1、电路分析的任务电路分析的任务-对给定的电路模型进行分析计算对给定的电路模型进行分析计算5V13A1A+-0.550.521第三章中第三章中系统分析法系统分析法-有效的电路分析方法有效的电路分析方法电路的电路的规模日益增大，结构日趋复杂规模日益增大，结构日趋复杂为了便于利用为了便于利用计算机辅助计算机辅助分析分析需研究需研究系统化建立电路方程系统化建立电路方程的方法的方法系统分析法系统分析法-有效的电路分析方法有效的电路分析方法且方程用且方程用矩阵形式矩阵形式表示表示第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式割集割集15.1关联矩
2、阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.2矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系15.3*回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15.4结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式15.5列表法列表法15.7*割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式15.6*预备知识：预备知识：3.3.系统分析法系统分析法结点电压法。结点电压法。1.1.图论的基本概念；图论的基本概念；2.2.数学中矩阵相关知识；数学中矩阵相关知识；l重点重点1.1.割集、割集、独立割集、单树支割集的概念独立割集、单树支割集的概念2.2.关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵4
3、.4.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式3.3.矩阵形式矩阵形式KVL、KCL回顾：图论中的基本概念回顾：图论中的基本概念123456图图G结点结点支路支路回路回路有向图有向图树、树支、连支树、树支、连支移去问题的优先级：移去问题的优先级：结点结点支路支路连通图连通图独立回路独立回路/网孔网孔R4R1R3R2R6uS+_isR5一、割集一、割集Q 的的定义定义：把把Q中全部支路移去，图分成中全部支路移去，图分成两个分离部分两个分离部分；少移少移去其中去其中任何一条任何一条支路，仍构成支路，仍构成连通图连通图。是连通图是连通图G中的一组支路集合中的一组支路集合满足：满足：Q 1，2，3
4、 15-1 割集割集 Q123456456两个两个分离分离最少最少如何确定如何确定割集割集如何确定独立的如何确定独立的割集割集123456支路集合支路集合1，4，6是割集是割集1，2，4，53，4，52，3，5，6是割集是割集是割集是割集不是割集不是割集做闭合面做闭合面与闭合面相切割的支路与闭合面相切割的支路借用借用“树树”属于同一割集的所有支路的电流满足属于同一割集的所有支路的电流满足KCL方程方程割集割集KCL方程方程需要独立的需要独立的KCL方程方程单树支割集又称基本单树支割集又称基本割集割集每个割集中只含有一个树枝每个割集中只含有一个树枝876543219l基本割集组列出的基本割集组列
5、出的KCL方程是一组独立的方程是一组独立的KCL方程方程独立割集数独立割集数树支数树支数=n-1称为单树支割集称为单树支割集是一组独立的割集是一组独立的割集l基本割集组一定是独立割集组，反之不一定。基本割集组一定是独立割集组，反之不一定。G-T-割树支割树支(一次割一条树支一次割一条树支)获得独立割集的方法获得独立割集的方法二、独立二、独立割集（组）割集（组）例：找出一组独立割集例：找出一组独立割集12345678方法：方法：G-T-割树支割树支(一次割一条树支一次割一条树支)1，4，8 Q12，4，5，6 Q23，5，6，8 Q35，7，8 Q4u 用矩阵表示电路方程用矩阵表示电路方程 须知
6、须知KCL、KVL表示的矩阵形式表示的矩阵形式KCL、KVL是电路拓扑约束的表现是电路拓扑约束的表现电路拓扑结构电路拓扑结构有向图有向图支路支路结点、回路、割集结点、回路、割集KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式123456关联矩阵关联矩阵回路矩阵回路矩阵割集矩阵割集矩阵15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、关联矩阵一、关联矩阵用矩阵形式描述结点和支路的关联性质用矩阵形式描述结点和支路的关联性质Aa=n b支路支路b结结点点 n1.1.每一每一行对应一个结点行对应一个结点，每一每一列对应一条支路列对应一条支路。2.2.矩阵矩阵中中的元素的元素ajk 的定义：的定
7、义：列定原则列定原则n个结点、个结点、b条支路条支路ajk=1-10支路支路 k 与与结结点点 j 有关，流出有关，流出结结点；点；支路支路 k 与与结结点点 j 有有关，流入关，流入结结点；点；支路支路 k 与结点与结点 j 无关。无关。1 1特点特点每一列只有两个非零元素；每一列只有两个非零元素；Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1Aa的每一列元素之和为零；的每一列元素之和为零；只有只有n-1行是独立的。行是独立的。A=(n-1)b支路支路b结结点点n-1降阶关联矩阵降阶关联矩阵A
