1、数学试题（第 1 页，共 12 页） 莱州市 2021 高三上学期入学测试 数学试题 注意事项：注意事项： 1本试题满分 100 分。 2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。 3使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。超出答题区书写 的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分，共分，共 40 分分。在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，第第 17 题题只只 有一项符合题目要求有一项符合题目要求，第，第 810 题有多项符合题目要求。全部选对的得题有多项符合题目
2、要求。全部选对的得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 1.设集合1,2,4A， 3Bx yx，则AB A. 1 B. 4 C.1,4 D.2,4 2.复数 12i 1i z 的共轭复数为 A. 13i 2 z B. 1+3i 2 z C.13iz D.1+3iz 3.若直线3yx的倾斜角为，则sin2的值为 A. 4 5 B. 4 5 C. 3 5 D. 3 5 - 4. 若向量 (1,2)a ， ( , 2)xb ，且ab，则 a+b A.6 B.5 C.4 D.3 5.若函数 2 1 ln 2 f xxxax有两个不同的极值点，则实数
3、a的取值范围是 A. 1 4 a B. 1 0 4 a C. 1 4 a D. 1 0 4 a 6.易经是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、 坤、 巽、 震、 坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成 （表示一根阳线，表示一根阴线），现有3人各自随机的从 八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率 数学试题（第 2 页，共 12 页） 为 A. 297 2744 B. 99 2744 C. 675 21952 D. 225 21952 7.已知函数 2sin0f xx在,20 xaa上最大值为1且递增， 则2a 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 8.
4、下列命题中的真命题为 A.命题“ 2 ,0 xxx R”的否定是“对于 2 ,0 xxx R” B.已知, a bR，则“2 2 ab ”是“ 22 loglogab”的必要不充分条件 C.若幂函数的图象经过点 1 (2, ) 4 ，则它的单调递增区间是(,0) D.函数 lg 10 x y 与函数 1 2 yx 的定义域和值域都相同 9.已知数列 n a为等差数列， 1 1a ，且 2 a， 4 a， 8 a是一个等比数列中的相邻三项， 记2 n a nn ba ，则 n b的前n项和可以是 A.n B.2n C. 1 22 n D. 1 (1)22 n n 10.已知正方体 1111 AB
5、CDABC D的棱长为a，点,E F G分别棱 111 ,AB AA C D的中点，下列结论 正确的是 A. 1 BD 平面 1 ACB B.四面体 11 ACB D的体积等于 3 1 2 a C.FG与平面ABCD所成角的正切值为 5 5 D. 11/ / B D平面EFG 二、填空题：二、填空题：本大题共有本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分。 11. 8 1 (2) 2 x x 展开式的第五项的系数为 12.已知( )f x是定义在R上的奇函数，若( )f x的图象向左平移2个单位长度后关于y轴对称，且 (1)1f，则(4)(5)ff 13.过抛物线
6、 2 2(0)ypx p的焦点F且斜率大于 0 的直线l交抛物线于点,A B(点A于第一象 数学试题（第 3 页，共 12 页） 限)，交其准线于点C，若3BCBF，则直线AB的斜率为 14.已知R， 函数 32, ( ) 2, xxx f x xx ， 当0时， 不等式( )0f x 的解集是_； 若函数( )f x恰有 2 个零点，则的取值范围是_（本题每空 2 分） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，个小题，共共 44 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 8 分） 在四边形ABCD中，AC ，E是
7、AD上的点且 满足BED与ABD相似， 3 4 AEB ， 6 DBE ， 6DE . (1)求BD的长度； (2)求三角形BCD面积的最大值. 16.（本小题满分 8 分） 在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，=2AB AD ， 三角形PBD是边长为2 2的正三角形，2 3PA. （1）证明：PCABCD 平面； （2）若E为BC中点，F在线段DE上，且 2 5 DFDE，求二面角FPA C的大小. 17 （本小题满分 9 分） 2019年 6 月 25日， 固体废物污染环境防治法（修订草案） 初次提请全国人大常委会审议，草 案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定草案提出，国家
8、推行生活垃圾分类制度为 了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问 卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000人（其中 450 人为女性）的得分（满分：100 分）数据，统计结果如表所示： 数学试题（第 4 页，共 12 页） 得分 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 男性人数 15 90 130 100 125 60 30 女性人数 10 60 70 150 100 40 20 （1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布,210N，近似为这 1000
9、 人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表） ，请利用正态分布的知识求 50.594PZ； （2） 把市民分为对垃圾分类 “比较了解”（不低于 60 分的） 和 “不太了解”（低于 60 分的） 两类， 请完成如下22 列联表，并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾 分类的了解程度与性别有关? (3) 从 得 分 不 低 于80分 的 被 调 查 者 中 采 用 分 层 抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人, 求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望. 参考数据: 21014.5 ；若 2 ,XN ，则0.6827PX， 220.9545PX，330.9973PX； 2
10、 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd ， .nabcd 18.（本小题满分 9 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，点P 2 63 (,) 33 在C上 （1）求椭圆C的标准方程； 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 数学试题（第 5 页，共 12 页） （2） 设O为坐标原点， 1 (0,) 2 H， 试判断在椭圆C上是否存在三个不同点,Q M N
11、(其中,M N 的纵坐标不相等)，满足 1 2 OMONOQ，且直线HM与直线HN倾斜角互补？若存在，求 出直线MN的方程，若不存在，说明理由. 19. .（本小题满分 10 分） 已知 2 ( )ln1 2 a f xxxx （1）若( )f x在其定义域上为单调递减函数，求实数a的取值范围； （2）若函数( )( )cossinln1g xf xxxxxx在0, 2 上有 1 个零点. （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：若1x ，则不等式 2 (1) ( )ln 2 a xf xxaxx成立. 数学试题（第 6 页，共 12 页） 数学参考答案 一、选择题一、选择题 1.B 2.
