1、 数学语言及其 教学策略 成都师范学院数学学院 李兴贵一 、为什么要谈数学阅读 1.数学学科教学本真的回归 数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言，是描述科学(自然科学、社会科学、管理科学等）的语言。“数学不过是语言所能达到的最高境界”。-美美心理学家布龙菲尔德（心理学家布龙菲尔德（L.Bloonfield）“数学教学也就是数学语言的教学。”-苏苏斯托利亚尔斯托利亚尔 语言的学习离不开阅读，所以，数学的学习不能离开阅读。2.新课程改革的要求 数学课程标准中有17处提到“阅读”。有28处提到“读”。2011年版年版义务教育课程标准义务教育课程标准对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、
2、表格、文字等多对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材，提高他们的学种方式，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材，提高他们的学习兴趣。对于第二学段的学生，由于他们具备了一定的文字理解和表习兴趣。对于第二学段的学生，由于他们具备了一定的文字理解和表达能力，所以教材的呈现应在运用学生感兴趣的图片、表格、文字等达能力，所以教材的呈现应在运用学生感兴趣的图片、表格、文字等形式的同时，逐渐增加数学语言的比重。对于第三学段的学生，随着形式的同时，逐渐增加数学语言的比重。对于第三学段的学生，随着数学学习、语言学习的深入，他们使用文字和数学符
3、号的能力已经有数学学习、语言学习的深入，他们使用文字和数学符号的能力已经有了一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、了一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式结合起来数学符号等多种形式结合起来鼓励学生用自己的语言和数学语言正确地表达他们发现的规律。鼓励学生用自己的语言和数学语言正确地表达他们发现的规律。出现关键词：科学语言（出现关键词：科学语言（1）数学语言（）数学语言（2）语言（）语言（14）文本（）文本（4）文）文字（字（12）图形、图表（）图形、图表（166）“数学阅读数学阅读”是新课程提倡的学习数学的重是新课程提倡的学习数学的重
4、要方式。要方式。4.提高数学理解记忆的水平 “书读百遍，其义自见”【美】爱德华戴尔学习金子塔理论：听讲24小时后记住5%，阅读24小时后记忆10%。3.学习现代科技的需要 “数学是描述科学的语言和工具”，一个人要不断地获取新的现代科学技术和生存需要的知识，就必须具有较强的数学阅读能力。5.进行数学文化教育的有效途径 案例：一个中学生的数学阅读的体会与感悟 我以前对数学学习不很感兴趣，把学习数学当成做做题，完成老师布置的作业。后来我假期偶然翻阅寓言与数学对数学产生了一定的兴趣，接着阅读二十世纪数学经纬和数学的发明,结果是不看不知道，一看吓一跳。数学的深奥，数学运用的广泛，给予了我以巨大震动。通过
5、这些阅读使我如痴如醉遨游于数学的海洋，没有学校里所做数学题的无聊和令人厌烦，数学引人入胜，充满乐趣。我想也许这才是真正的数学：一系列艰深难懂的理论；令人眼界大开的推理；极为严密的逻辑从这里我隐约体会到数学的巨大力量，感觉到数学真的伟大。也在这时我才觉得在学校所学的数学是如此沧海一粟，不足挂齿，或者说与我读数学书籍时的感觉迥然不同，甚至我怀疑学校里学的是否是数学。也许“数学题”与“数学”是毫不相同的两个概念。我觉得：做题，无论对我的数学素养还是数学知识面，都只能事倍功半。学校里学的“数学”极少，训练的最多的是我们的模仿能力，我们依靠模仿能力，临摹格式照搬模仿，去完成无数不知其用处的题。数学在哪里
6、，数学是什么？绝大多数学生都是糊涂的，或者压根从没思考过。我想，在亿万“受苦受难”的同胞中，我还算一个比较清醒的受虐者。我知道：数学如此博大精深，绝不是做题能领悟的；数学如此之重要，也不是几道题能表现的。数学是有趣的，数学是辉煌的，数学是伟大的，这些都是我在数学阅读后才真正能体会到的。数学阅读时看数学材料，领会、理解其中的数学知识、方法、思想，经历数学产生、发展、演绎和形成的过程，是自觉接受数学文化，欣赏数学美的过程。6.提高学生的自主学习能力。数学阅读的最终目的是始学生学会学习。7.转变学生的学习方式二、数学阅读的界定 1.数学阅读概念的界定 数学阅读是指学生个体根据已有的数学知识和经验，通
