1、第二十六章第二十六章 二次函数二次函数创设情境，导入新课 （2 2）你们知道：投篮时，）你们知道：投篮时，篮球运动的篮球运动的路线是什么曲线？路线是什么曲线？怎样计算篮球达到怎样计算篮球达到最高点时的高度？最高点时的高度？（1 1）你们喜欢打篮球吗？你们喜欢打篮球吗？问题：问题：二次函数讨论与思考：讨论与思考：1 1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x x，表面积，表面积为为y y，显然对于，显然对于x x的每一个值，的每一个值，y y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y y是是x x的函数，的函数，他们的具体关系是可以表示为什么
2、？他们的具体关系是可以表示为什么？2 2、多边形的对角线数、多边形的对角线数d d与边数与边数n n有什么关系？有什么关系？3 3、某工厂一种产品现在的年产量是、某工厂一种产品现在的年产量是2020件，计划今后两年增加产量。件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加如果每年都比上一年的产量增加x x倍，那么两年后这种产品的产量倍，那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x的值而确定，的值而确定，y y与与x x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？y=6xy=6x2 2d=n(n-3)d=n(n-3)1 12 2d=nd=n2 2-n-n1 12 23
3、32 2即即y=20(1+x)y=20(1+x)2 2即即y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20 xy y=6=6x x2 2d d=n n2 2-n n1 12 23 32 2y y=20=20 x x2 2+40+40 x x+20+20自变量函数函数解析式y yy yd dx xx xn n 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！二次函数的定义：二次函数的定义：注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自变量，是自变量，axax2 2是二次项，是二次项，a a是是二次项系数二次项
4、系数 bxbx是一次项，是一次项，b b是一次项系数是一次项系数 c c是常数项。是常数项。一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，是常数，a 0a 0）的函数，叫做二次函数。的函数，叫做二次函数。2 2、函数的右边最高次数为函数的右边最高次数为2 2,可以没有一次项和常数项可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项但不能没有二次项.)(0 ,为常数为常数kkxky=一次函数一次函数正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，是常数，a 0a 0）y=kx
5、y=kx（k k是常数，是常数，k 0k 0）y=kx+by=kx+b（k,bk,b是常数，是常数，k 0k 0）这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。1.1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？(1)(1)y=3(x-1)y=3(x-1)+1+1(3)s=3-2t(3)s=3-2t(5)y=(x+3)(5)y=(x+3)-x-x(6)v=10r(6)v=10r2 21 1(4)y=(4)y=x-xx-x（是）（是）（否）（否）（是）（是）（否）（否）（否）（否）（是）（是）(7)y=x(7)y=x+x+x+25+25
6、(8)y=2(8)y=2+2x+2x（否）（否）（否）（否）1 1y=x+y=x+x x(2)(2)1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数?抓住机遇抓住机遇 展示自我展示自我2222)1()4()1()3(1)2()1(xxyxxyxyxy=是是不是不是是是不是不是先化简后判断先化简后判断、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？2)1()2)(2()5(=xxxyxxy1)2(2=32)4(2=xxy 23)1(2=xy()()()否 是否否()3)(2()3(=xxy是()知识运用知识运用 、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？(1)
7、y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)例例1 1、判断：下列函数是否为二次函数，、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数如果是，指出其中常数a.b.ca.b.c的值的值.(1)y(1)y1-(2)y1-(2)yx(xx(x5)5)(3)y(3)y x x2 2 x x1 1 (4)y(4)y3x(23x(2x)x)3x3x2 2 (5)y(5)y (6)y(6)y(7)y(7)y x x4 42x2x2 21 (8)y1 (8)yaxax2 2bxbxc c223x212312312
8、xx652 xx例1:关于x的函数 是二次函数,求m的值.mmxmy=2)1(解:由题意可得0122=mmm时，函数为二次函数。当解得，22=mm注意注意:二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次项系数不能为零练习、m取何值时，函数是取何值时，函数是y=(m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？122 mm知识运用知识运用练习练习2、请举、请举1个符合以下条件的个符合以下条件的y关于关于x的的二次函数的例子二次函数的例子练一练练一练:（1）二次项系数是一次项系数的）二次项系数是一次项系数的2倍，倍，常数项为任意值。常数项为任意值。（2）二次项系数为）二次项系数为-5，一次项系
