1、第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第五章第五章 力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性教学内容第1页1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化2 波包的运动，恩费斯脱波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)(Ehrenfest)定理定理3 SchrdingerSchrdinger图象和图象和HeisenbergHeisenberg图象图象4 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系5 全同粒子与波函数的交换对称性全同粒子与波函数的交换对称性第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化
2、1.1.守恒量守恒量第2页量子力学中力学量随时间的演化，与经典力学不同。处于量子态量子力学中力学量随时间的演化，与经典力学不同。处于量子态下的体系，在每一时刻，非所有力学量都具有确定值，而只具有下的体系，在每一时刻，非所有力学量都具有确定值，而只具有确定的确定的几率分布几率分布和和平均值平均值。力学量力学量A A的平均值随时间的变化的平均值随时间的变化力学力学量量A A的的平均值平均值为为其随时间的变化为：其随时间的变化为：第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第3页若若A A不显含时间不显含时间第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics
3、第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第6页(III)(III)量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t t是否处于某守恒是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。量的本征态，要根据初条件决定。守恒量的量子数称为好量子数。守恒量的量子数称为好量子数。(IV)(IV)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心量子体系的各守恒量并不一定都可
4、以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，力场中的粒子，L L的三分量都守恒的三分量都守恒(L(Li i,H=0,i=x,y,z),H=0,i=x,y,z)，但由于，但由于L Lx x,L,Ly y,L,Lz z不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0l=0的的态除外）。态除外）。(V)(V)定态和守恒量的区别定态和守恒量的区别:在定态（能量本征态）下，一切力学量在定态（能量本征态）下，一切力学量(不显含不显含t t，不管是否守恒量，不管是否守恒量)的平均值及测量值几率分布都不随时的平均值及测量值几率分布都不随时间改变，而守恒量则是在一切状
5、态下间改变，而守恒量则是在一切状态下(不管是否定态不管是否定态)的平均值和测的平均值和测量值几率分布都不随时间改变。量值几率分布都不随时间改变。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第7页举例举例1 1、自由粒子动量守恒、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量。所以自由粒子的动量是守恒量。2 2、粒子在中心力场中运动：角动量守恒粒子在中心力场中运动：角动量守恒皆不显含时间皆不显含时间所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量3 3、哈密顿不显含时间的体系能量守
6、恒、哈密顿不显含时间的体系能量守恒能量守恒能量守恒第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics能级简并与守恒量的关系能级简并与守恒量的关系第8页在处理能量本征值问题，量子态随时间变化，量子跃迁以及散射在处理能量本征值问题，量子态随时间变化，量子跃迁以及散射等问题中，守恒量的应用极广。主要涉及能量简并，包括：等问题中，守恒量的应用极广。主要涉及能量简并，包括：(a)(a)能能级简并否？级简并否？(b)(b)在能级简并时，如何标记各简并态。在能级简并时，如何标记各简并态。定理：定理：设体系两个彼此不对易的守恒量设体系两个彼此不对易的守恒量F F和和G G，即，即F,H=0,
7、G,H=0，但但F,G0，则体系能级一般是简并的。则体系能级一般是简并的。证：由于证：由于F,H=0，F与与H可以有共同本征函数可以有共同本征函数即即G G也是也是H H的本征态，的本征态，对应于本征值对应于本征值E E。但但G与与是否同一个量子态？考虑到是否同一个量子态？考虑到F,G0,一般有一般有即即G不是不是F的本征态但的本征态但是是F的本征态，的本征态，因此因此G与与不是同一个态。但它不是同一个态。但它们又都是们又都是H的本征值为的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。的本征态，因此能级是简并的。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum MechanicsReview力学量平均