7、过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息、吸取知识、发展数学思维、学习数学语言的重要途径。数学阅读数学阅读是一个完整的心理活是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。推理的积极能动的认知过程。2.数学阅读的特点数学阅读需要较强的逻辑思维
8、能力；数学阅读要求认真细致，反复推敲，是一个细读和精读的过程（精致性）。浏览、快速阅读等阅读方式不太适浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习合数学阅读学习。数学阅读是手脑并用，读写结合过程。数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活。数学阅读具有连续性，不能跳跃和间断。三、数学阅读能力基本成分与层次划分 1.数学阅读能力的基本成分 （1）语言转换能力 数学阅读与一般阅读不同，一般阅读中阅读和理解溶为一体。这一方面是由于我们经常使用汉字的缘故，一方面也是由于我们头脑中已有汉语词汇的大量图式。但数学语言不同，数学语言中的专有名词、术语、符号、图形往往不为人熟知和了解，而且阅读时要在三种语言（文
9、字语言、符号语言、图形语言）之间频繁的相互转换，因而数学阅读的顺利进行离不开对数学三种语言的感知和理解。所以数学阅读首先要过语言关即要具有三种语言的相互转换能力。（2）逻辑思维能力 较强的逻辑思维能力是数学阅读与一般阅读最大的较强的逻辑思维能力是数学阅读与一般阅读最大的区别。在数学阅读过程中，区别。在数学阅读过程中，逻辑思维能力主要表现为分逻辑思维能力主要表现为分析能力和概括能力。析能力和概括能力。在数学阅读中表现出的分析能力就是能够厘清各部在数学阅读中表现出的分析能力就是能够厘清各部分材料间的逻辑关系和总体思路。数学阅读由于数学材分材料间的逻辑关系和总体思路。数学阅读由于数学材料编写的逻辑严
10、谨性及数学料编写的逻辑严谨性及数学“言必有据言必有据”的特点，以致的特点，以致经常出现这种情况，认识一段数学材料中的文字、符号，经常出现这种情况，认识一段数学材料中的文字、符号，却不能理解其中的推理和意义。由此看来，分析能力是却不能理解其中的推理和意义。由此看来，分析能力是数学阅读能力中的一项基本能力，是促进理解的原动力。数学阅读能力中的一项基本能力，是促进理解的原动力。概括能力是指从数学材料中抽出最重要的东西以及概括能力是指从数学材料中抽出最重要的东西以及从外表不同的数学材料中看出共同点的能力。因此，在从外表不同的数学材料中看出共同点的能力。因此，在数学阅读中，概括能力同样处于一种基础的地位
11、，它能数学阅读中，概括能力同样处于一种基础的地位，它能实现数学材料的内化，形成知识的迁移。实现数学材料的内化，形成知识的迁移。（3）联想记忆能力 联想记忆能力指可以将数学材料与已有的认知结构发生联系，主动寻求原有认知结构中的有关信息并进行类比、联想、记忆，以加快对新知的同化和顺应，加快对认知结构的构建或完善已有的认知结构的能力。(4)元阅读能力元阅读能力是指读者对阅读过程的自我意识、自我监控的能力。认知阅读心理学家认为，阅读监控的作用在于保证阅读认知阅读心理学家认为，阅读监控的作用在于保证阅读者有效地达到自己的阅读目的。可分为设定目标、制订计者有效地达到自己的阅读目的。可分为设定目标、制订计划
12、、选择策略、检验目标、做出补救等一些措施。对于熟划、选择策略、检验目标、做出补救等一些措施。对于熟练的阅读者来说，理解监控在开始阅读时便已出现，并贯练的阅读者来说，理解监控在开始阅读时便已出现，并贯穿于阅读过程之始终。穿于阅读过程之始终。数学阅读是一个复杂的过程，往往需要付出艰辛的努力，同时要求阅读者具有良好的策略和阅读监控的能力，才能达到预期的效果。2.数学阅读能力的层次划分机械性阅读水平（阅读时停留在对一个术语、一个符号、一个（阅读时停留在对一个术语、一个符号、一个公式、一句话等的直接的、字面意义的理解上，试图记住材料中的结公式、一句话等的直接的、字面意义的理解上，试图记住材料中的结论，并
