1、第二章第二章 应力应力分析分析 1.1 1.1 外力：外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围力中的体力和面力的范围。x1Px3x2 V F量纲：力量纲：力/（长度）（长度）3。求求 V 中任意点中任意点P上承受体力上承受体力采用极限方法采用极限方法：kZjYiXkfjfifeffVFzyxiiVlim0
2、2.2.外部面力：作用在物体外部表面力外部面力：作用在物体外部表面力其中其中 为沿三个坐标轴分量。为沿三个坐标轴分量。zyxfff,x1Px3x2 S F如静水压力、土压力等。如静水压力、土压力等。量纲：力量纲：力/（长度）（长度）2。求物体表面上任意一点求物体表面上任意一点P上上受面力仍采用极限方法：受面力仍采用极限方法：kZj YiXkFjFiFeFSFPzyxiiS lim0其中其中 为沿三个坐标轴分量。为沿三个坐标轴分量。,xyzF F F1.2 1.2 内力：内力：物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以在材力和结力中以N、M、Q形式出
3、现，形式出现，但在弹力中常以应力来描述。但在弹力中常以应力来描述。2.1 应力矢量应力矢量当变形体受外力作用时，要发生变形，同时当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）抗力）内力内力，为了描述物体内任意点，为了描述物体内任意点P P的内力可的内力可采取如下方法：采取如下方法：过过P点设一个截面点设一个截面S将将V分为分为两部分：（相互有作用力与反作用力）两部分：（相互有作用力与反作用力）Fn SPV+F+F-n+n-V+V-S+S-一部分：一部分：V+、S+、外法线、外法线 、合力、合力 ；nF另一部分：另一部分：V-、S
4、-、外法线、外法线 、合力、合力 ；nF截面上的合力：截面上的合力：或或 0FFFF2.1 应力矢量应力矢量 Fn SPV+2.1 应力矢量应力矢量 截面上截面上P点上的内力情况，点上的内力情况，在在V+上上S面围绕面围绕P点取点取 S，F S上合力为上合力为 。应力矢量（作用在应力矢量（作用在V+）：）：SFtSn lim0)(n 应力矢量与应力矢量与P点位置有关，与截面方向点位置有关，与截面方向（方向）有关。方向）有关。量纲为力量纲为力/（长度）（长度）2。当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。取取V-：()()00limlimnnSSFFttSS 作
5、用在作用在V-上。上。当当P点的截面与坐标面平行时，点的截面与坐标面平行时，)(ienintt)(x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA定理：定理：过过P点以点以 单位外法线截面上的应单位外法线截面上的应()nt)()1(xtt)()2(ytt)()3(zttn量量 、力矢量力矢量 是作用在通过是作用在通过P点坐标平面的应力矢点坐标平面的应力矢的线性函数、其系的线性函数、其系数是数是 的方向余弦，的方向余弦，nlnnx1mnny2nnnz3lnnx1mnny2nnnz3即：()()(1)1(2)2(3)3niitt nt nt nt n()()()xyzt lt m t
6、 nx2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA,ABCS,32SnPABSnPAC iiSn S则则 设设证：证：1,PBC n S可得可得 x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA0)()(VfStStiin ()()iiittt 而而 代入上式，并忽略高阶微量代入上式，并忽略高阶微量()0niitSt nS 根据微元体的平衡，得根据微元体的平衡，得 x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA()ni itn t或 展开为()1 12233ntt nt nt n或()nxyztt lt mt n()0niitSt nS x2x3x
