1、1.2 1.2 基本概念基本概念一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解四、微分方程的解 1.1.显式解与隐式解显式解与隐式解 2.2.通解与特解通解与特解一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 定义定义1:1:把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的 关系式称为微分方程关系式称为微分方程.;2 )1(xdxdy;0 (2)ydxxdy;0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtx
2、ddtxd;)5(zyzxz.0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含.如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程.实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.122 yx附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程，如上面例1中;2 )1(xdxdy;0 (2)ydxxdy;0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txd
3、txddtxd就是常微分方程；如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程偏微分方程，如上面例1中;)5(zyzxz.0 )6(2222uzyxyuxu就是偏微分方程.本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.二、微分方程的阶二、微分方程的阶 定义定义2 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数为微分方程的阶数.在上面例1中 2 )1(xdxdy 是一阶微分方程；0 (2)ydxxdy 是一阶微分方程；是二阶微分方程；0 )3(322xdtdxtxdtxd 是四阶微分方程.si
4、n35 )4(2244txdtxddtxd 例如上面例例如上面例1 1中中 2 )1(xdxdy 是线性微分方程，是线性微分方程，0 (2)ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd 是非线性微分方程是非线性微分方程.而而 0 )3(322xdtdxtxdtxd16522ydxdydxydxeydxdyxdxyd344165222ydxdydxyd16)(5222ydxdydxyd1)sin(522ydxdydxyd线性线性线性线性非线性非线性非线性非线性非线性非线性含有未知函数的导数或微分的等式含有未知函数的导数或微分的等式xdxdyxydxyd220)sin(ttvsv
5、只含一个自变量的微分方程只含一个自变量的微分方程 含两个或两个以上自变量的微分方程含两个或两个以上自变量的微分方程 方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数0),(nndxyddxdyyxF)()()(111xfyxadxydxadxydnnnnn)(,),(xfxai都是已知函数都是已知函数小结：小结：5 xy(隐式解P17）IxxxxxFn,0)(,),(),(,()()(x0),(nndxyddxdyyxFxydxdydxyd522(隐式通解P18）0),(nndxyddxdyyxF（1）),(1nccxy有有n个任意常数个任意常数是（是（1）的）
6、的 解解),(1nccxy ncc,1是独立的是独立的),(1nccxy是方程（是方程（1）的通解的通解1212(1)(1)(1)120nnnnnnccccccccc例例xydxdydxyd6522365613221xececyxx是通解是通解 是解是解 含有两个任意常数含有两个任意常数 两个任意常数独立两个任意常数独立231252312023xxxxxyycceeeyyeecc 例：例：求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且 经过点经过点(0,1)解：解：设所求的曲线为设所求的曲线为y=y(x).)(,(xyxyx在曲线上任取一点在曲线上任取一点(x
7、,y(x).过这一点的切线斜率为过这一点的切线斜率为而向径的斜率为而向径的斜率为 y/x,因此因此,dxdy1xydxdy1：0,1)()(21：2222yxCyx的隐式特解为的隐式特解为过点过点隐式通解为隐式通解为u 定解条件定解条件从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多个解，但在实际问题中，我们需要寻找方程满足个解，但在实际问题中，我们需要寻找方程满足某种条件的解，这种条件就叫做某种条件的解，这种条件就叫做定解条件定解条件定解条件有两种，一种是初始条件，另一种是边定解条件有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。界条件。这两种定解条件都是源于物
8、理等科学的这两种定解条件都是源于物理等科学的需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。我们我们主要涉及初始条件主要涉及初始条件。对于。对于n n阶方程阶方程:初始条件的一般形式为初始条件的一般形式为:0),(nndxyddxdyyxF10)1(1000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy这里这里11,00,nyyyx是已知的是已知的n+1n+1个常数个常数.它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的解称为解称为初值问题的解（又称方程的特解）。初值问题的解（又称方程的特解）。xydxdydxyd65226/1)0(
9、,0)0(yy注：初值问题又称为注：初值问题又称为Cauch问题问题365613221xececyxx已知通解：已知通解：解：从通解中求初值问题的解解：从通解中求初值问题的解36561361012536/10,12/53221xeeyccxx利用初始条件利用初始条件6/1)0(,0)0(yy把把y(0)=0代入：代入：365613221xececyxx得得036521cc61323221xxececy又因又因61613221cc代入代入 得得6/1)0(y00)(),(yxyyxfdxdy)(xy),(00yx),(00yx)(xyxy)(,(xx)(xy)(xy)(,()(xxfdxxd)(
10、,(xxff yxdxdy 1等斜线等斜线极值点与拐点曲线极值点与拐点曲线解曲线解曲线解曲线解曲线图例图例xdxdy2 本节我们介绍了常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、定解条件、初值问题、积分曲线、方向场、等斜线等概念。重点分析了通解的定义，指出通解不一定包通解不一定包含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。对任意常数的独立性作了特别说明。介绍了微分方程的几何解释及如何利用方向场近似画出积分曲线的分布草图。本节的有关概念是后面学习的基础，请重点理解和掌握。复习与思考复习与思考 1微分方程的解是否连续？是否可导?2微分方程的解的定义区间是否可以是一个点？3.函数 中任意常数 是否独立？1由定义微分方程的解可导，从而必连续2不可，否则函数不可导，故不是解 3不独立，因为这两个常数可以合成一个常数，其中