13、按规定的程序解题。机械性阅读水平仅仅可以实现阅读材料的论，并按规定的程序解题。机械性阅读水平仅仅可以实现阅读材料的一些基本理解要求）；一些基本理解要求）；被动理解性阅读水平（能弄清概念的实质及公式、定理、法（能弄清概念的实质及公式、定理、法则的条件与结论，以及推导的依据和思路。但就本质而言，依然处于则的条件与结论，以及推导的依据和思路。但就本质而言，依然处于被动接受状态，即通过阅读，首先获得材料的结论信息，然后通过思被动接受状态，即通过阅读，首先获得材料的结论信息，然后通过思考理解该结论，进而掌握结论的阅读。）考理解该结论，进而掌握结论的阅读。）主动探索性阅读水平（读者主动思考上文提供的材料，
14、发现（读者主动思考上文提供的材料，发现下文将要给出的结论，或是通过对阅读材料的加工，发现超越材料范下文将要给出的结论，或是通过对阅读材料的加工，发现超越材料范围的信息，是一个主动建构的过程。）围的信息，是一个主动建构的过程。）一、明白数学阅读教学的含义与特征 1.数学阅读教学的含义 数学阅读教学是学生在教师的指导和帮助下，面对数学文本，先自主感知、联想、加工、改造、整合、重组文本信息再与同伴交流对话，生成知识意义的教与学活动。2.数学阅读教学的特征：（1）指导性；（2）自主性（自主加工的过程）；（3）活动性（探究活动、对话活动、语言学习活动手脑并用，读写结合)；（4）视域融合性（对话性）；（5
15、）生成性。（个人知识意义的自主生成过程）“数学教学也就是数学语言的教学。”-苏苏斯托利亚尔斯托利亚尔 “数学阅读教学也就是数学语言教学”。3.数学阅读教学的语言学习特点数学阅读教学的特点与环节：数学阅读教学的特点与环节：特点：特点：手脑并用，读写结合手脑并用，读写结合环节：环节：读读-讲讲-听听-评评-写写语言教学特点与环节：语言教学特点与环节：读读-说说-听听-评评-写写4.数学阅读教学与新课程学习方式的关系探究学习探究学习（主动探究性阅读）（主动探究性阅读）合作学习合作学习自主学习自主学习接受学习接受学习（机械阅读、被（机械阅读、被动理解性阅读）动理解性阅读）知识形成维度活动方式维度 数学
16、阅读多元学习结数学阅读多元学习结构图构图合作探究学习合作探究学习自主探究学习自主探究学习自主接受学习自主接受学习合作接受学习合作接受学习二、培养数学阅读的方法培养学生数学阅读的兴趣。兴趣是最好的老师，是一个好向导。培养学生数学阅读的习惯。课前课中课后（每天固定时间阅读；作业前先再读后作业，持之以恒）。掌握正确的阅读方法两动五步法（首脑并用，读写结合）脑动：读（细读、精读、研读）思（追思、反思）联（联系、联想）理（梳理、整理、理解）记（记忆）手动：画（勾划、画图）圈（圈点）演（演算、推演）注（标注、批注、注释、注解）写（问题，想法，发现；体会，感悟；分类，归纳；笔记）一、数学语言研究的兴起一、数
17、学语言研究的兴起(一一)数学本质研究的启示数学本质研究的启示数学知识的性质数学知识的性质(The Nature of Mathematical Km-Al-edge,l 98 4年年)一书中提出数学活动是由问题、语言、论一书中提出数学活动是由问题、语言、论证、命题及元数学观点这样五种成分所组成的。此研究的证、命题及元数学观点这样五种成分所组成的。此研究的分析表明数学语言是数学的一个本质特征，数学的发展在分析表明数学语言是数学的一个本质特征，数学的发展在很大程度上就可被看成数学语言的更新与扩展。很大程度上就可被看成数学语言的更新与扩展。数学语言是数学的重要组成部分，应重视数学组成成分中数学语言是
18、数学的重要组成部分，应重视数学组成成分中语言的教育。正如一些数学家的意见，对于某些语言的很语言的教育。正如一些数学家的意见，对于某些语言的很好掌握即可被看成数学水平提高的主要标志。如：代数语好掌握即可被看成数学水平提高的主要标志。如：代数语言的掌握标志着由小学到中学的发展；极限语言的掌握则言的掌握标志着由小学到中学的发展；极限语言的掌握则标志着由常量数学上升到变量数学的水平；集合论语言的标志着由常量数学上升到变量数学的水平；集合论语言的普遍使用则是现代数学发展的一个重要标志。普遍使用则是现代数学发展的一个重要标志。(二二)数学价值研究的启示数学价值研究的启示 数学功能的研究认为，数学是人们认识
19、和实践活动的数学功能的研究认为，数学是人们认识和实践活动的一种工具。数学为科学的认识活动提供了必要的语言，一种工具。数学为科学的认识活动提供了必要的语言，为对于自然界的认识与改造提供了有力的武器。为对于自然界的认识与改造提供了有力的武器。爱因斯坦则通过与艺术语言的比较更为具体地指明了爱因斯坦则通过与艺术语言的比较更为具体地指明了数学语言的特殊性质。他写道：数学语言的特殊性质。他写道：“人们总想以最适合人们总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就谋略用这种世界体系来代替经验的世界，并来征他就谋略用这种世界体系来代替经验的世界，并
