对称轴 空间结构的对称与反对称问题空间结构的对称与反对称问题MzMyMzMyFNFNxzy具有对称性质的内力分量具有对称性质的内力分量FSzFSyTFSzTFSy具有反对称性质的内力分量具有反对称性质的内力分量对称结构：对称结构：对称载荷作用时对称载荷作用时 对称面上：对称面上：000000SzSyzyFFTqqqqD D 反对称载荷作用时反对称载荷作用时 对称面上：对称面上：000000zyNzyMMFff 忽略不计忽略不计 轴线平面内的内力分量轴线平面内的内力分量、面面内变形、内变形、支反力支反力平面刚架空间受力平面刚架空间受力疲劳与断裂：疲劳与断裂：基本概念，如基本概念，如 疲劳破坏的特点疲劳破坏的特点 循环应力循环应力 SNSN曲线和材料的疲劳极限、曲线和材料的疲劳极限、影响构件疲劳极限的主要因素影响构件疲劳极限的主要因素应力比应力比（循环特征）（循环特征）简单弹塑性问题：简单弹塑性问题：基本概念，如塑性铰基本概念，如塑性铰