9、数为，一次项系数为常数项的常数项的3倍。倍。展示才智展示才智 3、若函数、若函数 为二次函数，求为二次函数，求m的值。的值。mm221)x(my=解：因为该函数为二次函数，解：因为该函数为二次函数，则则=)2(01)1(222mmm解（解（1）得：）得：m=2或或-1解（解（2）得：）得：11mm且所以所以m=2满足什么条件时当，是常数其中函数cb,a,)cb,a,c(bxaxy2=01a）解：（0,0)2(=ba0,0,0)3(=cba(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)它是正比例函数？它是正比例函数？(1)它是二次函数它是二次函数?超级链接超级链接 如果函数如果函数y=(k-3)+kx
10、+1y=(k-3)+kx+1是二次函是二次函数数,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k-3 3k k+2 2x x敢于创新敢于创新0如果函数如果函数y=+kx+1y=+kx+1是二次函数是二次函数,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k-3 3k k+2 2x x0,3知识的升华已知函数已知函数 (1)k(1)k为何值时，为何值时，y y是是x x的一次函数？的一次函数？(2)k(2)k为何值时，为何值时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？解解（1 1）根据题意得）根据题意得 k=1k=1时时,y,y是是x x的一次函数。的一次函数。=002kkk22()2yk
11、k xkxk=当时数2 2(2)k-k(2)k-k0,即0,即kk0且0且kk1 1y是y是x的x的二二次次函函例例2 2、当当m m为何值时，函数为何值时，函数y y(m(m2)x2)xm m2 22 24x4x5 5是是x x的二次函数的二次函数m-20且且m2-2=2m2 m=2 m=-2练习：练习：y y(m(m3)x3)xm m2 2m m4 4(m(m2)x2)x3 3，当，当m m为何值为何值时，时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？m=2小试牛刀小试牛刀 圆的半径是圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm.（
12、1 1）写出）写出y y与与x x之间的函数关系表之间的函数关系表达式；达式；（2 2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm,2cm1cm,2cm时时,圆的面积增加圆的面积增加多少？多少？2cm2cm在种树问题中在种树问题中,种种多少棵橙子树多少棵橙子树,可可以使果园橙子的以使果园橙子的总产量最多？总产量最多？x-567891011 12 131415-y-6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究问题再探究y=-5xy=-5x+100 x+60000,+100 x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗
13、？你能根据表格中的数据作出猜测吗？6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗？你发现了吗？回味无穷回味无穷定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0
14、,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）
15、菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系（2）由题意得）由题意得 其中其中y是是x的二次函数；的二次函数；（3）由题意得）由题意得 其中其中S是是x的的 二次函数二次函数)0(42=xxy解解:（1）由题意得）由题意得 其中其中S是是a的二次函数的二次函数；)0(62=aaS)260(1321)26(212=xxxxxS例例3:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这求这个二次函数的解析试个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求
16、的二次函数,2cbxaxy=724410=cbacbacba5,3,2=cba解得，5322=xxy所求的二次函数是待定系数法待定系数法4.4.已知二次函数已知二次函数y=xy=x+px+q,+px+q,当当x=1x=1时时,函数函数值为值为4,4,当当x=2x=2时时,函数值为函数值为-5,-5,求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式.2,yxpxq=解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得：14425pqpq=12,15.q=解得，p21215yxx=所求的二次函数是牛刀小试5.已知二次函数已知二次函数4)1(22=xy当当x=1时时,函数函数y有最小值为有最小值为4x
17、取任意实数取任意实数（1 1）你能说出此函数的最小值吗？）你能说出此函数的最小值吗？（2 2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？）你能说出这里自变量能取哪些值呢？开动脑筋开动脑筋 注意注意:当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时,还必还必须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围.例如：圆的面积例如：圆的面积 y()y()与圆的半径与圆的半径 x x（cmcm)的函数关系是的函数关系是 2cmy=x2其中自变量其中自变量x能取哪些值呢？能取哪些值呢？0 x问题问题：是否任何情况下二次函数中的自变量是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？的取值