7、1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2.2 应力张量应力张量 每个坐标面上的应每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比标面分解三个分量，比如坐标面法线为如坐标面法线为x1 111 112 213 31xjjtteeeet1x1(x)x3(z)x2(y)11 12 13xxxxyyxzzeee沿三个坐标面的应力矢量由九个沿三个坐标面的应力矢量由九个元素元素(分量分量)表示表示,这九个分量组成一个二阶张量：这九个分量组成一个二阶张量：zzyzxyzyyxxzxyxzzzyzxyzyyyxxzxyxx333231232221131211iijjte
8、 这九个分量的两个下标：第一个表示应力这九个分量的两个下标：第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量的分量的方向。矢量的分量的方向。zzyzxyzyyxxzxyxzzzyzxyzyyyxxzxyxx333231232221131211 应力分量的正负：在正面上应力分量指向应力分量的正负：在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分量指向坐标负向为正，反之为负。量指向坐标负向为正，反之为负。下面说明一下下面说明一下 为张量：为张量：()ni itnt()ntn柯西公式柯西公式（Can
9、chy formula）由商法则可知由商法则可知()()k kij ijneeen iijjneiijjtekijkijne 为一二阶张量为一二阶张量 jiijee 斜面上的应力矢量斜面上的应力矢量 沿正交坐标系分解沿正交坐标系分解)(ntiinett)()ntn 为一二阶张量，为一二阶张量，根据柯西公式根据柯西公式 ijijjijinenennt)(斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：jijintiinett)(定理：作用在过定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完点任一截面的应力矢量完全由该点的应力张量线性表出。全由该点的应力张量线性表出。)(nt)(nt量关
10、系量关系 且且 是以三个坐标分量表示是以三个坐标分量表示.柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢ijijjijinenennt)(其中，斜面法向应力：其中，斜面法向应力：nnnn应力矢量也可沿斜面法向应力矢量也可沿斜面法向 和切向分解和切向分解nnntn i ine222222xyzxyyzzxlmnlmmnnlnnn()nntniijjnn nn nnni intte 222()nnni iijijtt tn n()i in i iin iitenetn e1 1。在物体中一点。在物体中一点P的应力张量为的应力张量为 ，104030405求（求（1）
11、过）过P点且外法线为点且外法线为的面上的应力矢量的面上的应力矢量 ；321212121eeen)(nt（2）的大小；nt（3）与 的夹角 n（4）求）求 的法向分量的法向分量 ；n（5）切向分量）切向分量 。nnt)(nt2.2.在在P点两斜面法线向量点两斜面法线向量 和和 ，证：，证：1n2n1221ntntnn（用指标符号证）。（用指标符号证）。2nt1nt2n1n 当物体受外力作用下，其内力和变形当物体受外力作用下，其内力和变形也是一定的，但这些物理量随着选取的直也是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐标系不同他们的分量是不一样的，但角坐标系不同他们的分量是不一样的，但不同坐标下它们（分
12、量）之间转换应遵循不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循一定的规律。一定的规律。3.1 两个不同直角坐标系基向量的转换：两个不同直角坐标系基向量的转换：（旧）第一个直角坐标系：（旧）第一个直角坐标系：（新）第二个直角坐标系：（新）第二个直角坐标系：ixie1,2,3i ixie3,2,1ix3x1x2x1x2x33e2e1e2e3e1e1iiee新坐标基矢量由旧新坐标基矢量由旧坐标基矢量表示坐标基矢量表示 332211eQeQeQeQeiiijj iix3x1x2x1x2x33e2e1e2e3e1e()ikjki je eQ ee332211eQeQeQeQeiiijj ii两边点积两边点积 k