20、来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。理论物理学家所做的，他们都按照自己的方式去做。理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢?它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有数学语言才能做到精确性，这样的标准只有数学语言才能做到”。正如彭加莱所指出的：正如彭加莱所指出的：“没有这种语言，事物的大多没有这种语言，事物的大多数密切的类似对我们来说将会是永远地未知的。而且，数密切的
21、类似对我们来说将会是永远地未知的。而且，我们将永远不了解世界的内部和谐我们将永远不了解世界的内部和谐”。(三三)数学素质研究的启示数学素质研究的启示“用数学语言进行交流和良好的符号意识用数学语言进行交流和良好的符号意识”是是学生重要的数学素质。数学语言的特殊的思维学生重要的数学素质。数学语言的特殊的思维方式，不仅决定了人类对物质世界的认识方式，方式，不仅决定了人类对物质世界的认识方式，还对人类理性精神的发展具有重要的影响。还对人类理性精神的发展具有重要的影响。数学教育心理学（曹才翰）中指出数学教育心理学（曹才翰）中指出“能否能否成功地进行数学交流，不仅涉及一个人的数学成功地进行数学交流，不仅涉
22、及一个人的数学能力，而且也涉及到一个人的思路是否开阔，能力，而且也涉及到一个人的思路是否开阔，头脑是否开放，是否尊重并且愿意考虑各方面头脑是否开放，是否尊重并且愿意考虑各方面的不同意见，是否乐于接受新的思想感情观念的不同意见，是否乐于接受新的思想感情观念和新的行为方式，是否愿意相互了解，为人处和新的行为方式，是否愿意相互了解，为人处事是否做到尊重与自尊事是否做到尊重与自尊”。数学语言成为人类。数学语言成为人类社会交流和贮存信息的重要手段。社会交流和贮存信息的重要手段。二、数学语言研究的主要成果二、数学语言研究的主要成果(一一)对数学课程中数学语言的教育目标达成共识对数学课程中数学语言的教育目标
23、达成共识（“以数学方式表达和交流以数学方式表达和交流”、“欣赏数学之美欣赏数学之美”、“认识古今数学在各地认识古今数学在各地文化中的角色及与其他学科的关系文化中的角色及与其他学科的关系”）(二二)揭示了数学语言学习中的心理特点揭示了数学语言学习中的心理特点（“数学言语能进一步提高学生运用数学语言能力，能准确把握数学语言的数学言语能进一步提高学生运用数学语言能力，能准确把握数学语言的形式与所表达内容的正确联系，能将自然语言数学化，数学语言符号化，以形式与所表达内容的正确联系，能将自然语言数学化，数学语言符号化，以及进行各种数学语言之间的相互沟通及进行各种数学语言之间的相互沟通”）(三三)数学语言
24、在课堂中的教学研究数学语言在课堂中的教学研究（数学教师如何在教学中向学生准确传递数学语言的信息，这使得数学语言数学教师如何在教学中向学生准确传递数学语言的信息，这使得数学语言教学的形式、内容、有效性等问题的研究成为数学课堂教学研究的关键性问教学的形式、内容、有效性等问题的研究成为数学课堂教学研究的关键性问题。）题。）A.A.A.A.斯托利亚尔指出：斯托利亚尔指出：“如果我们同意，数学在某方如果我们同意，数学在某方面是描述其他科学和实践活动中产生的实际情况的专门语面是描述其他科学和实践活动中产生的实际情况的专门语言，同意解决数学以外产生的问题首先是把这些问题翻译言，同意解决数学以外产生的问题首先
25、是把这些问题翻译成数学语言，并且把所得结果再从数学语言翻译回到原来成数学语言，并且把所得结果再从数学语言翻译回到原来那个学科领域的语言，最后，如果认为懂得数学就意味着那个学科领域的语言，最后，如果认为懂得数学就意味着会用它去解决生活中、各科学技术领域中以及实践活动中会用它去解决生活中、各科学技术领域中以及实践活动中产生的各种问题，那么，十分清楚，数学教学也就是数学产生的各种问题，那么，十分清楚，数学教学也就是数学语言的教学语言的教学”人们通过对数学价值认识的更新，提出了人们通过对数学价值认识的更新，提出了“数学的语数学的语言观言观”。从教学艺术的角度对数学语言与数学教学语言、。从教学艺术的角度
