1、4数列在日常经济生活中的应用理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章数列考点一考点三4考点二2011年年8月某人存入银行月某人存入银行1 000元，年利率为元，年利率为3.50%.问题问题1：如果按照单利，第五年末的本利和是多少？：如果按照单利，第五年末的本利和是多少？提示：提示：本利和为：本利和为：1 0001 0003.50%51175(元元)问题问题2：如果按照复利，第五年末的本利和是多少？：如果按照复利，第五年末的本利和是多少？提示：提示：设各年的本利和为数列设各年的本利和为数列an，a01 000，r3.50%，a11 0001.035，a21 0001.0352，a51 0001
2、.03551 187.7(元元)单利和复利单利和复利单单利利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为生的利息不再计算利息，其公式为利息利息 若以符号若以符号P代表本金，代表本金，n代表存期，代表存期，r代表利率，代表利率，S代表代表本金与利息和，则有本金与利息和，则有S 复复利利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S 本金本金利率利率存期存期P(1nr)P(1r)n 1零存整取模型零
3、存整取模型 所谓零存整取，是指开户时约定存期，分次每月固所谓零存整取，是指开户时约定存期，分次每月固定存款金额，到期一次支取本利和的一种个人存款定存款金额，到期一次支取本利和的一种个人存款 对于零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计对于零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计复利这种储蓄业务按单利利息每期的本利和组成等复利这种储蓄业务按单利利息每期的本利和组成等差数列，它就是等差数列模型差数列，它就是等差数列模型 2定期自动转存模型定期自动转存模型 所谓定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日所谓定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动
4、转存自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动转存业务，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型业务，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型 3分期付款模型：分期付款模型：分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品付清，就使用商品(或贷款或贷款)，还款时可以分期将款逐步还，还款时可以分期将款逐步还清清 例例1某单位用分期付款的方式为职工购买某单位用分期付款的方式为职工购买40套住套住房，共需房，共需1 150万元，购买当天先付万元，购买当天先付150万元，以后每月万元，以后每月这一天都交付这一天都交付50万元，并加付
5、欠款利息，月利率为万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清个月应付多少钱？全部按期付清后，买这后，买这40套住房实际花了多少钱？套住房实际花了多少钱？思路点拨思路点拨明确储蓄类型，构建等差数列求解明确储蓄类型，构建等差数列求解 精解详析精解详析因购房时付因购房时付150万元，则欠款万元，则欠款1 000万元，依题意分万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构次付款，则每次付款的数额顺次构成数列成数列an 则则a1501 0001%6
6、0，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，一点通一点通分期付款是一种常见的付款方式，与分期付款是一种常见的付款方式，与存款中的存款中的“零存整取零存整取”，都属于等差数列模型解题的，都属于等差数列模型解题的关键是确定首项、公差、项数关键是确定首项、公差、项数1某人从某人从1月起每月第一天存入月起每月第一天存入100元，到元，到12月最后一月最后一 天取出全部本金和利息，已知月利率是天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按，按 单利计息，那么实际取出多少钱？单利计息，那么实际取出多少钱？解：解：实际取出的
7、钱等于：本金利息实际取出的钱等于：本金利息 到到12月最后一天取款时：月最后一天取款时：第一个月存款利息：第一个月存款利息：100120.165%第二个月存款利息：第二个月存款利息：100110.165%例例2某大学张教授年初向银行贷款某大学张教授年初向银行贷款20万元用于万元用于购房，银行贷款的年利息为购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算，按复利计算(即本年即本年的利息计入次年的本金生息的利息计入次年的本金生息)若这笔款要分若这笔款要分10次等额次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少万元？还，问每年应还多
8、少万元？(参考数据参考数据1.1102.594)思路点拨思路点拨认真分析理解题意，构造等比数列模认真分析理解题意，构造等比数列模型解决问题型解决问题 精解详析精解详析法一：法一：设每年还款设每年还款x万元，需万元，需10年还年还清，那么各年还款利息情况如下：清，那么各年还款利息情况如下：第第10年付款年付款x万元，这次还款后欠款全部还清；万元，这次还款后欠款全部还清；第第9年付款年付款x万元，过一年欠款全部还清时，所付万元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为款连同利息之和为x(110%)万元；万元；第第8年付款年付款x万元，过万元，过2年欠款全部还清时，所付款年欠款全部还清时，所付款连
9、同利息之和为连同利息之和为x(110%)2万元；万元；法二：法二：第第1次还款次还款x万元之后还欠银行万元之后还欠银行20(110%)x201.1x，第第2次还款次还款x万元后还欠银行万元后还欠银行20(110%)x(110%)x201.121.1xx，一点通一点通本题属于本题属于“复利复利”问题，是等比数列模问题，是等比数列模型根据还款的本利和等于贷款的本利和，建立方程型根据还款的本利和等于贷款的本利和，建立方程是解题的关键是解题的关键2某人从某人从2011年年1月月1日起，每年这一天到银行存一日起，每年这一天到银行存一 年定期年定期a元，若年利率元，若年利率r保持不变，且每年到期的保持不变
10、，且每年到期的 存款将本和利都再存入新一年的定期，到存款将本和利都再存入新一年的定期，到2015年年1 月月1日，将所有的存款利息全部取回，他可取回日，将所有的存款利息全部取回，他可取回 的钱数为的钱数为_ 例例3(12分分)某企业进行技术改造，有两种方案：甲某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1万元，以后万元，以后每年比前一年增加每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款的利润；乙方案：每年贷款1万元，万元，第一年便可获利第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利万元，以后每年比前年多获利5千元，两千元，两种方案，
11、使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？获利更多？(计算数据精确到千元计算数据精确到千元1.1102.594，1.31013.786)思路点拨思路点拨分清两种方案分别属于什么数列模型，分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决然后分别建立不同数列模型解决111(110%)(110%)91.117.53(万元万元)，乙方案净获利乙方案净获利32.5017.5315.0(万元万元)(11分分)比较两方案可得甲方案获利较多
12、比较两方案可得甲方案获利较多 (12分分)一点通一点通解决数列实际应用题，关键是读懂题意，解决数列实际应用题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，分清是等差数列，还从实际问题中提炼出问题的实质，分清是等差数列，还是等比数列，然后转化为数学问题解决本题方案甲属是等比数列，然后转化为数学问题解决本题方案甲属等比数列模型，方案乙则属于等差数列模型等比数列模型，方案乙则属于等差数列模型3某市某市2011年新建住房年新建住房400万平方米，其中有万平方米，其中有250万平万平 方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每 年新建住房面积平均比上一年增
13、长年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每，另外，每 年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50 万平方米，那么到哪一年底：万平方米，那么到哪一年底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积该市历年所建中低价房的累计面积(以以2011年为累年为累计的第一年计的第一年)将首次不少于将首次不少于4 750万平方米？万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于比例首次大于85%？(参考数据：参考数据：1.0841.36，1.0851.47,1.0861.59)(2)设新建住房面积成数
14、列设新建住房面积成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是等比数是等比数列列其中其中b1400，q1.08，则，则bn4001.08n1，由题意可知，由题意可知an0.85bn，则有，则有250(n1)504001.08n10.85，即，即5n20341.08n1.则则n6.故到故到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于房面积的比例首次大于85%.1等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题解决问题 2将实际问题转化为数列问题时应注意：将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分分清是等差数列还是等比数列；清是等差数列还是等比数列；(2)分清是求分清是求an还是求还是求Sn，特别要准确确定项数特别要准确确定项数n；(3)前后项关系的发现是数列前后项关系的发现是数列建模的重要方式建模的重要方式点此进入
