1、2021材料动力学材料动力学 与相变原理与相变原理材料学院材料学院 刘兴军刘兴军 教授教授2013 年年3月月2021第二章第二章 扩散动力学扩散动力学2021 动力学动力学 本课程的参考教材本课程的参考教材 徐徐 瑞瑞 荆天辅荆天辅 材料热力学与动力学材料热力学与动力学 哈尔滨工业大学出版社哈尔滨工业大学出版社 孙振岩，刘春明孙振岩，刘春明 编著编著 合金中的扩散与相变合金中的扩散与相变 东北大学出版社，东北大学出版社，2002200220211.扩散动力学主要内容扩散动力学主要内容（1）扩散动力学扩散动力学（2）相变动力学相变动力学2021热力学与动力学热力学与动力学热力学热力学研究的问题
2、是研究的问题是过程的可能性过程的可能性，即预言在给定条，即预言在给定条件下某一过程的方向和限度；件下某一过程的方向和限度；动力学动力学研究的是研究的是过程的现实性过程的现实性，即动力学是解决一个，即动力学是解决一个过程是如何进行的问题。过程是如何进行的问题。热力学上可能的过程：热力学上可能的过程：通过动力学的研究来解决反应通过动力学的研究来解决反应 速度问题；速度问题；热力学上不可能的过程热力学上不可能的过程：没有动力学研究价值：没有动力学研究价值热力学研究的目标：热力学研究的目标：提高过程的驱动力；提高过程的驱动力；动力学研究的目标：动力学研究的目标：如何降低过程的阻力；如何降低过程的阻力；
3、2021扩散扩散:大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移完全混合完全混合部分部分混合混合时间时间加入加入染料染料水 溶体中的扩散溶体中的扩散2021高碳含量区域高碳含量区域 低碳含量区域低碳含量区域 碳的扩散方向碳的扩散方向Fe-C合金合金非均匀的单相合金试样非均匀的单相合金试样溶体中的扩散溶体中的扩散T=25时，C的浓度分布2021扩散驱动力扩散驱动力浓度梯度（化学势梯度）浓度梯度（化学势梯度）应力场梯度应力场梯度电场梯度电场梯度体系自由能降低体系自由能降低分子，原子或离子等的定向，宏观迁移分子，原子或离子等的定向，宏观迁移2021227-step rand
4、om walk in two dimensions-4-2024681012-10-8-6-4-20246Distance,ynDistance,xnn=227n=0227Distance,xnDistance,ynn=0n=227Net Displacement=8.2This random walk has 360 degrees of freedom per step!扩散：扩散：无数个原子的无规则热运动的统计结果无数个原子的无规则热运动的统计结果1827年年Brown(英植物学家英植物学家)水面上花粉的无规则运动水面上花粉的无规则运动2021唯象模型唯象模型微观机制微观机制扩散物质浓度
5、分扩散物质浓度分布与时间的关系布与时间的关系 原子无规则运动与原子无规则运动与宏观物质流的关系宏观物质流的关系扩散理论研究的两个方面扩散理论研究的两个方面2021由德国生理学家菲克（1829-1901）于1855年提出。20212.1 扩散基本定律扩散基本定律菲克第一定律菲克第一定律 (Ficks first law)稳态扩散稳态扩散(0)tC菲克第二定律菲克第二定律(Ficks second law)非稳态扩散非稳态扩散(0)tC扩散过程中各点浓度不随时间改变扩散过程中各点浓度不随时间改变扩散过程中各点浓度随时间而变化扩散过程中各点浓度随时间而变化20212.1.1 菲克第一定律及其应用菲克
6、第一定律及其应用单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质量，即所谓的扩散通量量，即所谓的扩散通量J，与扩散物质的浓度梯度成正比。，与扩散物质的浓度梯度成正比。CJDx 三维表达式三维表达式 CCCJDDCjikxyz 适用范围：适用范围：稳态扩散稳态扩散(0)tC扩散沿扩散沿 x 方向方向体系各向异性体系各向异性xyzCCCJDDDjikxyz 体系各向同性体系各向同性其中，负号表示扩散方向与浓度梯度增长方向相反;J 为扩散物质通量，D为扩散率或称扩散系数为扩散率或称扩散系数2021近似稳态扩散条件下近似稳态扩散条件下可以用菲克第
7、一定律作定量或半定量的解析可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析1.估算扩散型相变传质过程中扩散组元估算扩散型相变传质过程中扩散组元 的扩散通量的扩散通量2.估算由扩散控制的相界移动速度估算由扩散控制的相界移动速度稳态扩散稳态扩散：经过一定时间后，扩散组元经过一定时间后，扩散组元B离开某离开某一体积一体积 单元的速率等于进入该体积单元的速率。单元的速率等于进入该体积单元的速率。J为一恒定值。为一恒定值。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021单相系统中的稳态扩散单相系统中的稳态扩散1 一维稳态扩散一维稳态扩散2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用x1x2C1C