26、对数学语言与数学教学语言、学生的言语发展与数学教学等方面进行了详细的研究；从学生的言语发展与数学教学等方面进行了详细的研究；从逻辑和语法的角度对数学教学中的语言问题进行了研究。逻辑和语法的角度对数学教学中的语言问题进行了研究。三、数学语言三、数学语言 及分类及分类 数学语言是人类从一个特定的角度，在观察、认识自数学语言是人类从一个特定的角度，在观察、认识自然与社会的过程中，创造的一种特定的文化，是数学然与社会的过程中，创造的一种特定的文化，是数学共同体经过历史的积淀而形成的表示数学关系和形式共同体经过历史的积淀而形成的表示数学关系和形式的人工符号系统，每一个符号都有其深层次的文化内的人工符号系
27、统，每一个符号都有其深层次的文化内涵。涵。数学语言是伴随着数学自身的发生和发展而逐渐成长数学语言是伴随着数学自身的发生和发展而逐渐成长起来的，是储存、传承和加工数学思想信息的工具。起来的，是储存、传承和加工数学思想信息的工具。数学语言是慎重的、有意义的而且经常是精心设计的，数学语言是慎重的、有意义的而且经常是精心设计的，是一种高度抽象的专业语言，是一种以符号表达为主是一种高度抽象的专业语言，是一种以符号表达为主的特殊语言。的特殊语言。数学语言一般分为：符号语言、文字语言和图表语言数学语言一般分为：符号语言、文字语言和图表语言三类。三类。1、符号语言：、符号语言：所谓数学符号，一般说来，指的是数
28、学科学中所谓数学符号，一般说来，指的是数学科学中用来表示所研究对象的概念、性质、运算、关用来表示所研究对象的概念、性质、运算、关系等的符号组成的集合。这里每个数学符号的系等的符号组成的集合。这里每个数学符号的意义，指的是针对符号形式规定的符号内容，意义，指的是针对符号形式规定的符号内容，以及与有关符号结合方式的规定。具体地说：以及与有关符号结合方式的规定。具体地说：1、符号形式被明确地规定；、符号形式被明确地规定；2、符号形式的符号内容明确地规定；、符号形式的符号内容明确地规定；3、一个特定的符号形式与一个特定的符号内、一个特定的符号形式与一个特定的符号内容相对应；容相对应；4、符号形式间的结
29、合。凡属允许的结合都是、符号形式间的结合。凡属允许的结合都是被规定了的。被规定了的。按符号学理论，可将数学符号分为三类：象形按符号学理论，可将数学符号分为三类：象形符号、缩略符号和约定符号。符号、缩略符号和约定符号。象形符号：象形符号是用符号的形状特征来反象形符号：象形符号是用符号的形状特征来反映特定事物或是概念的符号。某些事物的空间映特定事物或是概念的符号。某些事物的空间结构和数量关系经压缩改造就形成了象形符号。结构和数量关系经压缩改造就形成了象形符号。例如平面图形的符号例如平面图形的符号、/、等是原形（角、三角形、正方形）的压缩象形；等是原形（角、三角形、正方形）的压缩象形；关系符号、关系
30、符号、（恒等）、（恒等）、（全等）、（全等）、（大于或等于）、（大于或等于）、（属于）、（属于）、（包含于）（包含于）等是原形的改造符号。等是原形的改造符号。缩写符号：缩写符号中的多数是数学概念的缩写符号：缩写符号中的多数是数学概念的外文词汇的前一个或数个字母构成的符号。外文词汇的前一个或数个字母构成的符号。如如f表示函数（表示函数（function），），lim表示极限表示极限（limit），），表示积分（表示积分（Sum表示和，把其第表示和，把其第一个字母一个字母S拉长就构成了拉长就构成了“”），），R表示实数表示实数（Real numbers），），log表示对数表示对数（logarit
31、hm），其它如正弦函数、最大值、），其它如正弦函数、最大值、最小值、和与积的记号最小值、和与积的记号sin、max、min、等均属这一类。这类符号需要由音思词、由等均属这一类。这类符号需要由音思词、由词及义地加以理解和运用。词及义地加以理解和运用。约定符号约定符号约定符号又称习惯性符号，它的形成与思维活约定符号又称习惯性符号，它的形成与思维活动的习惯和历史的发展有关，并且具有思维的动的习惯和历史的发展有关，并且具有思维的合理性，它符合人们的思维定势，能简化思维，合理性，它符合人们的思维定势，能简化思维，是一种是一种“约定俗成约定俗成”。如代数上习惯用如代数上习惯用x、y、z等表示未知数，用等表
