1、习题与上机题习题与上机题1设设X(ej)和和Y(ej)分别是分别是x(n)和和y(n)的傅里叶变换，试的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：求下面序列的傅里叶变换：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(6)nx(n)1.解：解：（1）00()()j nnDTFT x nnx nn e0knn设设0nkn则则所以所以00000()()()()()j nnj nj nj kj kkkj njDTFT x nnx nn ex k eeex k eeX e1.解：解：（2）()()()()()()j nnj njnnnjDTFT x nx n ex n ex n eXe1.解：解：（3）
2、()()j nnDTFT xnxn ekn 设设nk 则则所以所以()()()()()j nnjkjkDTFT xnxn ex k eX e1.解：解：（6）()()jj nnX ex n e则则()()()()j njnj nndx n edX eddjnx n ejDTFT nx n所以所以()()()jjdX edX eDTFT nx njjdd 因为因为0000000001()()()21()()()2sin()11122jjj njj njj njj nj nx nIFT X eX eedX eedX eedX eednj nedjnne2 已知已知求求X(ej)的傅里叶反变换的傅里
3、叶反变换x(n)。0j01|(e)0|X解：解：5.设题设题5图所示的序列图所示的序列x(n)的的FT用用X(ej)表示，不直接求出表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算：，完成下列运算：（1）；（2）；（3）；（4）确定并画出傅里叶变换实部）确定并画出傅里叶变换实部 的时间序列的时间序列（5）；（6）。j0X(e)j(e)dXjX(e)j2|(e)|dXj2d(e)|ddXRe()jX e()ax n题题5图图5.解：解：（1）可知可知 ，所以：，所以：j0X(e)0()()()7j0jwnnn30X ex n ex n6j(e)dX（2）jj1()(e)ed2nx nX因为因为所以所以j
4、j0(e)d(e)d2(0)4jXXexjX(e)（3）可知可知 ，所以：，所以：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()7jjwnjwnnn3X ex n ex n ex31x21x11x 01x 11x 21x 31x 41x 51x 61x 712 5.解：解：（4）确定并画出傅里叶变换实部）确定并画出傅里叶变换实部 的时间序列的时间序列因为序列因为序列x(n)的共轭对称部分的共轭对称部分xe(n)对应着对应着X(ej)的实部的实部ReX(ej)所以：所以：用图形表示如下：用图形表示如下：Re()jX e()ax n*()()()()()().,.
5、,.,.ae1x nx nx nxn21x nxn20 5 0 0 5 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 5 00 5-8-6-4-202468-1-0.500.511.522.535.解：（解：（5）根据帕斯维尔定理根据帕斯维尔定理所以所以j2|(e)|dX221()()2jnx nX ed22723()2()2()2(1 14 1 14 1 1)28jnnX edx nx n j2d(e)|ddX（6）因为因为jd(e)()dXFT nx nj所以所以jd(e)()dXFTjnx n根据帕斯维尔定理根据帕斯维尔定理22j273d(e)2()d2()2(91 19642549)316n
6、nXdjnx nnx n 1234(1)()(3)11(2)()(1)()(1)22(3)()()01(4)()(3)(4)nx nnx nnnnx na u nax nu nu n6 试求如下序列的傅里叶变换：试求如下序列的傅里叶变换：6.解：解：（1）（2）311()()(3)j nj njnnFT x nx n enee1()(3)x nn211()(1)()(1)22x nnnn22()()11(1)()(1)221111cos22j nnj nnjjFT x nx n ennneee （3）330()()1()1j nnnj nnj njnnFT x nx n ea u n ea e
7、ae3()()01nx na u na（4）44332233()()(3)(4)112cos2cos22cos3j nj nnnj njjjjjjnFT x nx n eu nu neeeeeeee 4()(3)(4)x nu nu n（4）44313333300143433473()()(3)(4)11111111111j nj nnnj nj nj nj nj nnnnnnjjjjjjjjjjjjjjjFT x nx n eu nu neeeeeeeeeeeeeeeeeeeee77722231112227sin()()21sin()()2jjjjjjjeeeeeee4()(3)(4)x n
8、u nu n11若序列若序列h(n)是实因果序列，是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部，其傅里叶变换的虚部为为 ，求序列，求序列h(n)及其傅里叶变换及其傅里叶变换H(ej)。解：因为序列解：因为序列h(n)的共轭反对称部分的共轭反对称部分ho(n)对应着对应着H(ej)的虚部的虚部及及j，所以可以通过，所以可以通过H(ej)的虚部求解的虚部求解ho(n)。jI(e)sinH II*(1)*11()sin()21()()()()211022jjjjjjj noonjjH eeejFT h njH eeeh n eee 所以所以112()00112onh nnn 对于实因果序列，可以根