8、值随时间的演化第9页守恒量 A,H=01.平均值不随时间改变2.测量值几率不随时间改变定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F和G，即F,H=0,G,H=0，但F,G0，则体系能级一般是简并的。守恒量和定态第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第10页推论：若体系有一守恒量F，而体系的某条能级不简并(即对应于某能量本征值E只有一个量子态E)，则 E必为F的本征态。FE 也是H的本征值为E的本征态。由于无简并，位力(Virial)定理:设粒子处于势场V(r)中，哈密顿量为H=T+V(r),在定态下有式中T=p2/2m是粒子动能，上式即位力定理。第5章 力学量随时间演化和
9、对称性 Quantum Mechanics证明：证明：考虑 r r p p 随时间的变化第11页对于定态第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics练习：设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即V(cx,cy,cz)=cnV(x,y,z),c为常数，证明第12页应用于（a)谐振子势，n=2,有（b)Coulomb势，n=-1,有（c)势，n=-1,与Coulomb势相同第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第13页海尔曼(Hellmanm)-费曼(Feynman)定理:当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于各种力学量
10、平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算。H-F定理：设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量，En 是H的本征值，n 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则量子体系的能量本征值随参数的变化。Dirac 符号第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics证明：n 满足能量本征方程第14页对 求导数，并左乘 n|第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics例子：证明：一维谐振子 Hamilton 量第15页证明一维谐振子，能量本征态下=。方法 I：取m作为参数由HF定理则=。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum
11、Mechanics第16页方法 II为参数方法 III 为参数第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics2 2 波包的运动，恩费斯脱波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)(Ehrenfest)定理定理第17页恩费斯脱(Ehrenfest)定理：设粒子的Hamilton量为H=p2/2m+V(r),则有证明：粒子坐标和动量平均值随时间变化如下它们与经典粒子它们与经典粒子运动满足的正则运动满足的正则方程相似。方程相似。质量为m的粒子，在势场V(r)中运动，用波包(r,t)描述。与经典粒子运动相对应的(r,t)为非定态，定态下粒子在空间的几率密度|(r,t)|2是不随时
12、间变化第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第18页Ehrenfest定理的形式与经典牛顿方程相似。但只当可以近似为F(r)时，波包中心的运动规律才与经典粒子相同。下面讨论，在什么条件下可以做这种近似。为简单起见，以一维波包运动为例。在波包中心 xc=附近对V(x)作Taylor展开，令=x-xc所以(利用=0)只当第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics才可近似代之为第19页此时Ehrenfest方程才与经典牛顿方程形式上完全相同。要求在整个运动过程中成立，就要求：(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害，(b)V在空间变化较缓慢(
13、在波包范围中变化很小)。物理上，一个波包描述粒子的运动，要求为：（1）波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当；（2）势场V(r)在空间变化很缓慢；（3）在运动过程中波包扩散不太厉害。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics 粒子对原子的散射粒子对原子的散射原子的半径为a10-8cm，天然放射性元素放出的粒子能量约为37MeV，设E 5MeV，可估算出其动量p=(2m E)1/2 10-14g cm s-1。在对原子的散射过程中，粒子穿越原子的时间约为t a/v=m a/p,第20页x波包的扩散约为x=v*t=(p/m)*(m a/p)=(p/p)a.如要求粒子穿越过程
14、可近似用轨道运动来描述，就要求xa,即p/p 1，按不确定关系，p/x=/a 10-19g cm s-1，对天然放射性元素放出的粒子，p p，故可以用轨道来近似描述。若是电子对原子散射，对100MeV电子，pe 54-19g cm s-1，用轨道描述电子对原子的散射就不合适了。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics3 Schrdinger图象和Heisenberg图象第21页1 1、SchrdingerSchrdinger图象图象该图象中，态矢随时间演化，遵从该图象中，态矢随时间演化，遵从SchrdingerSchrdinger方程方程力学量力学量(算符，不显含算