8、2A1 dmdCJDA dtdx 设想一种最简单的扩散：物质沿一个方向扩散且浓度不变，那设想一种最简单的扩散：物质沿一个方向扩散且浓度不变，那么此时的扩散方程是怎样的呢？么此时的扩散方程是怎样的呢？扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换，使物体长度两端扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换，使物体长度两端 X1 与与X2处的浓度处的浓度C1和和C2保持不变。这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度保持不变。这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度都保持不变的稳态扩散。由于在此种扩散条件下扩散通量为常数，因此可都保持不变的稳态扩散。由于在此种扩散条件下扩散通量为常数，因此可以通过对菲克以通过
9、对菲克(Fick)扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。m为扩散组元通过截面为扩散组元通过截面A的量的量 1.dmdtA单位时间，单位面积上的流量单位时间，单位面积上的流量(kg/m2.s)2021单相系统中的稳态扩散单相系统中的稳态扩散1 一维稳态扩散一维稳态扩散2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用x1x2C1C2A1 dmdCJDA dtdx dmdxDAdCdt 2211xCxCdmdxDAdCdt2121dmxxDA CCdt 212121CCCCdmDADAdtxxl l：x1与与x2两点间距离两点间距离扩散物质的流量扩散物质的流量2
10、021例例 8.1 推导欧姆定律推导欧姆定律CUK电子浓度差电子浓度差导线材料单位体积的电容导线材料单位体积的电容C 引起的电位差引起的电位差dQdCCDAKDADAUdtdxxl 一维电子稳流状态一维电子稳流状态电流强度电流强度dQIdt DAKVIVlR欧姆定律欧姆定律电压电压V=UlRDAK1DK其中其中2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用电阻率电阻率212121CCCCdmDADAdtxxl2021在实际的生产在实际的生产应用中，我们需要解决的不仅仅是一维系统中的应用中，我们需要解决的不仅仅是一维系统中的稳态扩散，更多的是多维系统的情况，那么在多维系统中稳态稳态扩散，更
11、多的是多维系统的情况，那么在多维系统中稳态扩散是个什么样的形式呢？扩散是个什么样的形式呢？2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用单相系统中的稳态扩散单相系统中的稳态扩散2 多维系统中的扩散多维系统中的扩散多维多维系统系统中的中的稳态稳态扩散扩散一般较为复杂一般较为复杂两种简单的情况两种简单的情况空心圆柱体空心圆柱体空心球体空心球体2021rldtdmJ21lDdCrdrdtdm21212/ln2rrCClDdtdm2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）一段时间后，一段时间后，C C原子扩原子扩散
12、达到稳定，散达到稳定，若圆柱体长度为若圆柱体长度为l,Cl,C原子经过半径为原子经过半径为r,r,由由内向外扩散通量为：内向外扩散通量为：0/tC纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中由菲克第一定律得：由菲克第一定律得：或或202112122lnCClDrrdtdm考虑到考虑到r=r1时时,C=C1;r=r2时时,C=C2将上式积分得：将上式积分得：2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）1212/ln2rrCClDdtdm或或2 多维系统中的扩散（空心球体情况）多维系统中的扩散（空心球体
