1、合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析有限元法根本思路有限元法根本思路:离散化离散化 构造单元内构造单元内 位移函数；位移函数；单元位移模式单元位移模式 单元分析；单元分析；划分网格，将连续体划分为划分网格，将连续体划分为有限数量的单元。有限数量的单元。单元内位移单元内位移节点位移节点位移单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元节点力单元节点力节点位移节点位移变分法思想变分法思想 整体分析；整体分析；总体刚度矩阵总体刚度矩阵节点位移节点位移外载荷外载荷 静力平衡静力平衡 求解；求解；节点位移节点位移(,)(,)u x yv x y,xyxy,xyxy单元位单元位移模式移模式几何方程几何方程物理方程物理方
2、程差分法思想差分法思想合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 根本物理量和方程的根本物理量和方程的矩阵表示矩阵表示合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 根本物理量和方程的矩阵表示根本物理量和方程的矩阵表示1 1 根本物理量的矩阵表示根本物理量的矩阵表示外力：外力：,TxyfffTxyfff 应力：应力：Txyxy应变：应变：Txyxy位移：位移：,Tdu vTduvuvTxyxyTxyxy虚应变：虚应变：虚位移：虚位移：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析平面应变问平面应变问题弹性矩阵：题弹性矩阵：D第一节第一节 根本物理量和方程的矩阵表示根本物理量和方程的矩
3、阵表示2 2 根本方程根本方程几何方程：几何方程：Tuvvuxyxy00 xyuyxv 物理方程：物理方程：2101011002xxyyxyxyE L d符号矩阵：符号矩阵：L D平面应力问平面应力问题弹性矩阵：题弹性矩阵：D121EE合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 根本物理量和方程的矩阵表示根本物理量和方程的矩阵表示位移变分方程位移变分方程虚功方程虚功方程极小势能原理极小势能原理应力边界条件应力边界条件 平衡微分方程平衡微分方程等价等价!Tixiyjxj ymxmyFFFFFFF节点力节点力:节点对单元的作用力。对单元来说，对单元来说，节点力是作用在单元上的外力。节点力
4、是作用在单元上的外力。Tiijjmmuvuvuv节点位移节点位移:节点产生的位移。节点产生的位移。Tiijjmmuvuvuv当单元进入虚位移状态：当单元进入虚位移状态：节点虚位移：节点虚位移：单元内应力：单元内应力：Txyxy单元内位移：单元内位移：,Tdu vTxyxy单元虚应变：单元虚应变：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第一节第一节 根本物理量和方程的矩阵表示根本物理量和方程的矩阵表示xyxySAxxyyxyxyAfufvtdxdyfufvtdstdxdy TTAFdxdyt对单元，外力虚功等于内力虚功。对单元，外力虚功等于内力虚功。虚功方程矩阵表示虚功方程矩阵表示 Tixiyj
5、xj ymxmyFFFFFFFTiijjmmuvuvuv外力虚功：节点力在节点虚位移上所做的功外力虚功：节点力在节点虚位移上所做的功内力虚功：单元内应力在虚应变上所做的功内力虚功：单元内应力在虚应变上所做的功 TxyxyTxyxy合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 构造离散化构造离散化合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 构造离散化构造离散化 深梁（离散化结构）深梁（离散化结构）将连续体变换为离散化构造：将连续体划分为有限多个、有限大小的将连续体变换为离散化构造：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些节点处连接，构成所谓单元，并使这些单元
6、仅在一些节点处连接，构成所谓“离散化构造。离散化构造。单元单元节点节点1 1 单元要素单元要素节点：单元与单元之间的连接点节点：单元与单元之间的连接点i,j,m。节点位移：节点位移：节点产生的位移。节点产生的位移。ij m eTijmTiijjmmuvuvuv节点力：节点力：通过节点传递的内力。通过节点传递的内力。eTTijmixiyjxj ymxmyFFFFFFFFFF节点载荷：作用在节点上的载荷外力。节点载荷：作用在节点上的载荷外力。eTTLLiLiLiLixLiyLjxLj yLmxLmyFFFFFFFFFF单元位移：单元内位移分布单元位移：单元内位移分布u(x,y),v(x,y)Tdu
7、 v合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第二节第二节 构造离散化构造离散化2 2 单元类型单元类型一维单元：如杆单元，梁单元一维单元：如杆单元，梁单元 二维单元：如三角形单元，四边形单元。二维单元：如三角形单元，四边形单元。三维单元：如四面体单元，六面体单元，棱柱单元。三维单元：如四面体单元，六面体单元，棱柱单元。3 3 连续体离散化模型连续体离散化模型 单元间仅通过单元间仅通过节点连接节点连接，没有其它联系；，没有其它联系；位移，载荷仅通过位移，载荷仅通过节点传递节点传递；单元内依然是连续体，位移是坐标的连接函数。单元内依然是连续体，位移是坐标的连接函数。合 肥 工 业 大 学有 限 元