32、示未知数，用a、b、c表示已知数；在集合中，用大写字母表示已知数；在集合中，用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母等表示集合，用小写字母a、b、c等表示等表示元素；在几何中，用大写字母元素；在几何中，用大写字母A、B、C等表示等表示点，用小写字母点，用小写字母a、b、c等表示直线，用等表示直线，用、等表示平面；乘号等表示平面；乘号实际上是把十号斜过来，实际上是把十号斜过来，表示另一种加法；方幂表示另一种加法；方幂x n表示表示xxxx（n个），这类符号通过规定或约定，具有简练性、个），这类符号通过规定或约定，具有简练性、合理性及习惯性，与思维活动产生共鸣，应由合理性及习惯性，与思维活动产生
33、共鸣，应由义及形、形义一体地加以理解和运用。义及形、形义一体地加以理解和运用。2、文字语言、文字语言数学化的自然语言、自然语言中的数学语言。数学化的自然语言、自然语言中的数学语言。具有数学学科特指的确定的语义，常常以数学概具有数学学科特指的确定的语义，常常以数学概念、术语形式出现。念、术语形式出现。例如：直线、全等、相似、绝对值、中线、扇形、例如：直线、全等、相似、绝对值、中线、扇形、锐角、参数锐角、参数自然语言是数学文本语言形成与发展的基础，数自然语言是数学文本语言形成与发展的基础，数学文本语言不仅借用了自然语言中的文本，沿用学文本语言不仅借用了自然语言中的文本，沿用了自然语言中的语法规则，
34、而且在大多数情况下了自然语言中的语法规则，而且在大多数情况下两种语言的语义也是一致的。两种语言的语义也是一致的。3、图表语言、图表语言图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可分为图图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或以及线图等）和格表语言（统计数据表、语言（函数图象或以及线图等）和格表语言（统计数据表、分析表、框图等）。它们是数学形象思维的载体和中介，分析表、框图等）。它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，而且还是进行抽象思维也是数学思维
35、的重要材料和结果，而且还是进行抽象思维的一个重要工具。的一个重要工具。直观性：尤其在当今信息化社会，人们会经常地在各种媒直观性：尤其在当今信息化社会，人们会经常地在各种媒体上看到或阅读到某种载有一定数学意义的图形、图象或体上看到或阅读到某种载有一定数学意义的图形、图象或格表，这些图形、图象或格表作为信息传递的一种形式具格表，这些图形、图象或格表作为信息传递的一种形式具有同文本信息形式相同的功能，但比文本信息更直观。有同文本信息形式相同的功能，但比文本信息更直观。一种数学思想内容的表达常常是数学符号一种数学思想内容的表达常常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的语言、文字语言、图表语言和
36、自然语言的优势互补和有机融合。优势互补和有机融合。三种语言各自又有其优势和不足：文字语三种语言各自又有其优势和不足：文字语言通俗易懂，但描述起来是线性的，不易言通俗易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；数学符号虽然抽象，表露知识的内在结构；数学符号虽然抽象，但十分简洁，描述起来给人以结构感；图但十分简洁，描述起来给人以结构感；图表语言比文字语言和一般符号语言更具直表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性，容易形成表象。观性，容易形成表象。四、数学语言的特征四、数学语言的特征1.抽象性：数学语言特别是符号语言使数学研究不必拘泥抽象性：数学语言特别是符号语言使数学研究不必拘泥于研究对象
37、的具体含义，能直接从关系本身进行逻辑推理。于研究对象的具体含义，能直接从关系本身进行逻辑推理。如字母如字母a可以表示任何数学上的数或者式。又如，通过引可以表示任何数学上的数或者式。又如，通过引进进“i”这样一个符号，并规定这样一个符号，并规定i=，我们就可进而讨论虚，我们就可进而讨论虚数及复数（数及复数（a+bi）的运算，而不必首先去回答虚数的）的运算，而不必首先去回答虚数的“客客观意义观意义”。2.确定性：数学符号的含义一旦被赋予，它就在非常确定确定性：数学符号的含义一旦被赋予，它就在非常确定的含义下被运用，不会产生歧义。（的含义下被运用，不会产生歧义。（1）数学中不同的对）数学中不同的对象