13、情况）稳态扩散的空心球体稳态扩散的空心球体扩散通量为：扩散通量为：241rdtdmJ由菲克第一定律得：由菲克第一定律得：drdCrDdtdm242021212142CCrrDdCrdrdtdm1212214rrCCDrrdtdmlCCDrrdtdm122142.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2 多维系统中的扩散（空心球体情况）多维系统中的扩散（空心球体情况）稳态扩散的空心球体稳态扩散的空心球体根据已知的边界条件有：根据已知的边界条件有：若若D为常数有：为常数有：将球壳厚度将球壳厚度l=r1-r2代入上面的代入上面的式子可得：式子可得：2021对于多相系统来说，用计算的方法来描
14、述扩散是很困难的，所对于多相系统来说，用计算的方法来描述扩散是很困难的，所以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。两相的扩散层厚度与扩散两相的扩散层厚度与扩散物质的关系是怎样的呢？物质的关系是怎样的呢？2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用两相系统中的稳态扩散两相系统中的稳态扩散下图所示的扩散墙分别为下图所示的扩散墙分别为和和相，扩散系数分别为相，扩散系数分别为D和和D扩散墙扩散墙两相层两相层厚度与厚度与扩散物扩散物质无关质无关两相层两相层厚度与厚度与扩散物扩散物质有关质有关20212.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用浓度分布浓度分布活
15、度分布活度分布两相层厚度与扩散物质无关两相层厚度与扩散物质无关两相层的厚度两相层的厚度a a相的厚度为相的厚度为 g g相的厚度为相的厚度为 设扩散物质为氢设扩散物质为氢(H)，由，由于它在于它在a a相与相与g g相中具有一相中具有一定的溶解度定的溶解度例例 8.28.2 氢在氢在a a、g g 两相区中的扩散（两相系统中的一维扩散）两相区中的扩散（两相系统中的一维扩散）例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢 lgla1af Caa2af Cggaaag20212.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用agaa设设 是是 a a 相
16、层外面维持的活度相层外面维持的活度;是是 g g 相层外面维持的活度相层外面维持的活度;是是 a/g a/g 相界面上的活度相界面上的活度;在稳态扩散建立起来之后，活度在稳态扩散建立起来之后，活度 分布如图所示分布如图所示aaagia由稳态扩散条件由稳态扩散条件HHJJga两相层厚度与扩散物质无关两相层厚度与扩散物质无关20212.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用由稳态扩散条件由稳态扩散条件HHJJga11HHHiCCaaDJDllffaag aaaaaaa 2HHHiCCaaDJDllffggg aggggggg 氢在氢在a a、g g 两相区中的扩散两相区中的扩散 分别为H
17、在两相中的浓度;分别为H在两相中的活度;分别为H在两相中的活度系数;1C2Cagaafgfaagaa双相层厚度与扩散物质无关双相层厚度与扩散物质无关20211HHHHiiaaaaDDlfflffaggaaaggg 2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用1H2HHHial fa l fl fl faDDDDggaaggaagaga1 HHHdmdCJJJDA dtdxga 一维稳态扩散一维稳态扩散20211H2HHHial fa l fl fl faDDDDggaaggaagaga化简上式化简上式12HH1HaadmJl fl fA dtDDggaagaiaHJ代入代入组合因子组合
18、因子扩散的阻力扩散的阻力1212HH =HaaaaJDl fl fDggggggHHDDag（约大于100)2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用扩散物质的扩散流量主要取决于组合因子组合因子具有最大值的那个相，该相对扩散具有最大的阻力。这种情况与一栋房子墙壁进行的热传导极为相似，房子通过墙所损失的热量就主要取决于最好的绝热层。同一温度下，2021扩散型相变中新相相界移动长大速度扩散型相变中新相相界移动长大速度a ab bdlbCa/b新相相界的迁移速度受原子扩散控制新相相界的迁移速度受原子扩散控制例例8.3 AB合金中，若合金中，若DDADB 可用菲克第可用菲克第一定律估算一定律