8、 分 析第三节第三节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性1 1 单元位移函数单元位移函数 将连续体离散化后，各单元间通过节点相连，但每个单元仍然是连续的，将连续体离散化后，各单元间通过节点相连，但每个单元仍然是连续的，即单元内位移是坐标的连续函数即单元内位移是坐标的连续函数：(,),(,)u x yv x y物理意义物理意义表示了单元内位移表示了单元内位移 u,v 的分布形式，称的分布形式，称单元位移模式。单元位移模式。数学意义数学意义构造各单元节点位移间的构造各单元节点位移间的位移
9、插值函数位移插值函数。2 2 形函数形函数123uxy456vxy设位移函数设位移函数：1234561000 0001uxydvxy 变分法变分法在单元上取在单元上取位移试函数。位移试函数。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性假设边界：假设边界：()(,),iii xyi j m(,)Tiiiu vi j m123456iiiiiixyuxyv123456jjjjjjxyuxyv123456mmmmmmxyuxyv求解三元一求解三元一次方程组次方程组1111iiijjjmmmiijjmmuxyuxyuxyxyxyxy12iijjm
10、maua ua uA,ijma a a 2）为为 的代数余的代数余 子式。子式。,ijmu u u其中：其中：1A为三角形为三角形 i j m 的面积，的面积，(i,j,m按逆按逆 时针编号时针编号)123456uxyvxy123123123iiijjjmmmxyuxyuxyu合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性312iijjmmcuc uc uA412iijjmmava va vA512iijjmmbvb vb vA612iijjmmcvc vc vA112iijjmmaua ua uA212iijjmmbub ub uA211
11、112111iijjmmiijjmmiijjmmuyuyuybub ub uAxyxyxy这里：这里：jjijmmjmmxyax yx yxy1,1jijmmybyyy 11jimjmxcxxxmmjmiimiixyax yx yxy1,1mjmiiybyyy 11mjimixcxxxiimijjijjxyax yx yxy1,1imijjybyyy 11imjijxcxxx规律：规律：i,j,m 安逆时针替换。安逆时针替换。,jjimmxyaxy一般写成：一般写成：456456456iiijjjmmmxyvxyvxyv311112111iijjmmiijjmmiijjmmxuxuxucuc
12、uc uAxyxyxy112111iiijjjmmmiijjmmiijjmmuxyuxyuxyaua ua uAxyxyxy11,jimyby 11jimxcx(,)i j m合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性用矩阵形式表示：用矩阵形式表示：12345600000000010002000000ijmiijmiijmjijmjijmmmijmaaaubbbvcccuaaavAbbbuvccc12345610 0 0 0 0 0 1ux ydx yv 12iijjmmuvuuvvAuv iiiab xc ymmmab xc yjjj
13、ab xc y000iiiab xc ymmmab xc yjjjab xc y000000 000eijmijmNNNNNN eN这里：这里：1(,)2iiiiNab xc yi j mA形函数形函数 N形函数矩阵形函数矩阵那么：那么：edN几何意义：几何意义：反映单元反映单元位移形态位移形态。对三角形单元，在图形上是一个。对三角形单元，在图形上是一个平面平面。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性 位移函数表示了位移位移函数表示了位移 u,v 在单元内的分布形式，在单元内的分布形式，因此又称因此又称位移模式位移模式。iijjmm
14、uN uN uN u edNiijjmmvN vN vN v沟通了单元中沟通了单元中离散点的位移离散点的位移和和单元内位移单元内位移之间的关系。之间的关系。3 3 形函数的性质形函数的性质12iiiiNab xc yA111111jjmmiijjmmxyxyxyxyxyxyi 点：点：j 点：点：m 点：点：()1iiiN x y()0ijjN xy()0immN xy11112111mmiijjjjiijjmmxyxyxyNab xc yAxyxyxy()0jiiNx y()1jjjNxy()0jmmNxy11112111iijjmmmmiijjmmxyxyxyNab xc yAxyxyxy
15、()0miiNx y()0mjjNxy()1mmmNxy00010002iiijmjijmjmmuvNNNuNNNvAuv合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性性质性质1:10rN在节点在节点r处处在其它节点在其它节点处处(,)ri j m物理意义：物理意义：不同单元在同一节点处位移相等，即节点处位移与形函不同单元在同一节点处位移相等，即节点处位移与形函 数无关，反映了单元在节点处的连续性。数无关，反映了单元在节点处的连续性。jjiimmijmjjiimmxyxyxyaaaxyxyxy1121iijjmmxyxyAxy111111j