18、范围都是任意实数呢？试一试:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?)220()1(xxy=解：xx2022=(ox0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同顶点都是原点(0,0)22xy=只是开口大小不同 在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象，会是什么样?探究探究t x()=xxu x()=2xx1.列表：2.描点：3.连线：xy=2x2-201-12y=x2y=x212顶点坐标例2.画出函数y=x2、y=2x2、y=x2的图象：12y=x2y=2x2y=x212
19、a0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同只是开口大小不同顶点都是原点(0,0)探究f1x()=-2xxg1x()=-12xx1.列表：2.描点：3.连线：xy=-2x2-201-12y=-x2y=-x212顶点坐标例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-x2的图象：12y=-x2y=-2x2y=-x212y=x2y=2x2y=x212a 0)y=ax2(a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时时,在对称轴在对称轴的左侧的左侧,y随着随着x的增大的增大而减小；在对称轴
20、右而减小；在对称轴右侧侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.当当x=0时函数时函数y的值的值最小最小.当当a0时，抛时，抛物线物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶除顶点外点外),它的开它的开口向上口向上,并且向并且向上无限伸展；上无限伸展；当当a0)y=ax2(a0)y=ax2+c(a0时时抛物线抛物线,与与Y轴交于正半轴轴交于正半轴当当c0时时,抛物线与抛物线与Y轴交于负半轴轴交于负半轴.当当c0时时,.抛物线抛物线,与与Y轴交于正半轴轴交于正半轴向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为c.当当x=0时时,最大值为最大值为c.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大
21、而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：caxy=2caxy=2二次函数二次函数y=ax+c与与=ax的关系的关系w1.相同点相同点:(1)图像都是抛物线图像都是抛物线,形状相同形状相同,开口方向相同开口方向相同.w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形,对称轴都是对称轴都是y轴轴.w(3)都有最都有最(大或小大或小)值值.(4)a0时时,开口向上开口向上,在在y轴左侧轴左侧,y都随都随x
22、的增大而减小的增大而减小,在在y轴右侧轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时向上平移时向上平移;当当c0k0a0c0c0(0,c)1、抛物线、抛物线 向上平移向上平移3个单位，个单位，得到抛物线得到抛物线 ；2、抛物线、抛物线 向向 平移平移 个个单位，得到抛物线单位，得到抛物线 。231xy=422=xy322=xy九年级数学(下)第二十六章 二次函数n二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质在同一平面直角坐标系中，画出二次函数在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 和和 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点。比较一下它们的值之
23、间有何内在联系。和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。2)1(21=xy2)1(21=xy先列表：先列表：x-4-3-2-1012342)1(21=xy2)1(21=xy2102129222921021292229x-4-3-2-1012342)1(21=xy221xy=2)1(21=xy210212922292102129222921021292229yxo1可以看出，抛物线可以看出，抛物线 的开口方向的开口方向_、对称轴是经、对称轴是经过点过点(1，0)且与且与x轴垂直的直轴垂直的直线，我们把它记作线，我们把它记作 ，顶点，顶点是是_。2)1(21=xy2)1(21=xy向下向下(1，
24、0)1=x1=x(1，0)向下向下(1，0)1 1-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-7-7-8-8-9-9-8-8-6-6-4-4-2-22 24 46 68 8yx0212yx=2)1(21=xy2)1(21=xy（2）抛物线）抛物线 与抛物线与抛物线 有什么位置关系？有什么位置关系？221xy=22)1(21,)1(21=xyxy把抛物线把抛物线 向左平移向左平移1个单位个单位，就得到抛物线，就得到抛物线把抛物线把抛物线 向右平移向右平移1个单位个单位，就得到抛物线，就得到抛物线221xy=2)1(21=xy221xy=2)1(21=xy（3）它们的）它们的位置由什么位置由
25、什么决定的？决定的？用平移观点看函数：用平移观点看函数：抛物线抛物线 可以看作是由可以看作是由抛物线抛物线 平移得到。平移得到。xyo2)(hxay=2axy=(1)当当h0时，向右平移时，向右平移 个单位；个单位；h(2)当当h0时时,在对称轴在对称轴(x=h)的左侧的左侧,y随着随着x的的增大而减小增大而减小;在对称轴在对称轴(x=h)右侧右侧,y随着随着x的增的增大而增大大而增大;当当x=h时函数时函数y的值最小的值最小(是是0).当当a0时时,抛抛物线物线y=a(x-h)2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它它的开口向上的开口向上,并并且向上无限伸且向上无限伸展展;当当a0时