19、估算 新相相界的迁移速度新相相界的迁移速度即新相长大动力学问题。下面分析新相即新相长大动力学问题。下面分析新相b b依靠母相依靠母相a a消耗而长大过程。消耗而长大过程。8.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用b b相相长大方向长大方向设：设：b b相向左侧相向左侧a a相内长大距离为相内长大距离为 相界平衡浓度为相界平衡浓度为 并令并令a a及及b b相的摩尔体积相等相的摩尔体积相等dl dldlab/Ca bmmVVab2021扩散型相变中新相相界移动长大速度扩散型相变中新相相界移动长大速度a ab bdlbCa/b新相相界的迁移速度受原子扩散控制新相相界的迁移速度受原子扩散控
20、制 BBBmSdldmxxVbbab相变后相变后B元素增量元素增量 BBBdmdmdmab增量由扩散引起增量由扩散引起2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用b b相相长大方向长大方向 Bdma Bdmba a相中相中B原子扩散到原子扩散到a/ba/b相界数量相界数量 b b相中相中B原子通过扩散离开原子通过扩散离开a/ba/b相界数量相界数量如截面面积为如截面面积为S S，相增加的体积为相增加的体积为 。B B原子在原子在新相内增量新相内增量 mol，在该体积相变前后原，在该体积相变前后原子总数相等，但子总数相等，但B元素的摩尔分数却由元素的摩尔分数却由 变为变为Sdlb/mSd
21、lVbbBxaBxb2021菲克第一定律菲克第一定律11,BBBBmmdmdxdmdxDDSdtVdySdtVdyaabbabab mmVVab当 mBBBBmdlVdxdxDDxxdydy Vdtbbbababaa若只若只在在a a相中发生扩散，可得简单的长大速度公式相中发生扩散，可得简单的长大速度公式mBBBmVdxdlDdtxxdy Vbababaa BBxxba与可由相图确定2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用浓度梯度浓度梯度相界长大速度相界长大速度2021两相层厚度与扩散物质有关两相层厚度与扩散物质有关BBBB0Ca/ba/bCb/ab/aCb bCb bCa ala
22、 alb b2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用a ab b例例8.4 B组元通过组元通过A-B合金墙所进行合金墙所进行的扩散便属于这种情况的扩散便属于这种情况在墙的一侧，在墙的一侧，B的活度保持极低的数的活度保持极低的数值，在墙的另一侧与纯值，在墙的另一侧与纯B的气相保持的气相保持平衡。现假定整个墙的厚度为平衡。现假定整个墙的厚度为l，则则 ，与与 分别为分别为 a a 相与相与 b b 相厚度。在实际问题中，通相厚度。在实际问题中，通常给出墙中常给出墙中A的总量，其墙的厚度便的总量，其墙的厚度便决定于决定于B组元溶解的多少。组元溶解的多少。lllablalb2021两相层厚
23、度与扩散物质有关两相层厚度与扩散物质有关BBBB0Ca/ba/bCb/ab/aCb bCb bCa ala alb b1CCCdmDDDA dtllllbbaabbaba 扩散达到稳态，扩散达到稳态，Fick第一定律第一定律DCllDCDCaaaaabb1DCDCdmA dtlaabb 扩散组元的流量主要取决于具有最扩散组元的流量主要取决于具有最大的大的DC 相，即对扩散具有最小阻相，即对扩散具有最小阻力的相力的相2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用a ab bCaCb可由相图给出2021我们已经知道，除马氏体相变和其他少数相变外，大多数的相我们已经知道，除马氏体相变和其他少数
24、相变外，大多数的相变都是由扩散控制的，如：脱溶沉淀、调幅分解、共析分解等变都是由扩散控制的，如：脱溶沉淀、调幅分解、共析分解等等。那么菲克第一定律在扩散性相变中的应用是怎样的呢？等。那么菲克第一定律在扩散性相变中的应用是怎样的呢？让我们讨论下面几种比较简单的情况：让我们讨论下面几种比较简单的情况：低过饱和固溶体中球形析出相的长大低过饱和固溶体中球形析出相的长大晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用菲克第一定律在扩散性相变中的应用菲
