1、线性代数1.教师姓名:王国联王国联2.52学时学时，第17周结束3.期中考试(待定)4.作业：练习册5.平时成绩所占比例20%(作业、平时抽查、期中考试(若有)课程简介课程简介代数中心课题代数中心课题-解方程解方程 最简单的方程一元一次方程。（1）一元n次方程-多项式理论（2）n元一次方程-线性代数线性代数mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211第一章第一章 行列式行列式 什么是行列式 行列式的定义、性质、计算 行
2、列式的应用 能解决什么问题1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式22221211212111bxaxabxaxa当(a11a22 a12a21)0时,用消元法解得:,211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定一、二阶行列式一、二阶行列式1.二阶行列式的引入二阶行列式的引入求解二元一次方程组称其为二阶行列式。21122211aaaa令a11 a12a21 a22由由4个数个数排成二行二列的数表排成二行二列的数表a11 a12a21 a2222211211aaaa2.二阶行列式的定义二阶行列式的定义22211211aaa
3、a主对角线主对角线副对角线副对角线3.二阶行列式的计算对角线法则a11a22 a12a21=a11a22 a12a21(1)(2)式称为由数表式称为由数表(1)所确定的所确定的记记(2),211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax22211211aaaaD 2221211ababD 2211112babaD,2221121122212111aaaaababDDx.2221121122111122aaaababaDDx.二阶行列式的应用22221211212111bxaxabxaxa当(a11a22 a12a21)0时,解得:,221221b
4、aab121211abba21122211aaaa分析：.1212232121 xxxx1223 D112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 解解:=3 (4)=7 0,二、三阶行列式二、三阶行列式1 111 221 3312 112 222 3323 113 223 333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb求解三元线性方程：用消元法解得122331223 313 23212332122331322 3111223312233113213211233212213313223111 233123311321 31123 31213313
5、231211223312233113213,ba aa a ba b aba aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a aa b aba aa a ba a bba aa b axa a aa a aa a a21123321221331322311122 3122311213211 2321221 3122313112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a ba b aba aa b aa a bba axa a aa a aa a aa a aa a aa a a02213332112
6、322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa当时，1.三阶行列式的引入三阶行列式的引入称为三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa (5)式称为由数表式称为由数表(4)所确定的所确定的.2.三阶行列式的定义三阶行列式的定义:设由设由9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表(5)(4)列标列标 行标行标333231232221131211aaaaaaaaa3.三阶行列式的计算三阶行列式的计算332211aaa.3
7、22311aaa(1)对角线法则322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa323122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 312213aaa.332112322311312213aaaaaaaaa (2)沙路法322113312312332211aaaaaaaaa D322311aaa 332112aaa 332211aaa 312312aaa 322113aaa 即即1 111 221 3312 112 222 3323 113 223 333axaxax
8、baxaxaxbaxaxaxb即02213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa当时，4.三阶行列式的应用三阶行列式的应用0333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD,3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 记则,332211DDxDDxDDx 243764000,21-DacbbaccbaD计算三阶行列式计算三阶行列式acbbaccbaD 1abcbcacabcba333abccba333302437
9、640002-D 二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的引入的.三、小结三、小结类似的可以定义四阶、五阶类似的可以定义四阶、五阶思考：思考：如何给出如何给出 n(n=1,2)阶行列式的一般定义？如阶行列式的一般定义？如何计算？何计算？n阶行列式的定义中要用到两个概念：全排列和逆序数。1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 定义定义:把把 n 个个不同不同的元素排成一列的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个元素个元素的的全排列全排列(或或排列排列).解答：解答：Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列 思考：思考：n 个个不同
10、不同的元素的排列数是多少？的元素的排列数是多少？通常用通常用 Pn 表示表示n 个不同的元素的所有全排列个不同的元素的所有全排列的种数的种数,称为称为排列数排列数.二、排列的逆序数二、排列的逆序数逆序逆序:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两个则称这两个数组成一个数组成一个逆序逆序.下面的例题及定义均以下面的例题及定义均以 n 个不同的自然数为例个不同的自然数为例,并规定并规定自然数由自然数由小到大为标准次序小到大为标准次序.逆序数逆序数:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数的总数,通常用通常用t表示表示.逆序数的计算方法逆序数的计算方法
11、:“前大法前大法”或或“后小法后小法”例如例如:排列排列3142中中,3 1 4 2 逆序逆序逆序逆序逆序逆序3 2 5 1 431010 故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1=5.例例1:求排列求排列32514 的逆序数。的逆序数。逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.3 2 5 1 421200于是于是t(32514)=2+1+2+0+0=5.解解:用用“前大法前大法”:用用“后小法后小法”:例例2:计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1)
