1、第二十七章第二十七章27.2.4 27.2.4 用三边关系判定三角形相似用三边关系判定三角形相似人教版数学九年级下册1.1.初步掌握初步掌握“三组对应边的比相等的三组对应边的比相等的两个三角形相似两个三角形相似”的判定方法的判定方法.2.2.能运用它们解决具体问题能运用它们解决具体问题.学习目标学习目标判定两个三角形全等我们判定两个三角形全等我们有有SSSSSS的方法，类似地，判定的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？似的简单方法呢？导入新知导入新知1知识点知识点用三边关系判定三角形相似定理用三边关系判定三角形相似定理任意画一个三角形，再画另一个三
2、角形，使它任意画一个三角形，再画另一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的的各边长都是原来各边长的2倍，度量这两个三角形倍，度量这两个三角形的对应角，他们对应相等吗？这两个三角形全等吗？的对应角，他们对应相等吗？这两个三角形全等吗？问问 题题合作探究合作探究如图，在如图，在ABC和和ABC中，中，则则ABC与与ABC相似吗？为什么？相似吗？为什么？分析：分析：这时可在这时可在AB上截取上截取AD=AB，再过，再过D作作DE/BC，由，由ADEABC，再证明，再证明ABC ADE，则可得到，则可得到ABCABC.=ABBCACA BB CA C ，思思 考考如图，在如图，在ABC和和ABC中，中
3、，求证：求证：ABCABC.=ABBCACA BB CA C ，证明：证明：在线段在线段AB（或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取AD=AB，过点过点D作作 DE/BC，交，交AC于点于点E.根据前面的定理，可得根据前面的定理，可得ADEABC.DE=BC，AE=AC.ADE ABC.ABC ABC.=.A DDEA EA BB CA C =ABBCACA DABA BB CA C 又又，=.DEBCA EACB CB CA CA C ，ADE是证是证明的中介，它把明的中介，它把ABC与与ABC联系起来联系起来.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理由此我们得到利用三边判定三角形相似的
4、定理（如图）：（如图）：三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似.=ABBCACA BB CA C ABC ABC新知小结新知小结例例1 根据下列条件，判断根据下列条件，判断ABC与与ABC是否相似，是否相似，并说明理由：并说明理由：AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm.解：解：ABC ABC.416181=123183243ABBCACA BB CA C ，=.ABBCACA BB CA C 合作探究合作探究这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法定方法“边边边边边边”十
5、分相似，所不同的是在相十分相似，所不同的是在相似的似的判定方法中的判定方法中的“三边三边”要求的是要求的是“比相等比相等”.三边三边的对应关系是的对应关系是“短短 短短”“”“中中 中中”“”“长长 长长”.新知小结新知小结根据下列条件，判断根据下列条件，判断ABC与与ABC是否相似，是否相似，并说明理由并说明理由:AB=10 cm，BC=8 cm，AC=16 cm,AB=16 cm，BC=12.8 cm，AC=25.6 cm.1解：解：相似相似 ABCABC.10585165=16812.5825.68ABBCACA BB CA C ，=.ABBCACA BB CA C 巩固新知巩固新知图中
6、的两个三角形是否相似？为什么？图中的两个三角形是否相似？为什么？2相似相似理由如下：理由如下：两个三角形的三边成比例两个三角形的三边成比例这两个三角形相似这两个三角形相似155 255 205=279 459 369，解：解：要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为边长分别为 4 cm，5 cm和和6 cm，另一个三角形框架的一边长为，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长，它的另外两条边长 应当是多少？你有几种制作方案？应当是多少？你有几种制作方案？3设另外两条边长分别是设另外两条边长分别是x cm和
7、和y cm(xy)，由题意得，由题意得因此另外两条边长应当分别是因此另外两条边长应当分别是 cm和和3 cm或或 cm和和 cm或或 cm和和 cm，即有，即有3种制作方案种制作方案222456546645xyxyxy或或 或或，解：解：845532125353xxxyyy ，解解得得或或或或528512553434 若若ABC和和ABC满足下列条件，其中使满足下列条件，其中使ABC与与 ABC相似的是相似的是()AAB2.5 cm，BC2 cm，AC3 cm；AB3 cm，BC4 cm，AC6 cmBAB2 cm，BC3 cm，AC4 cm；AB3 cm，BC6 cm，AC cmCAB10