25、克第一定律在扩散性相变中的应用扩扩散散性性相相变变2021低过饱和固溶体中球形析出相的长大低过饱和固溶体中球形析出相的长大参照空心球参照空心球dm/dt的式子，可以得到某一时刻物质流量为：的式子，可以得到某一时刻物质流量为：1212214rrCCDrrdtdmr1、r2随随相的长大不断变化相的长大不断变化考虑到固溶体开始就是饱和的，因此考虑到固溶体开始就是饱和的，因此有有r2r1，r2r2-r1，上式可写为：，上式可写为：112211221122144rCCDrrrrrCCDrdtdm2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021低过饱和固溶体中球形析出相的长大低过饱和固溶体中球
26、形析出相的长大对于正在生长的树枝状晶体顶端的扩散过程对于正在生长的树枝状晶体顶端的扩散过程，达到顶端表面的扩散通量也可表示为：，达到顶端表面的扩散通量也可表示为：rCCDJ12C1溶液与枝晶顶端接触处的浓度溶液与枝晶顶端接触处的浓度C2溶液起始浓度溶液起始浓度r枝晶顶端曲率半径（有效扩散距离）枝晶顶端曲率半径（有效扩散距离）对于片状边缘长大，考虑到枝晶顶端生长时，物质可以从四个对于片状边缘长大，考虑到枝晶顶端生长时，物质可以从四个方向扩散到枝晶端部，而片状枝晶边缘长大时，物质只能从两方向扩散到枝晶端部，而片状枝晶边缘长大时，物质只能从两个方向流入。扩散通量应为枝晶情况时的一半，即：个方向流入。
27、扩散通量应为枝晶情况时的一半，即：rCCDJ212左式也适用于共析组织片层边缘的长大。对于珠光左式也适用于共析组织片层边缘的长大。对于珠光体中渗碳片层边缘的长大，扩散通量可以写为：体中渗碳片层边缘的长大，扩散通量可以写为：cemSCCDdtdmAJ121Scem渗碳体片的厚渗碳体片的厚度，度，Scem2r2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大那那么么薄薄膜膜是是怎怎么么增增厚厚的的呢呢？T1急急冷到冷到T2形成形成薄膜薄膜薄膜薄膜增厚增厚析出析出相相2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021晶界薄膜析出相的长大晶界
28、薄膜析出相的长大由右图可以看到由右图可以看到，相中存在原相中存在原子贫化区（越靠子贫化区（越靠近近相，相，相中溶相中溶质原子（组元质原子（组元）的浓度越低）的浓度越低）。相中溶质原相中溶质原子的这种分布导子的这种分布导致致B原子在原子在相中相中朝朝相薄膜方向相薄膜方向扩散，使扩散，使相增相增厚。厚。设设dt内增厚内增厚dl，则则中增加的中增加的B原子数为：原子数为：babbbbab/XXVAdlCCAdldmBA-界面面积；界面面积；V相摩尔体积；相摩尔体积；X相摩尔浓度；相摩尔浓度；X/界面处界面处相的摩尔浓度。相的摩尔浓度。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用相界析出相界析
29、出相薄膜时的浓度分布示意图相薄膜时的浓度分布示意图2021晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大dt时间内朝向薄膜的扩散流量为：时间内朝向薄膜的扩散流量为：dtdxdXVADdmBaa此方程和上一方程意义相同，则此方程和上一方程意义相同，则有：有：babbbaa/XXVAdldtdxdXVADdX/dx为图中虚为图中虚线的斜率，近似线的斜率，近似有：有：SXdxdXX=X0-X/为过饱和为过饱和度。度。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大取图中三角形面积近似代替取图中三角形面积近似代替相中影线面积，则有：相中影线面积，则有：0X
30、VSA21XXVAlbbba浓度梯度为：浓度梯度为：abbbVVXXXlSXdx0221dX上式代入上式代入式得：式得：2/022abbabbbabVVXXXXlXDdtdl2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021t=0时，时，l=0，t=t时，时，l=l，将上式积分得：将上式积分得：晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大2/022abbabbbabVVXXXXlXDdtdltVVXXXXXDl2/022abbabbab上式表明，晶界析出相上式表明，晶界析出相薄膜的厚度随时间增长按抛物线规律增薄膜的厚度随时间增长按抛物线规律增加，而其厚度的速率将随时间的增长而减小。其厚度
31、速率随时加，而其厚度的速率将随时间的增长而减小。其厚度速率随时间的增长而减小的原因是，随着析出相的长大，薄膜周围溶质间的增长而减小的原因是，随着析出相的长大，薄膜周围溶质贫化区增大，因而溶质原子所需要的扩散距离增加了。贫化区增大，因而溶质原子所需要的扩散距离增加了。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大左图是形成中间相左图是形成中间相的的A-B二元系相图。二元系相图。图中：图中：abgb/XXX其中其中X/与与X/分别为与分别为与和和相的摩尔浓度，利用稳相的摩尔浓度，利用稳态扩散的近似方法可估算出态扩散的近似方法可估