12、n(n1)(n2)21解解:用用“前大法前大法”:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2),21 nnt=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为的逆序数为:此排列当此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列时为偶排列;当当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列时为奇排列,其中其中为自然数为自然数.(2)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解解:0121233(k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(
13、2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为的逆序数为:.2122kkkk 此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列,当当 k为奇数时为为奇数时为奇排列奇排列.1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、一、n 阶行列式阶行列式(1)三阶行列式共有三阶行列式共有6=3!项项.(2)不考虑每项的正负号不考虑每项的正负号,每项是由位于不同行不同列的三个每项是由位于不同行不同列的三个元素的乘积元素的乘积.(3)将每项三个元素
14、的行下标标准排列将每项三个元素的行下标标准排列,每项的正负号每项的正负号由列下标由列下标排列的逆序数决定排列的逆序数决定.三个本质特点：三个本质特点：1.概念的引入概念的引入t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(321)=3,t(132)=1,t(213)=1,321321321321)()1(ppppppppptaaa2.n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义:设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表称其为由数表称其为由数表(1)构成的构成的n 阶行列式阶行列式.nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaa
15、aaaa212222111211令令nnnpppnpppppptaaa21212121)()1(1)简记作简记作det(aij).Dnnnqqqnqqqqqqtaaa21212121)()1(三个本质特征：三个本质特征：（1）n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和;（2）不考虑每项的正负号）不考虑每项的正负号,n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的不同列的n个元素的乘积个元素的乘积.（3）行下标标准排列行下标标准排列,每项的正负号都由列下标排列的逆序数每项的正负号都由列下标排列的逆序数确定确定.按定义按定义一阶行列式的符号一阶行列式的符号|a|=a,
16、不要与绝对值符不要与绝对值符号相混淆号相混淆,但一般不使用此符号但一般不使用此符号.例例1:解:由行列式的本质特征(2)和(3),写出四阶行列式中含有因子3412aa的项。因此,含有因子,)1(4334211243342112)2143(aaaaaaaat3412aa的项,)1(4134231241342312)2341(aaaaaaaatn 阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积再冠以规定的正负号构成.0004003002001000例例2:计算对角行列式计算对角行列式.0004003002001000解解:分析分析.四阶行列式的通项为：四阶行列式的通项为：,)1(432143
17、214321)(pppppppptaaaa,011 pa从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4,则则 432114321 t.24 即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14 a23 a32 a41即即例例3:计算计算上三角行列式上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解:分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.)1(2121nnppptaaa所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项从最后一行开始讨论非零项.
18、显然显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即即nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 下三角行列式下三角行列式对角行列式对角行列式:主对角线上方和下方的元素全为零主对角线上方和下方的元素全为零;21n n 21n 21 .12121nnn 反对角行列式反对角行列式:反对角线上方和下方的元素全为零反对角线上方和下方的元素全为零.nnnt21)21)1(1思考：用行列式的定义计算思考：用行列式的定义计算nnDn000
19、0000010020001000 !.1221nDnnn答案：例例4:设设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明:D1=D2.证证:由行列式定义有由行列式定义有 nnnpppnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnppppnppnpppppptbaaa21212121()2()1211nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnppppppnnpppppp
20、tbaaa2121212121211由于由于 p1+p2+pn=1+2+n,.1212121212nnnnppppppppptaaaD 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt 故故 1211123111211xxxxxf 例例5:已知多项式已知多项式 1211123111211xxxxxf 求求 x3 的系数的系数.解解:含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项,即即对应于对应于=x3+(2x3)故故 x3 的系数为的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43 三、行列式的计算三、行列式的计算背景：仅用定义计算，计算量太大，除非0很多.例：n=50,50!约为1065。用每秒运算亿亿次的计算机，需1041年才能算完。行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式.n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项,每项都是位于不同行每项都是位于不同行,不同列不同列的的 n 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.作业：习题册第一章、作业：习题册第一章、2、3题。题。