38、、性质、关系等都有不同的符号（名称）；象、性质、关系等都有不同的符号（名称）；（2）数学中每个对象的性质和对象间的关系都有相应的）数学中每个对象的性质和对象间的关系都有相应的表达式；表达式；（3）每一个符号、每个由符号组成的式子只有一个意义；）每一个符号、每个由符号组成的式子只有一个意义；（4）数学语言中常常使用量词和括号以保证数学知识的）数学语言中常常使用量词和括号以保证数学知识的准确性和明晰性。从而保证其内容中各种关系间的逻辑性。准确性和明晰性。从而保证其内容中各种关系间的逻辑性。3.简约性简约性数学语言中广泛采用各种数学符号，它的表达式变得数学语言中广泛采用各种数学符号，它的表达式变得简
39、洁明了。这里，一个符号（数字、字母、运算、关简洁明了。这里，一个符号（数字、字母、运算、关系等）表达自然语言中用词语表示的内容，从而可以系等）表达自然语言中用词语表示的内容，从而可以缩短表达式的缩短表达式的“长度长度”，使得数学知识的表达从冗长，使得数学知识的表达从冗长繁琐的自然语言中解放出来。如（繁琐的自然语言中解放出来。如（a十十b）2用自然语用自然语言表达则是言表达则是“数数a与数与数b的和的平方的和的平方”，而，而“a 2十十2ab十十b 2”用自然语言表达则是用自然语言表达则是“数数a的平方与数的平方与数a与数与数b的的积的和，再与数积的和，再与数b的平方求和的平方求和”。4.可操作
40、性：数学过程往往体现于数学符号之间的可操作性：数学过程往往体现于数学符号之间的“运算运算”，操作起来比较方便。，操作起来比较方便。例如，任何一个一元一次方程，可按下列步骤求解：例如，任何一个一元一次方程，可按下列步骤求解：（1）去分母；（）去分母；（2）去括号；（）去括号；（3）移项；（）移项；（4）合并同）合并同类项；（类项；（5）方程两边同除以未知数的系数（不为零）。）方程两边同除以未知数的系数（不为零）。5.使用变元：使用变元：数学语言和自然语言之间的本质数学语言和自然语言之间的本质区别之一是变元的使用。首先，数学语言中的区别之一是变元的使用。首先，数学语言中的变元如同自然语言中的代名词
41、一样，并不表示变元如同自然语言中的代名词一样，并不表示任意的对象，而只表示属于某一集合的对象。任意的对象，而只表示属于某一集合的对象。比如：比如：如果一个数是偶数，那么这个数的平如果一个数是偶数，那么这个数的平方也是偶数。方也是偶数。分析：设这个偶数是分析：设这个偶数是n，怎样才能证明，怎样才能证明n 2偶偶数？因为数？因为n是偶数，利用等价定义，是偶数，利用等价定义，n能表示成能表示成2的整数倍。设为的整数倍。设为k倍，即倍，即n2k。由此。由此 n 2nn（2k）（）（2k）4 k 22（2 k 2）6.通用性：通用性：数学是一项集体的、社会性的事业，其应用之广泛，数学是一项集体的、社会性
42、的事业，其应用之广泛，正如著名数学家华罗庚指出的那样：正如著名数学家华罗庚指出的那样：“宇宙之大，粒宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学日用之繁，无处不用数学)”而作为交流和传播数学思而作为交流和传播数学思想必不可少的工具，数学语言具有跨学科、跨地域、想必不可少的工具，数学语言具有跨学科、跨地域、跨国界的特点，其应用和适用范围最为广泛跨国界的特点，其应用和适用范围最为广泛)7.理想化：理想化是数学语言最集中、最突出、最体理想化：理想化是数学语言最集中、最突出、最体现个性的特点，现个性的特点，纯数学概念
43、、数学命题以及数学推理，纯数学概念、数学命题以及数学推理，都不是具体存在，而是从大量具体存在中抽象概括而都不是具体存在，而是从大量具体存在中抽象概括而成的理想存在，即数学模型成的理想存在，即数学模型。数学语言的理想化特点，。数学语言的理想化特点，正是数学思维或这种构造性程序模型化的直接反映正是数学思维或这种构造性程序模型化的直接反映，由于这一特点的存在，才使得数学语言的符号化、公由于这一特点的存在，才使得数学语言的符号化、公式化和形式化成为事实式化和形式化成为事实。8.精确性：数学思维过程也要求具有严密的逻精确性：数学思维过程也要求具有严密的逻辑，辑，而这种思维的严密性也只有在语言的精而这种思
44、维的严密性也只有在语言的精确性上才能实现确性上才能实现)语言不精确，词不达意，一语言不精确，词不达意，一词多义，就难以做到思维严密词多义，就难以做到思维严密，因为数学的因为数学的对象是形式化的思想材料，它的结论是否正确，对象是形式化的思想材料，它的结论是否正确，一般不能象物理学那样，通过重复实验来检验，一般不能象物理学那样，通过重复实验来检验，而主要依靠严格的推理来证明。而主要依靠严格的推理来证明。9.严密性：数学语言作为一种特殊的科学语言，严密性：数学语言作为一种特殊的科学语言，它的严密特点是数学科学、数学思维的严密性、它的严密特点是数学科学、数学思维的严密性、逻辑性的反映逻辑性的反映.它不
