1、函数的单调性函数的单调性如皋中学如皋中学谢琴琴谢琴琴问题一：添加文本添加文本观察黑板上的三幅图，思考：观察黑板上的三幅图，思考：1 1、从左往右看，图象呈什么趋势？、从左往右看，图象呈什么趋势？2 2、“从左往右看，函数图象上升或者下降的趋势从左往右看，函数图象上升或者下降的趋势”是什么意思呢？如何用数学语言来描述呢？是什么意思呢？如何用数学语言来描述呢？添加文本添加文本xyO2()f xx添加文本添加文本)(1xfOxy2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文
2、本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本)(1xfOyx2()f xx1x添加文本添加文本问题一：从左往右看，从左往右看，图象呈上升趋势图象呈上升趋势 函数值函数值y y随自变量随自变量x x的增大而增大；的增大而增大；图象呈下降趋势图象呈下降趋势 函数值函数值y y随自变量随自变量x x的增大而减小。的增大而减小。添加文本添加文本Oyx2()f xx2x1x1()f x2()f x添加文本添加文本Oyx2()f xx2x1x
3、1()f x2()f x添加文本添加文本Oyx2()f xx2x1x1()f x2()f x添加文本添加文本问题二：如何用符号化的数学语言来准确刻画函数值随自变如何用符号化的数学语言来准确刻画函数值随自变量的增大而增大？量的增大而增大？函数的单调性是一个区间上的性质。函数的单调性是一个区间上的性质。添加文本添加文本Oyx2()f xx2x1x1()f x2()f xab取值要满足怎样的性质呢？取值要满足怎样的性质呢？添加文本添加文本定义：同学们能否类似单调增函数的定义，量化函同学们能否类似单调增函数的定义，量化函数值随自变量的增大而减小，得出单调减函数数值随自变量的增大而减小，得出单调减函数的
4、定义呢？的定义呢？一般地，设函数一般地，设函数y=y=f f(x x)的定义域为的定义域为A A，区间，区间I IA A.如果对于区间如果对于区间I I内任意的两个值内任意的两个值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2时，都有时，都有f f(x x1 1)f f(x x2 2)，那么就说，那么就说y=y=f f(x x)在区在区间间I I上是单调增函数，上是单调增函数，I I称为称为y=f(x)y=f(x)的单调增区间。的单调增区间。添加文本添加文本辨析：1、取值要满足任意性；2、单调性是区间上的性质，在说单调增函数或者是单调减函数时一定要加上区间。注意：注意：1.11.
5、1变式：变式：定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)在区间在区间I I上满足：对任意的上满足：对任意的x x11x x2 2，都有，都有f f(x x1)1)f f(x x2),2),则函数则函数f(x)f(x)是单调增函数。是单调增函数。添加文本添加文本说出单调区间：当单调增区间或者是单调减区间不止一个时，这些当单调增区间或者是单调减区间不止一个时，这些区间之间区间之间不能不能用用“U U”连接，连接，应该用应该用“和和”或者是或者是“，”连接。连接。添加文本例：求证：函数求证：函数 在（在（0 0，+）上是增函数）上是增函数11)(xxf证明：任取证明：任取 且且),0(,21
6、 xx21xx 21()()f xf x)11()11(12xx2111xx2112xxxx 210，xx21()()0f xf x函数函数 在（在（0 0，+）上是增函数）上是增函数.1)(2 xxf设值设值作差、变形作差、变形定号定号下结论下结论添加文本添加文本设值设值：设：设x x1 1 ，x x2 2是给定区间内的两个是给定区间内的两个任意任意值，且值，且x x1 1 x x 2 2）；）；作差，变形作差，变形：作差：作差f f(x x1 1)f f(x x2 2)，并将此差式变形，并将此差式变形，化成积或者是商的形式；化成积或者是商的形式；定号定号：判断：判断f f(x x1 1)f f(x x2 2)的正负（要有充分性，化的正负（要有充分性，化成含有成含有x x1 1x x2 2的形式）的形式）,必要时要讨论；必要时要讨论；下结论下结论：根据定义得出其单调性：根据定义得出其单调性.证明函数单调性的证明函数单调性的一般步骤一般步骤：添加文本添加文本小结：1 1、函数的单调性定义；、函数的单调性定义；2 2、如何判断函数的单调性；、如何判断函数的单调性；3 3、根据定义法判断函数单调性的一般步骤、根据定义法判断函数单调性的一般步骤。