32、算出相中的浓度梯度相中的浓度梯度bblXdxdX2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用a)含有中间相含有中间相的二元相图的二元相图 b)T1温度下温度下A-B扩散系统的浓度分布扩散系统的浓度分布ab2021在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大由于浓度梯度的存在，在由于浓度梯度的存在，在相中将发生原子由相中将发生原子由界面向界面向界面迁移。根据菲克扩散第一定律，原子的扩散流量为：界面迁移。根据菲克扩散第一定律，原子的扩散流量为：bbbbbblXVADdxdXVADdxdCADdtdmB原子在原子在相中的迁移将导致相中的迁移将导致/,/界面处浓度平衡的破坏，为维持
33、两界面处浓度平衡的破坏，为维持两界面处浓度的平衡，将在两个相界面发生相变，从而导致界面处浓度的平衡，将在两个相界面发生相变，从而导致相层不断增相层不断增厚。假设在厚。假设在dt时间内，在时间内，在/相界面上相界面上相的厚度增加相的厚度增加 ，在，在/界面界面上上相厚度增加相厚度增加 ，根据质量平衡有：，根据质量平衡有：1bdl2bdlbbbbggbbbbbbbaabbblVXADXXdtVAdllVXADXXdtVAdl/2/12.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大上式可以得到上式可以得到相总得长大速度为：相总得长大
34、速度为：aabgbgbagbbbgbgaabbbbbbbXXXXXXXXlDXXXXlXDdtdldldtdl/2111考虑到考虑到XX-X，t=0时，时，l=0，t=t时，时，l=l，上式积分，上式积分得：得：tXXXXXXXDlaabgbgagbbb/222.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大前面的方程是在前面的方程是在A、B组元彼此溶解度很小的条件下推导出来的组元彼此溶解度很小的条件下推导出来的，倘若两个组元彼此溶解度很大，还应考虑，倘若两个组元彼此溶解度很大，还应考虑与与相的扩散。相的扩散。上图即为上图即为A
35、、B两组元之间有较大溶解度的相图及两组元之间有较大溶解度的相图及T1温度发生扩温度发生扩散的浓度分布图。如果其中一个相的散的浓度分布图。如果其中一个相的DX值比其他两个相的值比其他两个相的DX大得多，那么在其他两个相中的扩散可以忽略不计。例如大得多，那么在其他两个相中的扩散可以忽略不计。例如倘若倘若相的相的DX最大，那么上图浓度分布曲线的虚线所表示的最大，那么上图浓度分布曲线的虚线所表示的就是其近似解。就是其近似解。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用A、B彼此有彼此有一定溶解度并一定溶解度并形成中间相时形成中间相时近似求解示意近似求解示意图图2021一相转变成片层排列的两个新
36、相一相转变成片层排列的两个新相例如：共析钢的奥氏体（例如：共析钢的奥氏体（）向珠）向珠光体（光体（P P）转变）转变片层渗碳体（片层渗碳体（cemcem）+片层铁素体（片层铁素体（）（两相以协）（两相以协同方式长大）同方式长大）对于珠光体中渗碳体的长大，考虑对于珠光体中渗碳体的长大，考虑在在相中的扩散可以得到：相中的扩散可以得到：有效LVXADdtdmXXdtVAdlcemcemcemcemggggXcem，X碳在渗碳体与奥氏体中的摩尔分数；碳在渗碳体与奥氏体中的摩尔分数；X奥氏体奥氏体中碳的摩尔分数差；中碳的摩尔分数差；Vcem渗碳体的摩尔体积；渗碳体的摩尔体积；D碳在奥氏体碳在奥氏体中的扩
37、散系数。中的扩散系数。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用片层珠光体示意图片层珠光体示意图2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相上式上式A随着离边缘的距离而变化，当随着离边缘的距离而变化，当L有效取为有效取为Scem时，时，A便可以便可以取为取为Acem，因此可得：，因此可得：ggggXXVSVXDdtdlcemcemcemcem对于珠光体中铁素体片层边缘的长大，也可进行类似的处理，此对于珠光体中铁素体片层边缘的长大，也可进行类似的处理，此时只要将时只要将A A取为取为A A，L L有效有效=S=S，可得到：，可得到：agaagggaXXVSVXDdt