16、imijmjimyyybbbyyy 1111011ijmyyy111111jimijmjimxxxcccxxx1111011ijmxxx12ijmiiijjjmmmNNNab xc yab xc yab xc yA总结总结1()()()12ijmijmijmaaabbbxcccyA1mrr iN性质性质2:总结总结合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性令：令：0,ijmuuuu0ijmvvvv00iijjmmijmuN uN uN uNNNuu00i ijjm mijmvN vN vN vNNNvv各节点位移相等时，单元内位移为常数
17、，且等于节点位移。各节点位移相等时，单元内位移为常数，且等于节点位移。物理意义：物理意义：各节点形函数之和为各节点形函数之和为1，反映了单元的刚体位移。，反映了单元的刚体位移。()1,()0,()0iiiijjimmN x yN xyN xy12iiiiNab xc yA(,)iN x y是是 x,y 的线性函数。的线性函数。iumujujmi(,)u x yivmvjvjim(,)v x yiijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v由性质由性质1：1m11(,)iNx y(,)jNx y(,)mNx y合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单
18、元位移模式 解的收敛性解的收敛性4 4 位移函数的收敛性位移函数的收敛性(1)位移函数收敛性的概念位移函数收敛性的概念 位移模式建立以后，便可逐步求应变、应力、结点力等一系列工作。位移模式建立以后，便可逐步求应变、应力、结点力等一系列工作。所以位移模式是有限元法的工作根底。所以位移模式是有限元法的工作根底。(1)()n(2)逐步将单元细分，可以得到同一问题近似解的一个序列：逐步将单元细分，可以得到同一问题近似解的一个序列：(1)(2)(),.(1,2,3.)nn()00lim nnxy 准确解准确解合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收
19、敛性当当 时，有限元解答收敛于精确解时，有限元解答收敛于精确解0,0 xy 有限元解的收敛性有限元解的收敛性位移函数的收敛性位移函数的收敛性位移函数收敛于正确解位移函数收敛于正确解(2)位移函数收敛于正确解的条件位移函数收敛于正确解的条件必须反映单元的必须反映单元的刚体位移刚体位移。单元位移单元位移自身变形自身变形引起位移引起位移刚体位移刚体位移=+由其它单元变形引起由其它单元变形引起 必须反映单元的必须反映单元的常量应变常量应变。单元应变单元应变常量应变常量应变变量应变变量应变=+与位置无关与位置无关与位置坐标有关与位置坐标有关a,b 两个条件为位移函数收敛的两个条件为位移函数收敛的必要条件
20、。必要条件。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第第三三节节 单元位移模式单元位移模式 解的收敛性解的收敛性 位移模式应尽可能反映位移的连续性。位移模式应尽可能反映位移的连续性。l 单元内连续位移函数取坐标的连续函数；单元内连续位移函数取坐标的连续函数；l 单元公共节点上位移相等；单元公共节点上位移相等；l 单元公共边界上位移相等。单元公共边界上位移相等。保证离散化后的构造仍为连续弹性体。保证离散化后的构造仍为连续弹性体。c 条件为位移收敛性的条件为位移收敛性的充分条件。充分条件。满足满足 a,b 条件的单元条件的单元完备单元完备单元还满足还满足c 条件的单元条件的单元协条单元协条单元合
21、肥 工 业 大 学有 限 元 分 析复习：复习：123uxy456vxy000 000eijmijmNNNdNNN eN12iijjmmuvuuvvAuv iiiab xc ymmmab xc yjjjab xc y000iiiab xc ymmmab xc yjjjab xc y000,jjimmxyaxy11,jimyby 11jimxcx(,)i j miijjmmuN uN uN uiijjmmvN vN vN v合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析复习复习性质性质1:10rN在节点在节点r处处在其它节点在其它节点处处(,)ri j m1mrr iN性质性质2:位移函数收敛于正确解
22、的条件位移函数收敛于正确解的条件:必须反映单元的必须反映单元的刚体位移刚体位移。必须反映单元的必须反映单元的常量应变常量应变。位移模式应尽可能反映位移的连续性。位移模式应尽可能反映位移的连续性。iumujujmi(,)u x yivmvjvjim(,)v x y合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例题：例题：例：判断三角形单元位移函数例：判断三角形单元位移函数 是否满是否满 足位移函数的收敛性？足位移函数的收敛性？123456uxyvxy解：解：15353125353462222uxyyvxxy令：令：5301042uvxvvyuu00因此，因此，u,v 包含了单元的刚体位移。包含了单元的