8、cm，BCAC8 cm；AB cm，BCAC cmDAB1 cm，BC cm，AC3 cm；AB cm，BC cm，AC cm92655152 36B要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形，另一个三角形框架的一边长为框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为，它的另外两边长分别可以为()A2.5，3 B.C1.6，2.4 D2.5，3或或 或或1.6，2.4545 33，45 33，D【中考中考河北河北】若若ABC的每条边长增加各自的的每条边长增加各自的10%得得ABC，则，则B的
9、度数与其对应角的度数与其对应角B的的度数相比度数相比()A增加了增加了10%B减少了减少了10%C增加了增加了(110%)D没有改变没有改变6D2知识点知识点网格上相似三角形的判定网格上相似三角形的判定例例2 图图1，图，图2中小正方形的边长均为中小正方形的边长均为1，则图，则图2中的哪一中的哪一个三角形个三角形(阴影部分阴影部分)与图与图1中的中的ABC相似？相似？导引：导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似等来判断哪两个三角
10、形相似图图1图图2合作探究合作探究解：解：由勾股定理知由勾股定理知AC ，BC2，AB图图2(1)中，三角形的三边长分别为中，三角形的三边长分别为1，图图2(2)中，三角形的三边长分别为中，三角形的三边长分别为1，图图2(3)中，三角形的三边长分别为中，三角形的三边长分别为图图2(4)中，三角形的三边长分别为中，三角形的三边长分别为2，图图2(2)中的三角形与中的三角形与ABC相似相似210.5,2 2；25，；25 3，；5,13.，2210=2125利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到首先把两个三
11、角形的边分别按照从小到大的大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则则两个三角形相似，否则不相似两个三角形相似，否则不相似特别地，若三个比相等且等于特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形，则两个三角形全等全等新知小结新知小结(中考中考荆州荆州)如图，如图，44的正方形网格中，小正方形的正方形网格中，小正方形的边长均为的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是相似的三角形所在的网格图
12、形是()D巩固新知巩固新知如图，若如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使方格纸中的格点，为使PQRABC，则点，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的应是甲，乙，丙，丁四点中的()A甲甲B乙乙C丙丙D丁丁C如图，在正方形网格上有如图，在正方形网格上有6个三角形：个三角形：ABC；BCD；BDE；BFG；FGH；EFK.中与相似的是中与相似的是()A B C DB利用三边成比例判定三角形相似的利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤三步骤”：(1)排序排序：将三角形的边按大小顺序排列；：将三角形的边按大小顺序排列；(2)计算计算：分别计算它们对应边的比值；
13、：分别计算它们对应边的比值；(3)判断判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否：通过比值是否相等判断两个三角形是否相似相似 1知识小结知识小结归纳新知归纳新知【中考中考东营东营】如果一个直角三角形的两条边长分别是如果一个直角三角形的两条边长分别是6和和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及及x，那么，那么x的值的值()A只有只有1个个 B有有2个个C有有3个个 D有无数个有无数个2易错小结易错小结B易错点：易错点：易因考虑问题不全面而致错易因考虑问题不全面而致错.当直角边长为当直角边长为6，8，且另一个与它相似的直角三，且另一个与它相似的直角三角形的直角边长为角形的直角边长为3，4时，时，x的值为的值为5；当；当8，4为对应为对应边的长且为两直角三角形的斜边长时，边的长且为两直角三角形的斜边长时，x的值为的值为 ，故故x的值可以为的值可以为5或或 77.成比例成比例对应对应课后练习课后练习CCA【答案答案】BB解：解：ACFGCA，1CAF.12CAF2ACB45.再见再见