26、时,向右移向右移 个单个单位位;当当h0a0h0h0(,0)说出下列二次说出下列二次 函数的开口方向、函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对称轴、顶点坐标及增减性 (1)y=2(x+3)2 (2)y=-3(x-1)2 (3)y=5(x+2)2 (4)y=-(x-6)2 (5)y=7(x-8)2向上向上,x=-3,(-3,0)向下向下,x=1,(1,0)向上向上,x=-2,(-2,0)向下向下,x=6,(6,0)向上向上,x=8,(8,0)1.函数函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是的图象的对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，当，当x=时，时，y有最有最 值值为为 。2.把二次函数把二次
27、函数y=-3x2往左平移往左平移2个单位，再与个单位，再与x轴轴对称后，所形成的二次函数的解析式为对称后，所形成的二次函数的解析式为 。3、已知抛物线、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（的顶点是（-3，0）它是由）它是由抛物线抛物线y=-4x2平移得到的，则平移得到的，则a=，h=。4、把抛物线、把抛物线y=(x+1)2向向 平移平移 个个 单位后，单位后，得到抛物线得到抛物线y=(x-3)25、把抛物线、把抛物线y=x2+mx+n向左平移向左平移4个单位，得到抛个单位，得到抛物线物线y=(x-1)2,则则m=,n=.二次函数二次函数y=a(x-h)2的性质的性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标
28、与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值开口大小开口大小抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2(a0a0k0k0(0,k)在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小ya(x-)2a0a0h0h0(,0)Oxy1 2 3 4 5123455 4 3 2 1 5 4 3 2 1 231xy=（0,3）（0,-3）如何由如何由 2x31y=的图象得到的图象得到 3312=xy3312=xy的图象。的图象。上下上下平移平移、3312=xy3312=xyOxy1 2
29、3 4 5123455 4 3 2 1 5 4 3 2 1 231xy=()2231=xy()2231=xyx=-2(-2,0)(2,0)x=2如何由如何由 231xy=的图象得到的图象得到 2)2(31=xy2)2(31=xy的图象。的图象。、左右左右平移平移k0k0a0时时,开口向上开口向上;当当a0a0)y=a(x-h)2+k(a0时时,向向左左平移平移h个单位个单位当当h0时时,向向上上平移平移c个单位个单位当当c0)y=ax2(a0)y=a(x+h)2(a0时时,向向左左平移平移h个单位个单位当当h0时时,向向上上平移平移k个单位个单位当当k0)y=a(x+h)2+k(a0)（-h-
30、h，k k）（-h，k）直线直线x=-h直线直线x=-h向上向上向下向下当当x=-h时时,最小值为最小值为k.当当x=-h时时,最大值为最大值为k.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而减小而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随随着着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随随着着x的增大而减小的增大而减小.指出下列函数图象的开口方向指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标.()()53212=xy()()215.02=xy()14332=xy()()52242=x
31、y()()245.052=xy()()23436=xy开口开口 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标向上向上直线直线x=3(3,5)向下向下直线直线x=1(1,0)向下向下直线直线x=0(0,1)向上向上直线直线x=2(2,5)向上向上直线直线x=4(4,2)向下向下直线直线x=3(3,0)1抛物线的上下平移抛物线的上下平移（1）把二次函数）把二次函数的图像，的图像，沿沿y轴向上平移个单位，轴向上平移个单位，得到得到_的图像；的图像；（2）把二次函数）把二次函数_的图像，的图像，沿沿y轴向下平移轴向下平移2个单位，得到个单位，得到的图像的图像.考考你学的怎么样考考你学的怎么样：y=(x+1)2+3y
32、=x2+32抛物线的左右平移抛物线的左右平移（1）把二次函数）把二次函数的图像，的图像，沿沿x轴向左平移个单位，轴向左平移个单位，得到得到_的图像；的图像；（2）把二次函数）把二次函数_的图像，的图像，沿沿x轴向右平移轴向右平移2个单位，得到个单位，得到的图像的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+13抛物线的平移：抛物线的平移：（1）把二次函数）把二次函数的图像，的图像，先沿先沿x轴向左平移个单位，轴向左平移个单位，再沿再沿y轴向下平移轴向下平移2个单位，个单位，得到得到_的图像；的图像；（2）把二次函数）把二次函数_的图像，的图像，先沿先沿y轴向下平移轴向下平移2个单位，个单位，再沿再沿