8、 被划去行对应的结点被划去行对应的结点作参考结点作参考结点二、关联矩阵二、关联矩阵A表示的表示的KCL和和KVL1.关联矩阵关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程设设:T 654321 i i i i iii 以结点以结点为参考结点，为参考结点，列写出列写出A36A i=-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 0iiiiii654321iiiiiiiii541643321矩阵形式的矩阵形式的KCL:A i=01 1结点结点支路支路支路电流代数和支路电流代数和支路电流支路电流02.用矩阵用矩阵AT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程设设:T 6
9、54321 u u u u uuu n3n2n1uuuun 321nT011001101100000111nnnuuuuA23n23211n3n1nnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu654321 KVLnTuAu 矩阵形式的1 1结点电压法结点电压法结点法的基本思想三、回路矩阵三、回路矩阵 B 用矩阵形式描述用矩阵形式描述独立回路与支路的关联性质独立回路与支路的关联性质。B=l b支路支路b独独立立回回路路 l列定原则列定原则1.1.每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。2.2.矩阵矩阵B的元素的定义：的元素的定义：bjk1 1 支路支路
10、 k 在回路在回路 j中，且方向一致；中，且方向一致；-1-1 支路支路 k在回路在回路 j中，且方向相反；中，且方向相反；0 支路支路 k不在回路不在回路 j 中。中。例例1 1123取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向若若 给定给定B可以画出对应的有向图。可以画出对应的有向图。0 1 1 0 0 10 0 0 -1 1 -11 -1 0 0 -1 0123B=1 2 3 4 5 6 支支回回Bf若独立回路取基本回路若独立回路取基本回路/单连枝回路单连枝回路,则可得则可得 到特殊的到特殊的基本回路矩阵基本回路矩阵。支路排列顺序为先连支后树支，支路排列顺序为先连支后树支，回
11、路顺序与连支顺序对应一致。回路顺序与连支顺序对应一致。连支电流方向为回路电流方向；连支电流方向为回路电流方向；要求要求例：例：1231123Bf=1 3 4 2 5 6 支支回回1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1=1 Bt 基本回路矩阵基本回路矩阵Bf 独立回路选为基本回路；独立回路选为基本回路；选选 2、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、3、4。四、基本割集矩阵四、基本割集矩阵Qf描述：基本割集与支路相关联的数学模型描述：基本割集与支路相关联的数学模型Q=(n-1)b支路支路b割割集集列写原则列写原则1.每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割
12、集,每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。2.矩阵矩阵Q中元素的定义：中元素的定义：qjk1 1 支路支路 k在割集在割集 j中，且与中，且与割集方向割集方向一致一致；-1-1 支路支路 k 在割集在割集 j中中,且与割集方向相反；且与割集方向相反；0 支路支路 k不在割集不在割集 j 中。中。1 1Q要求要求割集方向为树支方向；割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf1选选 1、2、3支路支路为树为树Q1:1,4,5 Q2:2,5,6 Q3:3,4,6Qf=1 2 3 4 5 6 支
13、路支路割集割集Q1Q2Q31 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -1QABKCLKVLA i=0 uuAnTB T il =iBu=0Qfi=0QfT ut=u习：习：15-5 15-5 设某网络图的关联矩阵为设某网络图的关联矩阵为010110000101101110001A（1 1）画出对应的电路的图。）画出对应的电路的图。（2 2）取）取1,2,31,2,3支路为树支，写出基本割集矩阵。支路为树支，写出基本割集矩阵。1.割集割集Q分离；两个部分；分离；两个部分；最小支路集合最小支路集合一些支路的集合一些支路的集合2.基本割集、单树支割集基本割集、单树支割集
14、G-T-割树支割树支(一次割一条树支一次割一条树支)n-1个3.关联矩阵关联矩阵A、回路矩阵回路矩阵B、割集矩阵、割集矩阵Q数学模型的意义；列写原则数学模型的意义；列写原则 A i=0 uuAnT要点回顾要点回顾：4.由关联矩阵表示的由关联矩阵表示的KCL、KVL矩阵形式矩阵形式1 115-5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式一、回顾一、回顾:第三章推得结点电压方程的过程第三章推得结点电压方程的过程1.选定一个参考结点，得到选定一个参考结点，得到n-1个结点电压个结点电压,2.列列n-1个结点的个结点的KCL方程方程;3.利用支路利用支路VCR将支路电流用支路电压将支路电流用支路电