13、ejki ji kQQiki ke eQiji jQe e ieje与与 的方向余弦，共有九个元素。的方向余弦，共有九个元素。或或cos(,)ijx x九个元素用矩阵表示九个元素用矩阵表示 QQji 则新坐标基矢量用旧基矢量表示：则新坐标基矢量用旧基矢量表示：eQeiji jeQ e同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示 jijieQe),cos(jijiijxxeeQ注意注意 ijQ九个元素用矩阵表示九个元素用矩阵表示 TTjiijQQQ 旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：eQeT TTjiijQQQjijieQe3.2矢量（向量）
14、的坐标转换矢量（向量）的坐标转换 i irxeji ijxxe e ji jijjixQeexxx3x2x1rojjx eiijQ x用矩阵表示用矩阵表示 321332313322212312111321xxxQQQQQQQQQxxx xQx xQxT3.3 应力（二阶）张量的坐标变换应力（二阶）张量的坐标变换 ijije e lkjlikijQQkll jkijiQQ klk le e 3.3 应力（二阶）张量的坐标变换应力（二阶）张量的坐标变换 QQQQTTjllkikTQQ3.4 笛卡尔张量定义一般式笛卡尔张量定义一般式 如物理量如物理量(r个下标）个下标）ijs ijsTTeee两个不
15、同笛卡尔直坐标下表示满足两个不同笛卡尔直坐标下表示满足 sijssjji isjiTQQQT则则T为为r阶张量。阶张量。ijsi jsTeee ntntiin)(iienn由柯西公式，已知一点的应力状态由柯西公式，已知一点的应力状态 （或（或 ）,在在 xi 笛卡尔坐标系中，则任何笛卡尔坐标系中，则任何 方向的应力矢量方向的应力矢量 itn)(ntjijiet4.1 主应力和应力主方向主应力和应力主方向()ni itt ejji ine这里 0sn1ssnnntntiin)(nnns随着随着 变化，变化，也变化，也变化，n)(nt但肯定存在一个但肯定存在一个 使使 ,即即n0i innejij
16、inn或或 0ijijnn()ntjji ine展开展开 0)(313212111nnn0)(323222121nnn0)(333232131nnn（1）0ijijnn1iinn即即 不全为零不全为零 in0332313322212312111有关有关 的三次方程的三次方程 应力的第一不变量应力的第一不变量 yyxii332211应力的第二不变量应力的第二不变量 111331333332232222211211)21ijijjjii（023（2）应力的第三不变量应力的第三不变量 321kjiijke111213212223313233应力的第一不变量应力的第一不变量 023（2）由（由（2）求
17、出）求出 三根分别为三根分别为 ，代回代回 （2）式）式 321应力的第二不变量应力的第二不变量 321233221应力张量第三不变量：应力张量第三不变量：321求出主应力求出主应力 后代回（后代回（1），并注意），并注意 的的三个方向余弦三个方向余弦kn1iinn可决定每个主应力可决定每个主应力 的主方向的主方向kkn()()()123(,)kkknnn 几点说明：几点说明：（1）（因为由线性代数知实对称阵的）（因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，特征值为实数）三个主应力均为实数，123且时133221,nnnnnn（2）当有一个重根时，如）当有一个重根时，如 ，则与
18、则与 垂直平面内任何方向均为主应力，垂直平面内任何方向均为主应力，为为 3213n21（3）当）当 ，任意方向均为主方，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态。向，称为球形应力或静水应力状态。3215.1最大正应力最大正应力 一点一点P的三个主应力的三个主应力 3211maxn3minn可以取可以取 xi 轴为主轴，则轴为主轴，则 333222111eeeeee5.1最大正应力最大正应力 333222111eeeeee 任意任意 斜面的上应力矢量斜面的上应力矢量 ，ntn)(n()nnijijtnnnn n0ijij222111222333nnnn2212123131223113223