9、据对于实因果序列，可以根据ho(n)及及h(0)恢复恢复h(n)，即，即2()0()()(0)()000ooh nnh nh nhnnn()()()(0)()oh nh n unhn20()1000nunnn所以所以即即10()110nh nn其它n1j2()(e)()12cos2jj njnFT h nHh n eee 14 求出以下序列的求出以下序列的Z变换及收敛域变换及收敛域:(1)2nu(n)(2)2nu(n1)(3)2nu(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10)比值判定法确定比值判定法确定Z变换的收敛域变换的收敛域nna为正项级为正项级数，且数，且1limnnn
10、aqa则则 若若(i)当当 q 1 时级数发散时级数发散(iii)当当 q=1 时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散()nnx n z Z变换存在的条件是级数变换存在的条件是级数 收敛，即级数绝对可和收敛，即级数绝对可和()nnx n z ，而而 构成正项级数，构成正项级数，所以所以()nnx n z 可用比值判定法确定可用比值判定法确定Z变换的收敛域变换的收敛域(1)解：解：()n2u n()()()nnnnnnnn 0n 011ZT 2u n2u n z2z2z12z112z112z12z用比值判定法确定收敛域：用比值判定法确定收敛域：()()lim()n 1n 1nnna2z
11、1qa2z2z1z2令令 q 1，级数收敛，则该，级数收敛，则该Z变换的收敛域为：变换的收敛域为：(2)解：解：()n2un1()()()()1nnnnnnnnn11n 1n 0ZT2un12un1 z2z2z12z2z112z12z 用比值判定法确定收敛域：用比值判定法确定收敛域：q2z1z2令令 q 1，级数收敛，则该，级数收敛，则该Z变换的收敛域为：变换的收敛域为：(3)解：解：()n2un()()()0nnnnnnnnn 0ZT 2 un2 un z2z12z12z用比值判定法确定收敛域：用比值判定法确定收敛域：q2z1z2令令 q 1，级数收敛，则该，级数收敛，则该Z变换的收敛域为：
12、变换的收敛域为：(4)解：解：()n()()n0nZTnn zz1该该Z变换的收敛域为：全部变换的收敛域为：全部Z平面平面(5)解：解：()n1()()n1n1ZTn1n1 zzz该该Z变换的收敛域为：变换的收敛域为：z0(6)解：解：()()n2u nu n10()()()()()nnnn1010109nn11n 0ZT 2u nu n102u nu n10 z1112z2z2z112 z12zz0该序列为该序列为有限长序列有限长序列，除，除0和和是否收敛与序列边界取值是否收敛与序列边界取值有关外，整个有关外，整个Z平面均收敛，本题序列右边界为平面均收敛，本题序列右边界为9，大于，大于零，所
13、以收敛域不包含原点，该零，所以收敛域不包含原点，该Z变换的收敛域为：变换的收敛域为：17 已知已知x(n)=anu(n),0a1。分别求：。分别求：(1)x(n)的的Z变换；变换；(2)nx(n)的的Z变换；变换；(3)anu(n)的的Z变换。变换。17.(1)解：解：()na u n0a1()()()nnnnnnn 0n1n 0ZT a u na u n za za1z1az用比值判定法确定收敛域：用比值判定法确定收敛域：aqzza令令 q 1，级数收敛，则该，级数收敛，则该Z变换的收敛域为：变换的收敛域为：17.(2)解解1：()nna u n0a1()()()()()nn211 2zdd
14、ZT a u nazzaZT na u nzzdzdzzaaz1az za该该Z变换的收敛域与变换的收敛域与 的收敛域相同，为：的收敛域相同，为：()na u n17.(2)解解2：()nna u n0a1za()().nnnnnnn 0122334455ZT na u nna u n zna zaz2a z3a z4a z5a zY.223344551a z2a z3a z4a zaz Y(1)(2).()1223344551aza za za za z1azY.()12233445511aza za za za z11azY()()1n1 2azYZT na u n1az（1）（2）得）得
15、即即用比值判定法确定收敛域，用比值判定法确定收敛域，即即1qaz117.(3)解：解：()na un0a1()()()0nnnnnnnnn 0ZT a una un zaz1az1az用比值判定法确定收敛域：用比值判定法确定收敛域：qaz1za令令 q 1，级数收敛，则该，级数收敛，则该Z变换的收敛域为：变换的收敛域为：18 已知，分别求：已知，分别求：（1）收敛域收敛域 0.5|z|2 对应的原序列对应的原序列x(n)。2112523)(zzzzX18已知，求：已知，求：（1）收敛域收敛域 0.5|z|2 对应的原序列对应的原序列x(n)；解：解：2112523)(zzzzX()()()()