15、符，不显含t)不随时间演化，讨论其不随时间演化，讨论其平均值和几率分布随时间的演化。例如，力学量平均值和几率分布随时间的演化。例如，力学量F的平均值随时间演化为的平均值随时间演化为力学量平均值及几率分布随时间的演化完全归结于波函数力学量平均值及几率分布随时间的演化完全归结于波函数.波函数波函数并不是直接观测的量，与实际观测有关的是力学量的平并不是直接观测的量，与实际观测有关的是力学量的平均值以及测值几率。它们随时间的演化存在其他均值以及测值几率。它们随时间的演化存在其他等价方式等价方式。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics描述体系状态的描述体系状态的矢量矢量不随
16、时间改变，但不随时间改变，但力学量力学量随时间演化。随时间演化。第22页2、Heisenberg图象（1 1）时间演化算符）时间演化算符引入引入时间演化算符时间演化算符U(t,0)，可视为体系状态随时间演化的连续变换，可视为体系状态随时间演化的连续变换可以证明：可以证明：A.A.U(t,0)为么正算符：为么正算符：B.B.H不显含不显含t时，可有时，可有第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics证明：第23页A.A.由于保证几率守恒由于保证几率守恒 (t),(t)=(0),(0)，有，有 即即U为为么正变换么正变换。B.(设设 H不显含不显含t)第5章 力学量随时间演
17、化和对称性 Quantum Mechanics第24页（2）Heisenberg方程可以证明：可以证明：此式称为此式称为Heisenberg方程，它描方程，它描述算符述算符F(t)随时间的演化。随时间的演化。证明：证明：第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第25页（3 3）S S图像与图像与H H图像的比较图像的比较在在S图象中，力学量图象中，力学量(算符算符)F不随时间变化，态矢不随时间变化，态矢(t)随时间演化，随时间演化，遵从遵从S方程方程H图象中，态矢不随时间演化，而力学量图象中，态矢不随时间演化，而力学量F(t)随时间演化，遵从随时间演化，遵从H方程方
18、程 两种图象是等价的。凡物理上可观测的结果都不会因所采取图象两种图象是等价的。凡物理上可观测的结果都不会因所采取图象不同而异。不同而异。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics例子：例子：1.1.自由粒子自由粒子.H=p2/2m,p,H=0,p为守恒量，所为守恒量，所以以p(t)=p(0)=p.第26页2.2.一维谐振子一维谐振子.第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第27页形式上与经典力学中谐振形式上与经典力学中谐振子的子的NewtonNewton方程一致。方程一致。通解为通解为利用初始条件利用初始条件第5章 力学量随时间演化和对称
19、性 Quantum Mechanics4 守恒量与对称性的关系第28页对称性无论对艺术还是自然科学，对称性都无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象是重要的研究对象.德国数学家魏尔（德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性）用严谨的概念描述对称性.他他对对称性做了如下定义：对对称性做了如下定义：如果对一个事物施加某种操作如果对一个事物施加某种操作,并且操作以后的情况与原来的完全并且操作以后的情况与原来的完全相同相同,则这个事物是对称的则这个事物是对称的,而这种操作就称为对称性操作。而这种操作就称为对称性操作。对称性对称性反映的是客观物质世界结构结构方面的
20、规律，而守恒律守恒律反映的是客观物质世界运动变化运动变化方面的规律。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics在量子力学中，我们将看到：在量子力学中，我们将看到：能量、动量、角动量能量、动量、角动量的守恒与的守恒与时空对称性时空对称性有密切关系。有密切关系。第29页空间平移不变性空间平移不变性 动量守恒动量守恒空间旋转不变性空间旋转不变性 角动量守恒角动量守恒空间反演对称性空间反演对称性 宇称守恒宇称守恒 一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密子力学中，运动
21、规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符顿算符H H，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符符H H的不变性。的不变性。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第30页体系的对称变换线性变换算符设体系的状态用设体系的状态用 描述，满足描述，满足S S方程方程考虑某种线性变换考虑某种线性变换Q Q(存在逆变换存在逆变换Q Q1 1 ，不依赖于时间，不依赖于时间)，在，在此变换下，此变换下，变化如下变化如下对称性要求对称性要求 与与 遵守相同的运动方程，即遵守相同的运动方程，即用用Q Q1 1运算运算要求要求Q Q1 1
