1、v离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差v回归课本v1.一般地，若离散型随机变量的概率分布列为v则称Ex1p1x2p2xnpn为的数学期望或平均值、均值，数学期望又简称为期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平x1x2xnPp1p2pnv3如果离散型随机变量所有可能的取值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，设E是随机变量的期望，那么把D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做随机变量的均方差，简称方差D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度其中标准差与随机变量本身有相同的
2、单位v点评：当的所有可能取值为x1，x2，xn这n个值时，若p1p2pn ，则x1，x2，xn的方差就是我们初中学过的方差因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步拓展v考点陪练v1.下面说法中正确的是()vA离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值vB离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平vC离散型随机变量的期望E反映了取值的平均水平vD离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值v答案：Cv2设是随机变量，a、b是非零常数，则下列等式中正确的是v()vAD(ab)a2DbBE(a)a2EvCD(a)a2D DE(ab)aEv解析：由公式D(ab)a2D知C项正确v答案：Cv
3、3(2011福建福州质检)已知某一随机变量的概率分布列如下，且E6.3，则a的值为()vA.5 B6vC7 D8v解析：由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4vE40.5a0.190.46.3va7.故选C.v答案：C4a9P0.50.1bv4已知随机变量N(3,22)，若23，则D等于()vA0 B1vC2 D4v解析：由23得D4D，而D4，D1.故选B.v答案：Bv答案：Av类型一求离散型随机变量的期望v解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：v列出离散型随机变量的分布列；利用公式Ex1p1x2p2xipi，求出期望值v【典例1】(2011福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里
4、装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.v(1)为何值时，其发生的概率最大？说明理由v(2)求随机变量的期望E.v点评本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法问题(1)，对的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可v探究1：某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试已知每个科目
5、只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试成绩合格的概率为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响v(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；v(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.v解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.v(1)不需要补考就获得证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立v类型二离散型随机变量的方差v解题准备：求离散型随机变量的期望与方差的方法v(1)理
6、解的意义，写出可能取的全部值；v(2)求取每个值的概率；v(3)写出的分布列；v(4)由期望的定义求E；v(5)由方差的定义求D.v【典例2】编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.v(1)求随机变量的概率分布；v(2)求随机变量的数学期望和方差v分析(1)随机变量的意义表示对号入座的学生个数；它的取值只有0、1或3，若2人对号入座第3人必对号入座，所以2不存在由排列知识与等可能事件概率公式易求分布列v(2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可v点评本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布列、期望、方差问
7、题，关键是分析对号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含的结果数，基本事件的总数若问题推广为错位入座的学生个数其变量的概率分布列、期望、方差也可用类似方法解决v探究2：甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与，且与的分布列为v求：(1)a，b的值；v(2)计算，的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况：123Pa0.10.6123P0.3b0.3v解析：(1)由概率分布的性质：a0.10.61，v解得a0.3，同理b0.4.v(2)由(1)知，随机变量与的分布列分别为：123P0.30.10.6123P0.30.40.3v则E10.320.130.62.3；vD(12.3
8、)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81.vE10.320.430.32；vD(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6；v所以EE，DD说明甲平均得分高，但不如乙稳定 v类型三期望和方差性质的应用v解题准备：随机变量的有关知识属于应用数学的范畴，在经济以及其他社会领域应用广泛，这更加突出了“数学来源于社会，又应用于社会”的原则用离散型随机变量的知识分析和解决实际问题的题目逐步成为高考的热点，复习时应予以高度重视v【典例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿意摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表
9、：摸5个球中彩发放产品有5个白球1个帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)v试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；v(2)按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，求出净赚多少钱？(精确到1元)v分析在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0.v点评本例属于随机变量期望的应用问题，解题关键是正确地设出随机变量，由于就一次摸球而言，这个人的收入情况是不确定的，有19元，1元，0.5元，1元四种可能，故可将其设为随机变量，然后通过计算这个随机变量的
10、期望值来判断他是否赚钱即期望值反映的是随机变量的平均取值情况，它是比较两随机变量平均水平的最重要依据v第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.v针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由v若按方案二执行，设收益为万元，则其分布列为：v由上知DD.这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥所以，建议李师傅选择方案二投资较为合理 v快速解题v技法据气象台预报，某三座城市A、B、C,10月1日这天下雨的概率分别为0.4、0.5、0.6，且每个城市下与不下雨互不影响设表示下雨的城市数与不下雨的城市数的差的绝对值v(1)求的分布列及数学期望；v(2)设“函数f(x)x23x1在区间2，)上单调递增”为事件A，求P(A)v其分布列为：13P0.760.24上方上方 x x x x 1 越小越小 越大越大 N N(u u，2 2)0.68260.6826 0.95440.9544 0.99740.9974 0.8 12A B A C