23、刚体位移。22,xux4,yvy53xyvuxy因此，应变分量包含了常应变。因此，应变分量包含了常应变。合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例题：例题：3 单元内，单元内，u,v 显然是连续函数。显然是连续函数。iijjmmuN uN uN uiijjmmvN vN vN v()1,()0,()0iiimiijiiN x yNx yNx y(,),iiiu x yu(,)iiiv x yv对单元对单元：(,),iiiu x yu(,)iiiv x yv对单元对单元：所以，不同单元在所以，不同单元在公共节点处公共节点处位移相等，保证了位移相等，保证了节点处的连续性节点处的连续性。u,v 在任
24、一单元内都是坐标的线性函数，在在任一单元内都是坐标的线性函数，在公共边界公共边界ij 上当然也上当然也是线性的。是线性的。经过两点的直线只有一条，所以经过两点的直线只有一条，所以公共边界公共边界ij 上任一点位移相等，保证上任一点位移相等，保证位移函数在位移函数在公共边界上是连续的。公共边界上是连续的。iijjkkuN uN uN uiijjkkvN vN vN v合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例题：例题：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例题：例题：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵合 肥 工 业 大 学有 限 元
25、 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵1.单元的应变和应力单元的应变和应力(1)单元的应变单元的应变 edN单元的位移模式单元的位移模式 L d eLN eB 3 22 6BLN00000000 xijmyijmyxNNNNNN000000jimjimjjiimmNNNxxxNNNyyyNNNNNNyxyxyx00010002ijmijmiijjmmbbbcccAc b cb cbijmB BB反映了单元内任一点的反映了单元内任一点的应变应变与与节点位移节点位移之间的关系之间的关系1(,)2iiiiNab xc yi j mA合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第
26、四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 B应变矩阵应变矩阵iB应变矩阵子矩阵应变矩阵子矩阵 i,j,m对三角形单元，对三角形单元，均仅与节点坐标有关均仅与节点坐标有关 ,(,)iib ci j m11,11jjiimmyxbcyx 为常量矩阵为常量矩阵 B 为常量为常量 三角形单元为三角形单元为常应变单元常应变单元(2)单元的应力单元的应力 D SDB eDB eSijmS SS200010100002(1)10 02ijmijmiijjmmbbbEcccAc b cbcb 00010002ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb eB反映了单元内任一点的反映了单元
27、内任一点的应力应力与与节点位移节点位移之间的关系之间的关系合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 S应力矩阵应力矩阵iS应力矩阵子矩阵应力矩阵子矩阵 i,j,m21122(,)2(1)iiiiiiibcESbci j mAcb说明：说明：为常量，单元应力为常量。三角形单元为常应力单元；为常量，单元应力为常量。三角形单元为常应力单元；S 对三角形单元，不同单元之间应力、应变有突变。对三角形单元，不同单元之间应力、应变有突变。123456uxyvxy位移函数误差量级：位移函数误差量级：22(,)Oxyyuxvyvxuxyyx应力应变误差数量
28、级：应力应变误差数量级：(,)Oxy即使位移精度满足了要求，应力精度不一定满足要求即使位移精度满足了要求，应力精度不一定满足要求措施：措施：a,细化网格；细化网格；b,采用高次单元采用高次单元权衡计算精度和计算量之间的关系权衡计算精度和计算量之间的关系合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵2.单元刚度矩阵单元刚度矩阵建立建立节点力节点力与与节点位移节点位移之间的关系。之间的关系。(1)单元刚度矩阵的推导单元刚度矩阵的推导 以单元为研究对象，假想将单元与节点以单元为研究对象，假想将单元与节点i 切切开，节点作用于单元上的力，称为开，节点作
29、用于单元上的力，称为节点力节点力。Teixi yjxj ymxmyFFFFFFF令节点令节点 处产生了一组虚位移：处产生了一组虚位移：,i j meTiijjmmuvuvuv相应单元虚位移：相应单元虚位移：eduvN相应单元虚应变：相应单元虚应变：eB 由虚功方程：外力（节点力由虚功方程：外力（节点力 ）在虚位移（节点虚位移）在虚位移（节点虚位移）上的虚功，等于应力上的虚功，等于应力 在虚应变在虚应变 上的虚功，即：上的虚功，即：eFe 合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 eeTTAdxdytF eB eDD B eTTeABD B
30、dxdyt,ee（与坐标与坐标 x,y 无关无关）()TeAeTBD B dxdyte对任意虚位移对任意虚位移 上式都必须满足，则：上式都必须满足，则：()eTeAFBD B dxdyt令：令：则：则：,TAkBD B dxdyt eekF单元刚度矩阵单元刚度矩阵 k 有限元实际运算中大量的计算工作量是有限元实际运算中大量的计算工作量是形成单元刚度矩阵形成单元刚度矩阵单元刚度方程合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵3.单元刚度矩阵的计算单元刚度矩阵的计算 TAkBD B dxdyt TABD Bdxdyt TBD B At6 33 6