22、HQ HQH H，即，即HQHQQHQH，或表成，或表成 这就是体系这就是体系HamiltonHamilton量在变换下不变性的数学表达。凡满足上式量在变换下不变性的数学表达。凡满足上式的变换，称为体系的对称变换。的变换，称为体系的对称变换。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第31页线性变换算符Q的性质考虑到几率守恒，要求则Q应为幺正算符，即对于连续变换，可以考虑无穷小变换，令 0，是刻画无穷小的实参数。即要求故 F 应为厄米算符，称为变换 Q 的无穷小算符.由于它是厄米算符，可用它来定义一个与Q 变换相联系的可观测量。体系在变换 Q 下的不变性Q,H=0，就
23、导致 故故F F就是体系的一个守恒量就是体系的一个守恒量.第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics2.平移不变性与动量守恒第32页xxxx D 考虑体系沿x轴方向的无限小平移描述体系状态的波函数变化如下：显然将上式中x的换成x-x，则有 第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第33页所以平移x的算符可表为 式中 为相应的无穷小算符。对于三维空间的无穷小平移p即动量算符。设体系具有平移不变性，D,H=0，则有p,H=0，此即动量守恒的条件。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics3.空间旋转不变性与角动量守恒第
24、34页先考虑一个简单情况，即体系绕z轴转无穷小角度,=+，波函数变化如下 对于标量波函数，则有 将上式中换成-，则有第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第35页所以绕z轴旋转 角的算符为 rrrr即角动量的z分量算符现考虑三维空间中绕某方向现考虑三维空间中绕某方向n n(单位矢单位矢)的无穷小旋转的无穷小旋转.在此变换下，标量波函在此变换下，标量波函数变化如下数变化如下 第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第36页即角动量算符。如体系具有空间旋转不变性，即角动量算符。如体系具有空间旋转不变性，R,H=0R,H=0，则导致则导致 L
25、,H=0L,H=0,即即角动量守恒的条件。角动量守恒的条件。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics4.空间反射不变性与宇称守恒第37页在空间反射变换在空间反射变换P P作用下作用下P P是线性算符。是线性算符。（1 1）算符）算符P P为厄米算符：为厄米算符：(A)由由(A)第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics（2 2）算符）算符P P为么正算符为么正算符：第38页按式按式(A)(A)，有，有 厄米性厄米性（3 3）算符）算符P P的本征值，奇偶宇称：的本征值，奇偶宇称：设设再用算符再用算符P P作用作用P P的本征值只有两个：的本
26、征值只有两个：1 1。1 1对应的本征态为偶宇称态对应的本征态为偶宇称态-1-1对应的本征态为奇宇称态对应的本征态为奇宇称态第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第39页（4 4）宇称为守恒量的条件）宇称为守恒量的条件设一体系具有空间反射不变性，即设一体系具有空间反射不变性，即宇称为守恒量宇称为守恒量。注意：注意：A.A.若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。称。一维谐振子的能量本征态一维谐振子的能量本征态 n n(x)(x)不简并，而宇称又为守恒量，由不简并，而宇称又为守恒量，由此可断定此可断定
27、n n(x)(x)必有确定宇称。事实上必有确定宇称。事实上宇称为宇称为-1-1n n。B.B.当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可。但总可以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第40页例子：对于一维自由粒子，例子：对于一维自由粒子，HamiltonHamilton量为量为显然有显然有P P（宇称）为守恒量（宇称）为守恒量H H的本征态可选为的本征态可选为e eikxikx与与e e-ikx-ikx(相应的能量相应的能量2
28、2k k2 2/2m/2m)，它们分别代表往，它们分别代表往正向与反向传播的平面波，也是动量的本征态正向与反向传播的平面波，也是动量的本征态 (本征值为本征值为k,-k,-k k)。这两个态都不是宇称的本征态这两个态都不是宇称的本征态(k=0k=0除外除外)，但可把两个解线性叠加，但可把两个解线性叠加，使之成为宇称的本征态，即使之成为宇称的本征态，即 对一维运动的自由粒子，由于存在两个守恒量：对一维运动的自由粒子，由于存在两个守恒量：p px x及宇称及宇称P P，而彼，而彼此又不对易，此又不对易，所以能级一般是简并的所以能级一般是简并的(k=0k=0 态除外态除外)。对三维运动的自由粒子，也
29、。对三维运动的自由粒子，也有类似情况，但简并度更高。有类似情况，但简并度更高。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第41页（5 5）态按宇称的奇偶的分类）态按宇称的奇偶的分类不具有一定宇称的态，总可以分成两部分之和，一部分具有偶不具有一定宇称的态，总可以分成两部分之和，一部分具有偶宇称，另一部分具有奇宇称，即宇称，另一部分具有奇宇称，即例如，一维自由粒子波函数例如，一维自由粒子波函数 e eikxikx不具有确定宇称，但不具有确定宇称，但其中其中cos kxcos kx宇称为偶，宇称为偶，sin kxsin kx宇称为奇。宇称为奇。（6 6）奇、偶宇称算符）奇、