38、dl珠光体中渗碳体片层与铁素体珠光体中渗碳体片层与铁素体片层是相协生长的，则有：片层是相协生长的，则有：dtdldtdlcema2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相dtdldtdlcema利用下图部分利用下图部分Fe-Fe3C相图容易用杠杆定律证明相图容易用杠杆定律证明设设n、ncem为为为珠光体中铁素体和渗碳体的摩尔分数。为珠光体中铁素体和渗碳体的摩尔分数。由杠杆定律得：由杠杆定律得：gagaXXnXXncemcem由左图可知：由左图可知：cemcemcemVhlSnVlhSn.,aaa代入中得：代入中得：gag
39、aaXXVhlSXXVhlScemcemcem.2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用Fe-Fe3c部分相图部分相图2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相上式化简得：上式化简得：gagaaXXVSXXVScemcemcemdtdldtdlcemagagaaagaagggaggggXXVSXXVSXXVSVXDdtdlXXVSVXDdtdlcemcemcemcemcemcemcem2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相利用利用 杠杆定律可将片层边缘杠杆定律可将片层边缘长大速率写成
40、比较对称的形式。考虑到：长大速率写成比较对称的形式。考虑到：aagXXnXXncemcemVhlSnVSlhnnnn.,式可写为：式可写为：aaagaaXXVSXXVSVScemcemcemcem引入珠光体的平均摩尔体积引入珠光体的平均摩尔体积Vp与片间距与片间距S=S+Scem，则：，则：pcemcemVSVSVSaa代入代入得：得：aaagXXVSXXVScemcemp2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相aaagXXVSXXVScemcempSVVSXXXXpcemcemaaag上右式代入前面上右式代入前面式并
41、令式并令 SVVXXffXDdtdlSVVSXXVSVXDpcemcemcempcemcemcem1gaaggaaagggdtdldtdlcemaffcem分别为珠光分别为珠光体中铁素体和渗体中铁素体和渗碳体的摩尔分数碳体的摩尔分数。X=X/-X/cem是是相中碳含量相中碳含量之差，在之差，在X的的驱动下驱动下,C原子不原子不断由铁素体边沿断由铁素体边沿扩散到渗碳体边扩散到渗碳体边沿，使铁素体和沿，使铁素体和渗碳体相协长大渗碳体相协长大。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相X的大小可由的大小可由Fe-Fe3C图中图
42、中A3线线与与A线分别延长至线分别延长至A1以下的反应以下的反应温度求得，见右图。温度求得，见右图。(X)0为奥氏为奥氏体浓度差，体浓度差，0的含义为：的含义为：该值是由该值是由相图中两条正常平衡线求得，两相相图中两条正常平衡线求得，两相之间的界面必须是平直的。之间的界面必须是平直的。实际长大的珠光体前沿，无论是实际长大的珠光体前沿，无论是/还是还是/cem的界面均是曲面。铁的界面均是曲面。铁素体与渗碳体均承受一定压力，奥素体与渗碳体均承受一定压力，奥氏体单相区扩大（氏体单相区扩大（A3线向左下方移线向左下方移动，动，Acm线向右下方移动线向右下方移动），），X减小。减小。2.1.1 菲克第一
43、定律及其应用菲克第一定律及其应用由由Fe-fe3c相图求相图求X示意图示意图/与与/cem界面弯曲导致界面弯曲导致X减少减少示意图示意图2021一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相珠光体组织越细，这种效应就越明显。当珠光体片间距为某一珠光体组织越细，这种效应就越明显。当珠光体片间距为某一临界值临界值S Scrcr时，时，X X=0=0。ZenerZener给出给出X X随随S S变化关系：变化关系：SSXXcr10gg)1(1)(0SSSVVXXffXDcrpcemcemgaagg代入代入中得珠光体长大中得珠光体长大速率公式：速率公式：作作v与与S关关系图系图由图看出：由图