31、 TBSAtTiTjijmTmBBS SSAtBiiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkijm i j m每个分块子矩阵位置与节点每个分块子矩阵位置与节点号码（逆时针）顺序相对应号码（逆时针）顺序相对应 TrsrskBSAt2112210022(1)ssrrssrrssbcEbcbcAtc bAAcb112211222(,)4(1)rsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEr si j mc bb cc cb bA平面应力单平面应力单元元刚度矩阵刚度矩阵计算公式计算公式平面应变问题的平面应变问题的刚度矩阵刚度矩阵12,1EE合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析
32、第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵iijFk4.单元刚度矩阵的物理意义单元刚度矩阵的物理意义 iiimjijjjmmimijmmjkkkkkkkkkkijkiiiimjjijjjmmmimjmmijFkkFkkkFkkkk eekFijm010 11122122ixjijijiyjijijFukkFvkk当节点当节点 j 处产生单位位移处产生单位位移 ，而其余点完全被约束时，而其余点完全被约束时，节点节点 i 处所需施加的节点力处所需施加的节点力 。1jiF11ijk当节点当节点 j 处产生单位水平位移时，节点处产生单位水平位移时，节点 i 处所需施加的水处所需施加的水平
33、节点力。平节点力。1ju?ixF 即即 时时12ijk1jv?ixF 时时21ijk1ju?iyF 时时22ijk1jv?iyF 时时对子矩阵，如：对子矩阵，如：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵4.单元刚度矩阵的单元刚度矩阵的 性质性质 对称性：对称性：TTTkBD BAt TTBDB tA TBD B tA k 奇异性：奇异性：从物理意义证明：从物理意义证明：直接由单刚计算公式证明：直接由单刚计算公式证明：6,10rsr sk0k 6,10rsr sk令：令：0,ijmuuuu0ijmvvvv则：单元内无应力应变产生则：单元内无
34、应力应变产生 0eF 0eeFk iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk以第以第1行为例：行为例：111111121212000iiijimiiijimixkkkukkkvF合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵111111121212000iiijimiiijimixkkkukkkvF上式对任一上式对任一 都成立，则一定有：都成立，则一定有：00,u v1111110iiijimkkk1212120iiijimkkk1111111212120iiijimiiijimkkkkkk0k k为奇异矩阵为奇异矩阵 三角形单元
35、不变性：三角形单元不变性：112211222(,)4(1)rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb bc bEkr si j mc bb cc cb bA 与与 无关。无关。k,ijma a a合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第四节第四节 单元分析单元分析 单元刚度矩阵单元刚度矩阵123456uxyvxy 与与 无关。无关。k,ijma a a 与与 无关。无关。k14,141212iijjmmiijjmmaua ua uAava va vA 代表单元刚体平移。代表单元刚体平移。14,单元刚度矩阵与单元刚度矩阵与单单元的刚体平移元的刚体平移无关无关另外可以证明：单元刚度矩阵与
36、另外可以证明：单元刚度矩阵与单元的刚体转动单元的刚体转动也无关。也无关。影响单元刚度矩阵的因素：影响单元刚度矩阵的因素：单元形状单元形状单元所取单元所取位移函数位移函数材料属性：材料属性：,E合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析例题：例题：合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析应用变分原理推导单元刚度方程应用变分原理推导单元刚度方程(1)单元应变能单元应变能 12TeAUdxdyt由于上式中：,TTTD ,TDD TeTTB代入应变能公式：12eTTeeAUBDBdxdyt e仅与节点坐标有关：12eTTeeAUBDB dxdyt合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析应用变分原理推导单
37、元刚度方程应用变分原理推导单元刚度方程 eTAkBDB dxdyt令：,则：12eTeeeUk(2)单元外力势能单元外力势能 eTeeVWF (3)单元总势能单元总势能 12eTeeeTeeeepEUVkF根据极小势能原理：0epeE eeekF合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 载荷移置载荷移置合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 载荷移置载荷移置1.静力等效原那静力等效原那么么 刚体静力等效原那么只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原那么考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。所以在所以在FEM中