19、3()()()()nnnnnn31n222112233nnn222111222333nnnn5.2 5.2 最大剪应力最大剪应力 222)(jiijiinnnntttjijint2222222222222112233112233()nnnnnnn1iinn 条件驻值问题条件驻值问题 0ijij0000321FnFnFnF求出最大求出最大 的方向的方向 n)(21minmax31引入拉氏乘子：引入拉氏乘子：2(1)niiFnn莫尔园莫尔园：)(21minmax31max131345在和平面内，与和成角。max 1 21 3 min 2ijije e)(31313322110iiijijijs00
20、00()i iijijiji iij ijeeeeees ee 00()ijijijije e SI 0I0为应力球张量；为应力球张量；S为应力偏斜张量。为应力偏斜张量。应力球张量应力球张量 是一种平均的等向应力状是一种平均的等向应力状态（均匀拉压），对于各向同性材料，它态（均匀拉压），对于各向同性材料，它引起体积膨胀（或收缩）引起体积膨胀（或收缩）I00 i iij ijees eeS 应力偏斜张量应力偏斜张量 表示（实际应力状态表示（实际应力状态减去应力球形张量）了材料的形状畸变减去应力球形张量）了材料的形状畸变 实验证明，对于金属等材料，体积膨实验证明，对于金属等材料，体积膨胀基本是纯弹
21、性的。胀基本是纯弹性的。S 而实验证明塑性变形基本是畸变变而实验证明塑性变形基本是畸变变形，所以形，所以 在塑性力学中非常重要。在塑性力学中非常重要。26节较系统（不同侧面）讨论了一点节较系统（不同侧面）讨论了一点应力张量（状态），这一节将讨论应力张量（状态），这一节将讨论(fF体力应力）面力之间的关系：平衡微分方程和力的边界条件。之间的关系：平衡微分方程和力的边界条件。7.1平衡微分方程平衡微分方程 f当变形体受外力作用包括体力和面力，研究当变形体受外力作用包括体力和面力，研究某点某点P的应力与体力之间关系。的应力与体力之间关系。取有限变形体取有限变形体V V，考虑有，考虑有限变形体总平衡（
22、合力）限变形体总平衡（合力）fFx1x3x2oPr0)(dStdVfSnV或 0SVdSndVf将面积分转化为体积分将面积分转化为体积分 利用高斯定理利用高斯定理 0VVdVdVffFx1x3x2oPr0VVdVdVf即即()0Vf dV0f 在在V上（对任意体积）上（对任意体积）平衡微分方程平衡微分方程 0f用指标符号写成用指标符号写成 0jkikii ijee ef ex 或或()0jiii ijef ex，()0jiijfx 有限变形体有限变形体V 对坐标原点对坐标原点o取矩取矩()0nVSrfdVrtdS 而而()()ni iSSrtdSrnt dS除了合力等于零外，有限体还除了合力等
23、于零外，有限体还需对任意点取力矩为零（力矩需对任意点取力矩为零（力矩平衡）：平衡）：fFx1x3x2oPr利用高斯定理利用高斯定理,()()iiiiSVn rt dSrtdV()()ni iSSrtdSrnt dS()iiSn rt dS 则力矩平衡方程则力矩平衡方程,()0i iiiVrfrtrt dV 或或 0)(,dVtrftriiVii而而 ,0i itff 所以所以,()0iiVrt dV,()0i iiiVrfrtrt dV0,iitr,kkrx e,()0iiVrt dV,()kkiiix errxxikkiee0,iiiitetr0,iiiitetriijjij ijk kee
24、e e233213113212213()()()0eee得得 剪应力互等剪应力互等 jiij7.2 力的边界条件力的边界条件 在斜面上在斜面上()ni iijjitnt etn应用在边界上：应用在边界上：jijiiiiiinnFXeXeFFt)(jijiiiiiinnFXeXeFFt)(111112131jjFXXnlmn22122232FXYlmn33132333FXZlmn3.3.在物体中一点在物体中一点P的应力张量为的应力张量为 11=x1+x2、t(1)=(1+x1)e1+(5-x2)e2。12=12(x1,x2)、22=x1-2x2、33=x2 ,其余应力其余应力分量为零。试确定分量为零。试确定 12(x1,x2)，使得上述应力，使得上述应力分布满足无体力的平衡微分方程，并使分布满足无体力的平衡微分方程，并使x1=1面面上的应力矢量为上的应力矢量为x yo450lh4.4.图示悬臂薄板，已知板图示悬臂薄板，已知板并在图上画出边界荷载。并在图上画出边界荷载。薄板所受的边界荷载和体力薄板所受的边界荷载和体力。余应力分量为零。求此余应力分量为零。求此中中a为常数（设为常数（设a 0）。）。其其 y=a(2x+y-l-h)、xy=-ax,其其内的应力分量为内的应力分量为 x=ax、