30、偶宇称算符算符也可按其在空间反射下的性质性质分类A.A.偶宇称算符偶宇称算符:设算符设算符A A满足满足这种算符称为偶宇称算符。例如，角这种算符称为偶宇称算符。例如，角动量算符，动能算符都是动量算符，动能算符都是偶宇称算符偶宇称算符。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第42页B.B.奇宇称算符奇宇称算符:假设算符假设算符A A满足满足 则称则称 A A 为为奇宇称算符奇宇称算符，例如动量，例如动量 p p 和位置和位置 r r 等。等。一般地，算符一般地，算符 A A 不一定具有这种性质，但总可以表示成不一定具有这种性质，但总可以表示成不难证明不难证明:第5章
31、 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics5 全同粒子与波函数的交换对称性1.全同粒子系的交换对称性 （1）全同粒子 质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等固有性质完全相同的微观粒子.第43页（2）经典粒子的可区分性 在经典力学中，尽管两个粒子的固有性质完全相同，但仍可区分这两个粒子。因为它们在运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时刻，都有确定的轨道和速度。轨轨道道速速度度位位置置 可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子12第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics量子力学微观粒子状态用用波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区 粒粒子子是不可区分的是不可
32、区分的（4）全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变,即具有交换对称性。全同性原理是量子力学的基本原理之一。全同性原理是量子力学的基本原理之一。l44（3）微观粒子的不可区分性第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第45页全同粒子组成的多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称性。例子：氦原子中的两个电子组成的体系，Hamilton量为两个电子交换时，H显然不变，即P12HP12-1=H，也即P12,H=0.第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mecha
33、nicsReviewReview 1.线性变换Q,Q,H=0,体系的对称变换。幺正变换，Q+Q=QQ+=I2.无穷小算符 F Q=I+iF,F+=F.空间平移不变性 动量守恒 空间旋转不变性 角动量守恒 空间反演对称性 宇称守恒 3.全同粒子，经典粒子可区分性，量子力学中微观粒子不可区分性。4.全同粒子体系交换对称性。第46页第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第47页对于全同粒子体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不变的，因为一切测量结果都不会因此有所改变。这样，就给描述全同粒子系带来很强的限制，即要求全同粒子系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性。考虑N个
34、全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数(q1,qi,qj,)描述，qi(i=1,2,n)表示每一个粒子的全部坐标（包括空间坐标和自旋坐标）。设Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部交换，即这两个波函数（与Pij）所描述的量子态有何不同？没有不同，因一切测量结果都说不出有什么差别。若说“不同”，不过“第 i i粒子”与“第 j j粒子”对调了一下，但因粒子的内禀属性完全相同，两种情况无法区分。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第48页故只能认为与Pij描述的是同一个量子态，即它们最多可相差一个因子C，用Pij再运算一次，得显然Pij21，所以C21，因而C1。P
35、ij有（而且只有）两个本征值1。即全同粒子系的波函数必须满足下面的关系之一式中ij=1,2,3.N。凡满足Pij=的，称为对称波函数；满足 Pij=-的，称为反对称波函数。所以，全同粒子系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics第49页由于所有的Pij 为守恒量，全同粒子系的波函数的交换对称性是不随时间变化的；或者说全同粒子的统计性（Bose统计或Fermi统计）是不变的。由此得出结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。第5章 力学