44、看出：当当S=SS=Scrcr时长大速度时长大速度为为0 0，S=2SS=2Scrcr时，长时，长大速度最大。大速度最大。2.1.1 菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用珠光体珠光体长大速长大速度度v与与片间距片间距S的关的关系系2021x1x2扩散通量为扩散通量为J1的物质的物质经过体积元后的变化经过体积元后的变化通量和距离的瞬时关系通量和距离的瞬时关系浓度和距离的瞬时变化浓度和距离的瞬时变化xdxJ1J2J1J2通量通量质量浓度质量浓度A2.1.2 菲克第二定律及其应用菲克第二定律及其应用设有一单位截面的长物体，其长度为x方向。下面讨论在相距dx的两个平行平面的两边的扩散通量的关系。设
45、在x1处的通量J1，在x2处的通量为J22021在体积元在体积元(Adx)内内积存速率积存速率=流入速率流入速率-流出速率流出速率21JJJxx12JJJxx 12CJJxt又又CJtx CJDxCCDtxx 菲克第二定律菲克第二定律2.1.2 菲克第二定律及其应用菲克第二定律及其应用x1x2xdxJ1J2J1J2通量通量质量浓度质量浓度A202122CCDtx当当D不变时不变时xyzCCCCDDDtxxyyzz三维空间，菲克第二定律表达式为三维空间，菲克第二定律表达式为xyz DDD当 时222222zCCCCDtxy（立方晶系）（立方晶系）对于非立方晶系，扩散系数是各向异性的对于非立方晶系
46、，扩散系数是各向异性的2.1.2 菲克第二定律及其应用菲克第二定律及其应用20218.1.3 扩散方程扩散方程(扩散第二定律扩散第二定律)的解的解一维扩散，一维扩散，D为常数为常数 高斯解高斯解 2exp44xhSCDtDt22expCAxB4SADt4BDt浓度分布振幅浓度分布振幅A，t，A浓度分布宽度浓度分布宽度B，t，BS代表在截面积代表在截面积为为1,长度从长度从-至至+的体积中所的体积中所包含的扩散组元包含的扩散组元量。量。22CCDtx2021 扩散组元总量保持恒定扩散组元总量保持恒定2exp44 2 424 xhSCdxdxDtDtSDtDtS高斯解的高斯解的特征特征 扩散刚开始
47、时所有扩散组元扩散刚开始时所有扩散组元都集中在一个地方都集中在一个地方 t，A，B 2.1.3 扩散方程扩散方程(扩散第二定律扩散第二定律)的解的解 根据根据A,B 与与 t 的关系可以看出，的关系可以看出，t=0,B=0,A=。这表明，高斯解描述的扩散过程具。这表明，高斯解描述的扩散过程具有这样的特征，即刚开始时所有扩散组元的原子都浓集在一个地方，随着扩散时间有这样的特征，即刚开始时所有扩散组元的原子都浓集在一个地方，随着扩散时间的增长，其振幅不断降低，而宽度不断增大。的增长，其振幅不断降低，而宽度不断增大。2021D不变时，菲克第二定律的通解不变时，菲克第二定律的通解误差函数具体形式误差函
48、数具体形式性质性质 ()()000.50.520511erferferferferferfbb A、B 积分常数，积分常数，由初边值条件确由初边值条件确定定2xCABerfABerfDtb202erfedbbbb2.1.3 扩散方程扩散方程(扩散第二定律扩散第二定律)的解的解 误差函数解误差函数解 适用范围：适用范围：扩散组元开始时均匀扩散组元开始时均匀分布分布(浓度为浓度为C0)在一个很宽的区域在一个很宽的区域0(1)22CxCerfDt02CAB一维扩散一维扩散22CCDtx2021无限长物体的扩散无限长物体的扩散求求C(x,t)的解析表达式的解析表达式2.1.2 扩散方程扩散方程(扩散第
49、二定律扩散第二定律)的应用的应用ABA,B均匀固溶体，均匀固溶体，C2C1 设A,B分别表示两根很长，且截面积相同的均匀固溶体合金棒。A的浓度为C1,B的浓度为C2，且C2C1。将A,B两合金棒对焊在一起制成扩散偶，并且使焊合面垂直于x轴(棒的轴线)，其所在位置取为坐标原点(x=0)。将此扩散偶加热至足够高的温度保温，溶质原子在浓度梯度的作用下将进行扩散。图中给出了A-B扩散偶及经不同时间扩散后浓度分布的示意图。现在的问题是要通过解扩散方程，求出扩散时间为t时沿棒的长度方向(x方向)溶质浓度分布的解析表达式CC(x,t)。由于合金棒很长，且固态下原子扩散很慢，因而可以认为扩散过程中两端的浓度不
50、受影响而保持恒定。据此可以确定其初始条件和边界条件。2021无限长物体的扩散无限长物体的扩散求求C(x,t)的解析表达式的解析表达式初始条件：初始条件：210,0,0,txCCxCC210,txCCxCC 2AB()2CerfDt边界条件：边界条件：2.1.2 扩散方程扩散方程(扩散第二定律扩散第二定律)的应用的应用ABA,B均匀固溶体，均匀固溶体，C2C12xCABerfDt1AB()2CerfDt 11erferf 2021无限长物体的扩散无限长物体的扩散121222CCACCB1212,222CCCCxCx terfDt2.1.2 扩散方程扩散方程(扩散第二定律扩散第二定律)的应用的应用