45、允许以偏概全。例如它不允许以偏概全。例如“形形如如 ax=b(a0)的方程叫做最简方程的方程叫做最简方程”-，不允，不允许臆测臆断，例如由许臆测臆断，例如由“不小于不小于”推出推出“即大于即大于或等于或等于”，顺序颠倒就是两种意义，例如，顺序颠倒就是两种意义，例如“轴轴对称对称”和和“对称轴对称轴”。五、数学语言能力的各个成分作具体的分析五、数学语言能力的各个成分作具体的分析.数学语言的构造能力数学语言的构造能力 数学语言的理解能力数学语言的理解能力数学语言的组织、表达能力数学语言的组织、表达能力数学语言的转换能力数学语言的转换能力符号语言的操作能力符号语言的操作能力数学语言的构造能力数学语言
46、的构造能力 数学中的式、函数、方程等都是数学语言，数学数学中的式、函数、方程等都是数学语言，数学问题的解决大多离不开数学语言的构造。问题的解决大多离不开数学语言的构造。“语言语言是对事物本质的命名，名字是表达和传递的工是对事物本质的命名，名字是表达和传递的工具具”，“我们可以用语语言来谈论一些已不存在我们可以用语语言来谈论一些已不存在或从来不存在的事物或从来不存在的事物”，这正是语言的构造性的，这正是语言的构造性的体现，就数学解题而言，不仅需要概念的命名能体现，就数学解题而言，不仅需要概念的命名能力，还需要构造数学模型（特殊的数学语言）的力，还需要构造数学模型（特殊的数学语言）的能力能力。数学
47、语言的理解能力数学语言的理解能力数学语言的理解能力，主要指对数学语言的语义理解数学语言的理解能力，主要指对数学语言的语义理解力。数学语言的语义也包括概念、命题、表达式以及力。数学语言的语义也包括概念、命题、表达式以及它们所指称的关系对数学语言的理解必须建立在对数它们所指称的关系对数学语言的理解必须建立在对数学概念层层明了地基础上。弗莱登塔尔认为，在数学学概念层层明了地基础上。弗莱登塔尔认为，在数学教学中教学中“用的是开放的、可作修改的和补充的语言用的是开放的、可作修改的和补充的语言”。他认为他认为“学生运用量词并双察它的规则，必须联系具学生运用量词并双察它的规则，必须联系具体的背景体的背景”，
48、必须，必须“通过新旧定义的比较进行再创通过新旧定义的比较进行再创造，造，从而获得相应的数学专门语言从而获得相应的数学专门语言”，这样做，这样做“才才是一种思维的训练是一种思维的训练”。对数学语言的理解，不仅包括对概念的理解，还包括对数学语言的理解，不仅包括对概念的理解，还包括对法则的理解。对法则的理解。“当代认知心理学最突出的研究成果当代认知心理学最突出的研究成果是运用计算机来及时检查学生头脑中关于计算程序的是运用计算机来及时检查学生头脑中关于计算程序的错误知识或概念错误知识或概念”。布朗和巴顿认为，计算上的错误。布朗和巴顿认为，计算上的错误原因可能是学生持续用一个缺陷的程序，而不是由于原因可
49、能是学生持续用一个缺陷的程序，而不是由于学生没有能力运用程序学生没有能力运用程序”，即认为学生对法则的错误，即认为学生对法则的错误理解是出错的主要原因。理解是出错的主要原因。数学语言的组织、表达能力数学语言的组织、表达能力数学语言的组织、表达能力指对数学语言信息数学语言的组织、表达能力指对数学语言信息进行筛选、贮存等加工及表达的能力（文字或进行筛选、贮存等加工及表达的能力（文字或口头的表达）数学研究和中学数学解题活动均口头的表达）数学研究和中学数学解题活动均离不开数学语言的组织。离不开数学语言的组织。德国语言学家特里尔提出了德国语言学家特里尔提出了“语义场语义场”理论，理论，认为语义与语义之间
50、是相互联系的，心理学的认为语义与语义之间是相互联系的，心理学的研究认为知识的表征是有组织的，其组成的核研究认为知识的表征是有组织的，其组成的核心是一些语义相联的组块，其中，心是一些语义相联的组块，其中，“短时记忆短时记忆”是一个容量有限的加工信息缓冲区，它所处理是一个容量有限的加工信息缓冲区，它所处理的是组块的是组块一些有意义的单位（从而增加记一些有意义的单位（从而增加记忆容量）。因此，信息输入后要经过筛选进入忆容量）。因此，信息输入后要经过筛选进入短时记忆的贮存，对数学信息而言，筛选后的短时记忆的贮存，对数学信息而言，筛选后的信息往往是量与量的关系、位置关系等。信息往往是量与量的关系、位置关