38、，采用变形体的静力等效原那么。中，采用变形体的静力等效原那么。刚体静力等效原那刚体静力等效原那么么:变形体静力等效原那么变形体静力等效原那么:使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也一样。也一样。在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载在虚位移在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载在虚位移上所做的上所做的虚功相等虚功相等。单元单元原载荷原载荷在在虚位移上做的虚功虚位移上做的虚功=移置后移置后节点载荷节点载荷在相应在相应虚位移上做的虚功虚位移上做的虚功合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 载荷移置载荷移置2.移置方法移置方法(1)集中力
39、的移置集中力的移置TPPxPyfffeTLLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFFeTiijjmmuvuvuvTduv eTeTLPFdf eTTPNf edN6 22 1eTPLFNf 000000ijmijmNNNNNNNTiPxiPyjPxjPymPxmPyN fN fN fN fN fN f集中力按形函数在各节点分配集中力按形函数在各节点分配合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 载荷移置载荷移置(2)体力的移置体力的移置 Txyfff取微单元，那么微单元上的体力：取微单元，那么微单元上的体力：f dxdyt可看作集中力。可看作集中力。TAeLNfdytFdxi
40、xiyjxjymxmyAtN fN fN fN fN fN fdxdy例例1：重力移置。：重力移置。令密度为令密度为 ,则则:0 xyf,fg 0LixLjxLmxFFF LiyiAFtNg dxdy iAgtN dxdy 13gtA 111333000eTLFgtAgtAgtA TNf dxdyt合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 载荷移置载荷移置(3)面力的移置面力的移置 Txyfff f tds可看作集中力。可看作集中力。TeLSNf tdsFTixiyjxjymxmyStN fN fN fN fN fN fds取微单元，面积为取微单元，面积为 。则微单元上的力：。则微
41、单元上的力：tds TStNf ds则则:0 xyfq,f LixiijFqtN ds 112200 0 0eTLFqtijqtij 例例2：三角形单元一边受沿：三角形单元一边受沿x 方向均布载荷方向均布载荷 。q12 qtijLjxjijFqtN ds 1,2 qtij0LmxF q0LiyLjyLmyFFF 合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第五节第五节 载荷移置载荷移置qLixixijFtN f ds 113600 0 0eTLFqtaqta 例例3：三角形单元一边受沿：三角形单元一边受沿x 方向线性分布载荷，在方向线性分布载荷，在i 点为点为q，在，在j点为点为0，求移置后的节点
42、载荷。，求移置后的节点载荷。0 as qtsdsa a0LmxF 0LiyLjyLmyFFF LixixSFtN f ds令令ij边长为边长为as13 qtaLjxjxijFtN f ds 0(1)asqtsdsaa16 qta合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析第六节第六节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析n1节点协调原那么：节点协调原那么：节点处保证协调连接节点处保证协调连接 不同单元在同一节点处位移相等不同单元在同一节点处位移相等.iiii2节点平衡原那么：节点平衡原那么：iLieeFF第六节第六节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体
43、刚度矩阵节点平衡方程节点平衡方程合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析2.总体刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成节点载荷：节点载荷：122345500 0TLL yLxLyL xLyL xLyFFFFFFFF节点节点1：节点节点2：节点节点3：节点节点4：节点节点5：110 xxFF111yyL yFFF222xxLxFFF222yyL yFFF33333xxxxL xFFFFF33330yyyyFFFF440 xxFF444yyL yFFF555xxLxFFF555yyL yFFF第六节第六节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵节点平衡原那节点平衡原那么么合 肥 工 业 大 学有 限 元