12、A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.C 8.BCD 9.BD 10.AC 二、填空题二、填空题 11. 70 12. 1 13. 2 2 14. ( 2,1) ；2或01 三、解答题三、解答题 15. 解： （1） 4 BEDAEB , 在三角形BDE中， sinsin DEBD DBEBED ， 即 6 sinsin 64 BD ， 2 分 所以 6 1 2 2 2 BD ，6 2BD； 4 分 (2)因为BEDABD，所以C A 6 DBE ， 5 分 在三角形BDC中， 222 2cos 6 BDDCBCDC BC ， 所以 22 723DCBCDC BC， 6 分 所以7223DC
13、 BCDC BC， 所以 72 2+ 3DC BC ， 7 分 所以 11 sin72 2+ 318 2+ 3 264 BCD SDC BC ， 所以三角形BCD面积的最大值为36 18 3. 8 分 16.解：(1)因为22 2ABADBD，所以 222 +=ABADBD，所以ABAD， 又因为ABCD为平行四边形，所以ABBC,ADDC ， 1 分 因为22 2,2 3ABBPPA，所以 222 +=ABBPAP，所以ABBP， 因为PBBCB,所以ABBPC 平面,所以ABCP, 2 分 因为22 2,2 3ADPPA，D，所以 222 +=ADDPAP，所以ADDP， 数学试题（第 7
14、 页，共 12 页） 因为PDDCD,所以ADPCD 平面,所以ADCP, 3 分 因为ADABA,所以PCABCD 平面. 4 分 (2)由 (1)知，,CD CB CP两两垂直，分别以,CD CB CP所在的直线为, ,x y z轴，建立如图 所示的平面直角坐标系，在三角形PBC中， 22 2PCPBBC,则(2,2,0)A, (0,2,0)B,(0,0,0)C, (2,0,0)D,(0,1,0)E,(0,0,2)P, 5 分 所 以(2 , 1 , 0 )DE ， 24 2 (,0) 55 5 DFDE , 48 (,0) 55 AFADDF , (2,2, 2)PA ,设平面PAF的一
15、个法向量为( , , )x y zm， 则 0 0 AF PA m m ，即 48 0 55 2220 xy xyz ， 令1y ，得2x，1z ，于是取( 2,1, 1) m ， 6 分 又由 (1)知，底面ABCD为正方形，所以ACBD , 因为PCABCD 平面，所以PCBD , 因为ACPCC,所以BDACP 平面. 所以(2, 2,0)BD 平面PAC的一个法向量， 7 分 设二面角FPA C的大小为， 则 63 coscos, 268 BD BD BD m m m ， 所以二面角FPA C的大小为 6 . 8 分 17.解：由题意知： 35 0.02545 0.1555 0.265
16、 0.2575 0.22585 0.1 95 0.0565 ， 数学试题（第 8 页，共 12 页） 1 分 又50.5 65210 ，94 652 210 ， 所以 11 (50.594)0.68270.95450.8186 22 PZ. 2 分 （2）由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 合计 男性 235 315 550 女性 140 310 450 合计 375 625 1000 3 分 2 2 1000 (235 310315 140) 14.2496.635 375 625 550 450 K ， 4 分 所以有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. 5 分 （3
17、）不低于80分的被调查者的男女比例为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取10人中，男性为6 人，女性为4人. 6 分 设从这10人中随机抽取的3人中男性人数为，则的取值为0,1,2,3 3 4 3 10 1 (0) 30 C P C ， 21 46 3 10 3 (1) 10 C C P C ， 12 46 3 10 1 (2) 2 C C P C ， 3 6 3 10 1 (3) 6 C P C ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 8 分 所以其期望 3119 ( )23 10265 E 9 分 数学试题（第 9 页，共 12 页） 18.解：