15、压(结点电压结点电压)表示。表示。结点电压方程的矩阵形式？结点电压方程的矩阵形式？uuAnTA i=0?Next支路电压和电流关系支路电压和电流关系(VCR)的矩阵形式的矩阵形式用结点电压表示支路电压用结点电压表示支路电压（包含了（包含了KVL）;二、复合支路二、复合支路/标准支路标准支路要求要求支路中支路中独立电压源独立电压源电压和电压和独立电流源独立电流源电流的电流的方向方向与支路方向与支路方向相反相反；受控电流源受控电流源与支路方向与支路方向相同相同；支路电压与支路电流取支路电压与支路电流取关联参考方向关联参考方向；支路中阻抗或导纳支路中阻抗或导纳只能只能是是单一单一的电阻、电容、的电阻
16、、电容、电感，而不能是它们的组合。电感，而不能是它们的组合。dkISk.UZk(Yk)k.Uk.ISk.Iek.I+KZ即Kkkj1jCLR复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，允许缺少某些元件。件数及连接方法，允许缺少某些元件。(ZkYk）(ZkYk）+-Sk.UdkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-三、支路三、支路VCR的矩阵形式的矩阵形式先讨论一种简单情况：先讨论一种简单情况：1.1.电路中无电路中无受控源，无耦合电感受控源，无耦合电感Sk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-SkekkI
17、IIdkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-SkSkkk)(IUUYIkkSkkUUIZek)(SkkUUYIkeksbs1sbb1s1b21b1000000IIUUUUYYYII电路中电感之间有耦合电路中电感之间有耦合电路中有受控电源电路中有受控电源 不不同同Y仅1.电路中无受控源，无耦合电感电路中无受控源，无耦合电感 SSIUYUYI b21000000YYYYSkSkkk)(IUUYIk2.电路中电感间有耦合电路中电感间有耦合Y仅不 同 123b1010Yj MYj MYYYVCCS)a(dk为I3.电路中有受控电源电路中有受控电源dk()CCCSb I为 b210
18、00000YYYY支路支路支路支路SkkUUUekSkSjjkjSkkkk)()(IUUUUIgYj ekjdk UgI设设：VCCS)a(dk为IdkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-SkekkIIISkSkk)(IUUYkdkIdkISjjUUUejSbSbbSjjSkkS11bjk1bjk1100 IIIIUUUUUUUUIIIIsjsksYYYYSkSjjkjSkkkk)()(IUUUUIgYjkjg)(SjjjejUUYIejkjdk II设：CCCS)b(dk为ISkSjjjkjSkkkk)()(IUUUUIYYdkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk
19、.Iek.I+-SkekkIIISkSkk)(IUUYkdkIdkISbSbbSjjSkkS11bjk1bjk1100 IIIIUUUUUUUUIIIIsjsksYYYYjSkSjjjkjSkkkk)()(IUUUUIYYjkjY SSIUYUYI SSIUUIYYKCL：0 IA 0 SSIUUAYAYA四、结点电压方程的矩阵形式四、结点电压方程的矩阵形式支路方程：支路方程：KVL：nT UUA SSnT UIUYAAAYA SnnnIUYYn结点导纳矩阵结点导纳矩阵 SSnT UIUYAAAYA SSIUYA ,自导自导互导互导电流源电流源snI举例：结点电压法矩阵形式解题步骤举例：结点电
20、压法矩阵形式解题步骤:第一步：把电路抽象为有向图第一步：把电路抽象为有向图123456 SSnT UIUYAAAYA5V13A1A+-0.550.521第二步：形成矩阵第二步：形成矩阵A123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -1123456第三步：形成矩阵第三步：形成矩阵Y5V13A1A+-0.550.521112.025.02 Y123456第四步：第四步：US、ISUS=-5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T5V13A1A+-0.550.521dkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-第五步：矩阵形式的结点电压方程得结点电压第五步：矩阵形式的结点电压方程得结点电压315042127.25.015.05.3n3n2n1UUU SSnT UIUYAAAYA SSIUUIYY nT UUAn 解得U SS IUUIYYKCL：0 IA结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式支路支路VCR：KVL：nT UUA SSnT UIUYAAAYAdkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I SSIUYA ,本节要点本节要点：推导过程推导过程 应用结论应用结论 解题步骤解题步骤业精于勤，荒于嬉；业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。行成于思，毁于随。韩愈韩愈