16、1n 1nn 1123zz3zF zX z z25z2z2z1 z2根据收敛域的范围，可知原序列是双边序列根据收敛域的范围，可知原序列是双边序列（i）当）当 n2 对应的原序列对应的原序列x(n)；解：解：2112523)(zzzzX()()()()1n 1nn 1123zz3zF zX z z25z2z2z1 z2根据收敛域的范围，可知原序列是因果序列，只考虑根据收敛域的范围，可知原序列是因果序列，只考虑n0 时的情况，时的情况，当当n0 时，时，F(z)有有2个极点：个极点：z=0.5，z=2，围线围线c内有内有2个极点：个极点：z=0.5，z=2，可根据留数定理求解，可根据留数定理求解R
17、e (),()()nz 2s F z 2z2F z2.Re (),.(.)().nz 0 5s F z 0 5z0 5F z0 5所以所以()(.)()nnx n0 52 u n24 已知线性因果网络用下面差分方程描述：已知线性因果网络用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1）求网络的系统函数）求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应及单位脉冲响应h(n)；（2）写出网络频率响应函数）写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出的表达式，并定性画出 其幅频特性曲线；其幅频特性曲线；（3）设输入设输入，求输出，求输出y(n)。0j()enx n（1）解：
18、对差分方程）解：对差分方程 y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)两两边进行双边边进行双边Z变换，得：变换，得：().()().()11Y z0 9z Y zX z0 9z X z所以所以().()().11Y z1 0 9zH zX z1 0 9zh(n)是是H(z)的逆的逆Z变换变换.()().1n 1n 1n 111 0 9zz0 9F zH z zzz1 0 9zz0 9由于系统是因果系统，所以由于系统是因果系统，所以h(n)是因果序列，只考虑是因果序列，只考虑n0 时的情况。时的情况。24.Re (),().n 1z 0z 0z0 9s F z 0zF zzz1z0
19、9 所以所以()Re (),Re (),.h 0s F z 0s F z 0 91.Re (),.(.)()(.).n 1z 0 9z 0 9z0 9s F z 0 9z0 9F zz0 9z2z0 9（i）当）当n=0 时，时，F(z)有有2个极点：个极点：z=0，z=0.9，由于是因果，由于是因果系统，收敛域为某个圆外区域，为系统，收敛域为某个圆外区域，为|Z|0.9，围线，围线c内有内有2个个极点：极点：z=0，z=0.9，可根据留数定理求解，可根据留数定理求解所以所以.Re (),.(.)()(.).n 1nz 0 9z 0 9z0 9s F z 0 9z0 9F zz0 9z2 0
20、9z0 9（ii）当）当n1 时，时，F(z)有有1个极点：个极点：z=0.9，围线，围线c内有内有1个极个极点：点：z=0.9，可根据留数定理求解，可根据留数定理求解()().()nh nn2 0 9 u n1().nh n2 0 9综上综上24.（2）解：因为）解：因为h(n)是因果序列，是因果序列，H(z)的收敛域是的收敛域是|z|0.9,包含单位圆，所以：包含单位圆，所以：.()().jjjjz e1 0 9eH eH z1 0 9eH(z)的极点为的极点为z=0.9，零点为，零点为z=-0.9，定性画出幅频特性，定性画出幅频特性曲线如下：曲线如下：（3）解：传输函数解：传输函数 就表
21、示系统对特征序列就表示系统对特征序列 的响应的响应特性，所以当输入为特性，所以当输入为 时，输出时，输出 为：为：()jH e0jne()0jnx ne()y n.()().00000jjjnjnj10 9ey nH eee1 0 9e24.25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(n)0a1,0b1 （1）试用卷积法求网络输出试用卷积法求网络输出y(n)；（2）试用试用ZT法求网络输出法求网络输出y(n)。25.x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)0a1,0b1 ()()()()()()()mmn mmy
22、nx nh nx m h nma u m bu nm因为因为h(n)是因果序列，所以系统是因果系统，是因果序列，所以系统是因果系统，因为输入也是因果序列，所以因为输入也是因果序列，所以:当当n 0时，时，y(n)=0当当n0时，且时，且0mn()()()n 1n 1n 1nnmn mnmnm 0m 0a1aabby na bbbabab1b（1）试用卷积法求网络输出）试用卷积法求网络输出y(n)；解：解：25.x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)0a1,0b1()11X z1az()()()()()()()()1121y nIZT Y zIZT1az1bzzIZTza zb()11H
23、 z1 bz则则()()()1111Y zX z H z1az1 bz所以所以()()()()()2n 1n 1zzF zzza zbza zb（2）试用）试用ZT法求网络输出法求网络输出y(n)；解：解：()Re (),Re (),n 1n 1n 1n 1y ns F z as F z babababbaab因为因为h(n)是因果序列，所以系统是因果系统，是因果序列，所以系统是因果系统，因为输入也是因果序列，所以因为输入也是因果序列，所以:当当n 0时，时，y(n)=0当当n0时，时，F(z)有两个极点，围线有两个极点，围线C内有两个极点内有两个极点 z=a，z=b，所以，所以即即()()n 1n 1aby nu nab