33、x轴向右平移轴向右平移3个单位，个单位，得到得到的图像的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2()2121=xy4.4.抛物线抛物线的顶点坐标是的顶点坐标是_；()2121=xy向上平移向上平移3 3个单位后，个单位后，顶点的坐标是顶点的坐标是_；5.5.抛物线抛物线()31212=xy的对称轴是的对称轴是_.6.6.抛物线抛物线(-1,0)(-1,3)x=-17把二次函数把二次函数的图像的图像,沿沿x轴向轴向 _ 平移平移_个单位，得到图像的对称轴是直个单位，得到图像的对称轴是直线线x=3.8把抛物线把抛物线，先沿，先沿x轴向右轴向右平移平移2个单位，再沿个单位，再沿y轴向下平移轴
34、向下平移1个单位，个单位，得到得到_的图像的图像9把二次函数把二次函数的图像，先沿的图像，先沿x轴轴向左平移个单位，再沿向左平移个单位，再沿y轴向下平移轴向下平移2个单位，得到个单位，得到_ 右右2y=-3x2-1(-3,-2)10.如图所示的抛物线：如图所示的抛物线：当当x=_时，时，y=0；当当x0时，时，y_0；当当x在在 _ 范围内时，范围内时，y0；当当x=_时，时，y有最大值有最大值_.3 0或或-22 x0;解：解：二次函数图象的顶点是二次函数图象的顶点是(1,-1)，设抛物线解析式是设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，其图象过点其图象过点(0,0)，0=a(0-1)2-1，
35、a=1y=(x-1)2-1x20 x0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0 B.0 B.0=0 D.01xyo-15.5.若把抛物线若把抛物线y=x2-2x+1向右平移向右平移2 2个单位个单位,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位,得抛物线得抛物线y=x2+bx+c,则（则（）A.b=2 A.b=2 c=6 B.b=-6,c=6 B.b=-6,c=6 C.b=-8 C.b=-8 c=6 D.b=-8,c=18 D.b=-8,c=18 B B-2ab4a4ac-b26.6.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四的图象经过第二、三、四象限，则二次函数象限，则二
36、次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是的大致图象是 ()()7.7.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 与与一次函数一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+
37、bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=ax2+bx+c(a0)w1.相同点相同点:w(1)形状相同形状相同(图像都是抛物线图像都是抛物线,开口方向相同开口方向相同).w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形.w(3)都有最都有最(大或小大或小)值值.(4)a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,向右向右平移平移;当当 0时向上平移时向上平移;当当 0?y
38、0?y=_（x_1)2 y=-x2 y=_（x_1)2+4 y=-x2+4 xyM(1,4)x=101-133当当x=1或或3时，时，y=0；当当1x0；当当x3 或或x1时，时，y0 平移平移:y=x2+2x+3 =（x_1)2+4,y=-x2+2x+3小结小结：二次函数：二次函数y=ax2+bx+c(a 0）性质性质 开口方向由开口方向由a决定，决定，a0，开口向上；，开口向上；a0，开口向下。，开口向下。对称轴是直线对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（，顶点坐标（-b/2a，4ac-b2/4a)。图象是抛物线。图象是抛物线。当当a 0，y有最小值是有最小值是4ac-b2/4a。当当x-
39、b/2a时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 当当a 0，y有最大值是有最大值是4ac-b2/4a 当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，当当x-b/2a时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 263(1)在抛物线在抛物线y=-x2+2x+3上是否存在点上是否存在点P（点（点C除外），使除外），使ABP面积等于面积等于ABC面积面积?解：假设存在满足条件的点解：假设存在满足条件的点P，则作则作PQx轴轴 SABp=SABC,ABPQ/2=ABOC/2,PQ=CO=3,|y|=3，3=-x2+2x+3,x1=
40、0,x2=2。p(2,3)或或-3=-x2+2x+3，x2_2x-6=0 x=17，p(1+7,-3),p(1-7,-3)xy03B-1C3PQA(2)二次函数二次函数y=-x2+2x+3的顶点为的顶点为M，当，当M在对称轴上移动时，抛物线与在对称轴上移动时，抛物线与 x轴有两轴有两个交点个交点E(x1,0),F(x2,0)(x10)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(ax20,试比较试比较y1与与y2的大小的大小.练习二：一运动员推铅球，铅球经过的练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。路线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析式）求铅球所经过的路线
41、的函数解析式和自变量取值范围。和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)w(1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根吗有根吗?w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐轴交点的坐标标与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+