44、 分 析 将上面将上面10个方程用矩阵表示：个方程用矩阵表示：110 xxFF111yyL yFFF222xxLxFFF222yyL yFFF33333xxxxL xFFFFF33330yyyyFFFF440 xxFF444yyL yFFF555xxLxFFF555yyL yFFF1223455000L yL xLyL xLyL xL yFFFFFFF112233xyxyxyFFFFFF223355xyxyxyFFFFFF113344xyxyxyFFFFFF 334455xyxyxyFFFFFF单元单元单元单元单元单元单元单元 12345节节点点第六节第六节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体
45、刚度矩阵节点平衡方程节点平衡方程组组0000000000000000合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析用分块矩阵表示：用分块矩阵表示：12345LLLLLFFFFF12300FFF23500FFF13400FFF34500FFF单元单元单元单元单元单元单元单元 12345节点节点用零（矩阵）升阶使节点力矩阵与节点载荷矩阵同阶用零（矩阵）升阶使节点力矩阵与节点载荷矩阵同阶第第六六节节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析列出各个单元单元刚度方程：列出各个单元单元刚度方程：单元单元 eeFkiiiijimijjijjjmjmmimjmmmFkkk
46、FkkkFkkk12300FFF123单元单元23500FFF12345131112232122313233kkkkkkkkk232522323335525355kkkkkkkkk第第六六节节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵单元单元位移列位移列阵用阵用整体整体位位移列阵代替移列阵代替单元刚度矩阵用零单元刚度矩阵用零升阶与总体刚度矩升阶与总体刚度矩阵同阶，又称阵同阶，又称单元奉献矩阵。单元奉献矩阵。000000000000000045 k0000000000000000 k合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析单元单元1234513400FFF单元单元34500FFF1234513
47、11143133344341440000000000000000kkkkkkkkk3334354345445354550000000000000000kkkkkkkkk(1)扩阶后的单元刚扩阶后的单元刚 度度 方程只不过增加了方程只不过增加了两个两个0=0的方程的方程，因此与原方，因此与原方程程等价等价。第第六六节节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵3用构造的整体位移矩阵代替单元节点位移矩阵用构造的整体位移矩阵代替单元节点位移矩阵-节点协调原那么节点协调原那么(2)不影响不影响虚功及应变虚功及应变能能的计算。的计算。k k合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析将以上四式代入节点将以
48、上四式代入节点 平衡方程组：平衡方程组：LkkkkF12345LLLLLFFFFF12300FFF23500FFF13400FFF34500FFF节点平衡方程组节点平衡方程组令：Kkkkk 41eek LFK总体刚度矩阵总体刚度矩阵整体平衡方程整体平衡方程,沟通沟通节点载荷节点载荷与与节点节点位移位移关系关系第第六六节节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵 221menneKkiLieeFF合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析1311121423252122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+K Kkkkk1315
49、1112142325212224313233343543454142445152535455KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKkKKK总体刚度矩阵的形成：总体刚度矩阵的形成：所有升阶后的单元刚度所有升阶后的单元刚度矩阵单元奉献矩阵矩阵单元奉献矩阵的叠加！的叠加！第第六六节节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵1311122321223132330000000000000000kkkkkkkkk2325223233355253550000000000000000kkkkkkkkk1311143133344341440000000000000000kkkkkkkkk33343543
50、45445354550000000000000000kkkkkkkkk合 肥 工 业 大 学有 限 元 分 析3.总体刚度矩阵的计算规律总体刚度矩阵的计算规律 令：令：为总体刚度矩阵为总体刚度矩阵的任一子块的任一子块 :,1,2,3,4,5rsKr s 当当 时：时：为主对角线上子块，由为主对角线上子块，由环绕节点环绕节点 r 或或 s 的单元在单刚矩阵相应的单元在单刚矩阵相应节点上子矩阵的叠加节点上子矩阵的叠加rsrsK如：3333Kk+(2)当当 且且rs为相邻单元的公共边时：为相邻单元的公共边时：为相邻两单为相邻两单元在单刚矩阵相应子块矩阵的叠加。元在单刚矩阵相应子块矩阵的叠加。rsrs