36、量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。(1)Bose 子凡自旋为 整数倍（s=0，1，2，)的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子如：光子（s=1）；介子（s=0）。(2)Fermi 子凡自旋为 半奇数倍（s=1/2，3/2，)的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。例如：电子、质子、中子（例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。）等粒子。Fermi子和
37、Bose子50第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics(3)由“基本粒子”组成的复杂粒子如：如：粒子（氦核）或其他原子核。粒子（氦核）或其他原子核。如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒全同粒子来处理。子来处理。子子粒粒子子）是是（氘氘核核）和和例例如如：BoseHeH 242121子子是是（氚氚核核）和和例例如如：FermiHeH132131奇数个Fermi子组成偶数个Fermi子组成l51波色子波色子组成
38、的复杂粒子，仍然是组成的复杂粒子，仍然是波色子波色子。偶数偶数个个费米子费米子组成的复杂粒子，是组成的复杂粒子，是波色子波色子。奇数个奇数个费米子组成的复杂粒子，是费米子组成的复杂粒子，是费米子费米子。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics（1）对称和反对称波函数的构成2 2 个全同粒子个全同粒子HamiltonHamilton 量量)()()()(22201021222212qHqHqVqVH )()()()()222011100qqqHqqqHHiiiiii （设设其其不不显显含含时时间间，则则对对全全同同粒粒子子是是一一样样的的，单粒子波函数两个全同粒子波函
39、数k(qn)为相应的归一化的单粒子波函数l52第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics交换简并粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：)()(),2121qqqqEjiji （验证：),),2121qqEqqH（粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为：)()(),1212qqqqEjiji （)()()()(),)()(212010212010qqqHqHqqqHqHji （)()()()()()(22012110qqHqqqqHjiji )()()()(2121qqqqjijjii )()()(21qqjiji ),21
40、qqE（状态(q1,q2),(q2,q1)的能量是简并的，它们由交换两个粒子得到，称为交换简并。l53第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而 (q1,q2)和 (q2,q1)仅当 i=j 二态相同时，才是一个对称波函数；当 i j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以 (q1,q2)和 (q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数),),),),),),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（C 为归一化系数为归一化系数显然 S(q1,q2)和 A(q1,
41、q2)都是 H 的本征函数，本征值皆为：jiE l54第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics S S 和和 A A 的归一化的归一化若若单粒子波函数是正交归一化的，单粒子波函数是正交归一化的，则则 (q(q1 1,q,q2 2)和和 (q(q2 2,q q1 1)也是正交归一化的也是正交归一化的证：1)()()()(),),222*111*21212*1*212121*dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji （同理：同理：1),),211212*dqdqqqqq（0)()()()(),),222*111*21211*2*212112*dq
42、qqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji （而而同理：同理：0),),211221*dqdqqqqq（证毕证毕首先证明l55第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics21122112*21*221*),),),),1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（然后考虑S 和 A 归一化211212*1221*2112*2121*2),),),),),),),),dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（212100122 CCC则归一化的则归一化的 S S),),21),122121qqqqqqS（同理对同理对 A A 有：有：),),21),122
43、121qqqqqqA（l56第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics全同性是个可观测的效应例:设有两个全同的自由粒子，都属于动量的本征态（本征值为 ）。下面分三种情况讨论它们在空间的相对距离的几率分布：第57页(a)没有交换对称性。在不计及交换对称性 时，两粒子的波函数可表示为分别表示相对坐标，质心坐标，相对动量和总动量，上式之逆表示式是第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics略去质心运动部分，相对运动的波函数为第58页这样，在距离一个粒子半径在(r,r+dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为式中P(r)表示几率密度。由上式可以看出 P(