18、（1）由题意知 可得 3 2 c a ， 222 abc， 22 81 1 33ab ，解得2a，1b，2 分 则椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； 3 分 （2）由题意，直线MN的斜率存在且不为 0，设直线MN方程为ykxm， 设点 1122 ( ,),(,)M x yN x y， 联立 2 2 1 4 m y ykx x ，得 222 (41)4084kkxmxm， 所以 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k ， 1212 2 2 ()2 14 m yyk xxm k ， 因为 1 2 OMONOQ， 所以 22 164 (,) 1414
19、kmm Q kk ， 因为Q在椭圆上，所以 2 2 2 2 16 () 4 14 ()1 414 km m k k ， 化简得 22 1614mk ， 5 分 满足0 ， 又因为直线HM与直线HN倾斜角互补， 所以0 HEHF kk， 所以 12 12 11 22 0 yy xx ， 数学试题（第 10 页，共 12 页） 所以 12 12 11 22 0 kxmkxm xx ， 所以 1212 1 2()()0 2 kx xmxx， 所以 2 4 (2) 0 14 k m k ， 7 分 因为 0k ，所以 2m ，代入 22 1614mk 得 3 7 2 k ， 8 分 所以存在满足条件的
20、三个点，此时直线MN的方程为 3 7 2 2 yx或 3 7 2 2 yx . 9 分 19.解:（1）( )ln10fxxax 在(0,)上恒成立， 1 分 所以 ln1x a x ， 令 ln1 ( ) x h x x ，则 2 ln ( ) x h x x ， 由 2 ln 0 x x ，得1x ，所以( )h x在(1,)单调递增， 由 2 ln 0 x x ，得01x，所以( )h x在(0,1)单调递减， 所以当1x 时，( )h x取得最小值(1)1h ， 2 分 所以1a. 3 分 （2）（i） 2 ( )cossin ,0, 22 a g xxxxx x 所以( )(sin
21、)g xx ax， 当1a 时，sin0ax，所以( )g x在0, 2 单调递增， 又因为(0)0g，所以( )g x在0, 2 上无零点. 4 分 数学试题（第 11 页，共 12 页） 当01a时， 0 0, 2 x 使得 0 sinxa，所以( )g x在 0, 2 x 单调递减，在 0 0,x单调 递增，又因为(0)0g， 2 ( )1 28 a g ， 所以若 2 10 8 a ，即 2 8 a 时，( )g x在0, 2 上无零点， 5 分 若 2 10 8 a ，即 2 8 0a 时，( )g x在0, 2 上有一个零点， 6 分 当0a时( )sin0g xaxx，( )g
22、x在0, 2 上单调递减， ( )g x在0, 2 上无零点， 综上当 2 8 0a 时，( )g x在0, 2 上有一个零点 7 分 （ii）证明：要证当1x 时， 2 (1) ( )ln 2 a xf xxaxx ， 只需证(1) ln1lnxxxaxx 只需证 1ln ln 1 x xa xx ， 8 分 设 1 ( )lnF xx x ，1x 22 111 ( ) x F x xxx ，所以( )F x在 1,上单调递增， ，( )F x (1)1F， 由（1）知，1a时，( )ln10fxxx ，即ln1xx，当且仅当1x 时取等号， 所以当1x 时，ln1xx 即 ln 1 1 x
23、 x ， 所以 1ln ln 1 x x xx ， 9 分 又因为 2 8 0a ，所以1a ， 数学试题（第 12 页，共 12 页） 所以 lnln 11 xx a xx ， 所以 1ln ln 1 x xa xx 即1x ，不等式 2 (1) ( )ln 2 a xf xxaxx成立. 10 分 （法二）证明：要证当1x 时， 2 (1) ( )ln 2 a xf xxaxx ， 只需证(1) ln1lnxxxaxx 只需 1 (1)lnln x xxax 8 分 又因为 2 8 0a ，所以1a ， 只需证， 1 (1)lnln x xxx 9 分 只需只需 1 lnxx 且且 1 ln1x x 设 1 ( )lnF xx x ，1x 22 111 ( ) x F x xxx ，所以( )F x在 1,上单调递增， ，( )F x (1)1F， 由（1）知，1a时，( )ln10fxxx ，即ln1xx，当且仅当1x 时取等号， 所以当1x 时，ln1xx 即1x ，不等式 2 (1) ( )ln 2 a xf xxaxx成立. 10 分