42、bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?二次函数与一元二次方程 w二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象如图所示的图象如图所示.y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况:w 有两个交点有两个交点,w 有一个交点有一个交点,w 没有交点没有交点.w 当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2
43、+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时,交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根.w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?抛物线与抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？程的知识来说明呢？0=00OXYw(3).(3).二次
44、函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b2-4ac 0b2-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等
45、的实数根有两个相等的实数根b2-4ac=0b2-4ac=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b2-4ac 0b2-4ac 0求二次函数图象求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴的交点轴的交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在在x轴上，轴上，它们的纵坐标为它们的纵坐标为0，令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2；A（1，0），B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例举例:结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的横坐
46、标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2，则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（），），B（）x1，0 x2，0 xOABx1x2y二次函数图象二次函数图象y=ax2+bx+c如果图象的顶点在如果图象的顶点在x轴上，则轴上，则如果图像的顶点在如果图像的顶点在y轴上，则轴上，则二次函数图象二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）图像关于）图像关于y轴对称，则轴对称，则m=（2）
47、图像经过原点，则）图像经过原点，则m=（3）图像与坐标轴只有）图像与坐标轴只有2个交点，则个交点，则m=(1)图象过图象过A(0，1)、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点(1)已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件满足下列条件,求函数的解析式求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象过图象过A(0，1)、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点=122211100222cbacbacba=132cbay=-2x2+3x+1求函数的解析式的几种方法求函数的解析式的几种方法（2）图象顶点是（）图象顶点是（-2，3），且经过点
48、（），且经过点（-1，5）解：解：图象顶点是（图象顶点是（-2，3）设其解析式为设其解析式为y=a（x+2）2+3图象经过点（图象经过点（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3xyo解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个交点轴另一个交点C应应为（为（3，0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a=-1y=-(x-1)(x-3)（3）图象经过图象经过A（1，0）、）、B（0，-3），且对称轴是直线），且对称轴是直线x=21AB-3C324、求满足下列条件的抛物线的解析式：求满足下
49、列条件的抛物线的解析式：经过点经过点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴上轴上截得的线段长为截得的线段长为2解：解：B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或）或C（1，0）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（）（x-x2）当抛物线经过当抛物线经过B、C两点时，两点时，解析式为解析式为y=a（x+1）（）（x+3）又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）当抛物线经过当抛物线经过B、C 两点时，解析式为两点时，解析式为y=a（x+1）（）（x-1
50、）解法同）解法同(1)xyoB-1-31CCa=154y=（x+1）（）（x+3）154例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2)已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。（1）关于顶点中心对称（2）关于原点中心对称函数y=a(x+m)2+k若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k若关