44、r)=1/(2)3是常数（与r无关）。(b)交换反对称波函数。当粒子 交换时，R不变，这样反对称相对运动波函数就可表示为第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics由此可以计算出第59页(c)交换对称波函数。类似可求出，第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics（1）Shrdinger 方程的解上述上述对对2 2个全同粒子的讨论可以推广到个全同粒子的讨论可以推广到N N个全同粒子体系，设粒子间个全同粒子体系，设粒子间无相互作用无相互作用，单粒子，单粒子H H0 0 不显含时间，则体系不显含时间，则体系)()()()(0102010nNnNqHq
45、HqHqHH )()()()()()()022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH （)()()(),(2121NkjiNkjiqqqqqqEEHShrodinger 其其解解为为：方方程程：体体系系单粒子本单粒子本征方程：征方程：N 个全同粒子体系波函数l60第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics（2）Bose 子体系和波函数对称化)()()21),),21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS （2 个Bose 子体系，其对称化波函数是：N 个Bose 子体系，其对称化波函数可类推是：nk 是单粒子态k 上的粒子数l61
46、P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics例:N=3 Bose 子体系,，设有三个单粒子态分别记为 1、2、3，求：该体系对称化的波函数。1 1 11231122331223311321321322311221331123321,)()()()()3!)()()()()()()()()Sqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq（I.n1=n2=n3=1II.n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0)()(),312111321300qqqqqqS （)()(),322212321030qq
47、qqqqS （)()(),332313321003qqqqqqS （III.n1=2，n2=1，n3=0。)()()()()()()!3!0!1!2),122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS （另外另外还有还有 5 种可能的状态，分别是：种可能的状态，分别是：l62第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanicsn1=1，n2=0，n3=2)()()()()()()!3!2!0!1),132331331321332311321102qqqqqqqqqqqqS （n1=0，n2=1，n3=2)()()()()()()!3!2!1!0),13
48、2332331322332312321012qqqqqqqqqqqqS （n1=0，n2=2，n3=1)()()()()()()!3!1!2!0),132232233212332212321021qqqqqqqqqqqqS （n1=1，n2=2，n3=0)()()()()()()!3!0!2!1),122231321221322211321120qqqqqqqqqqqqS （n1=2，n2=0，n3=1)()()()()()()!3!1!0!2),132131233111332111321201qqqqqqqqqqqqS （l63第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechani
49、cs（3）Fermi 子体系和波函数反对称化2 个Fermi 子体系，其反对称化波函数是：)()()()(21),),21),2121122121qqqqqqqqqqjjiiA （行列式的性质保证行列式的性质保证了波函数反对称化了波函数反对称化推广到N 个Fermi 子体系：)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。l64第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics（1）二 Fermi 子体系其反对
50、称化波函数为：其反对称化波函数为：)()()()(21)()()21),2121122121qqqqqqqqqqjjiijijiA （若二粒子处于相同态，例如都处于 i 态，则0)()()21),122121 qqqqqqiiiiA （)()()()(212121qqqqiiii 写成写成 行列式行列式两行相同，行列式为 0（2）N Fermi 子体系)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （三）Pauli 原理l65第5章 力学量随时间演化和对称性 Quantum Mechanics0)()()()()()()()(
