1、高一年级高一年级 数学数学第一章第一章 1.2.1 1.2.1 函数的概念函数的概念 课题课题:函数的概念函数的概念问题提出问题提出1.1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？一次函数：一次函数：y ykxkxb(k0)b(k0)；二次函数：二次函数：y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)；反比例函数：反比例函数：(k0).(k0).kyx2.2.初中对函数概念是怎样定义的？初中对函数概念是怎样定义的？在一个变化过程中，如果有两个变量在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于，并且对于x x的
2、每一个确的每一个确定的值，定的值，y y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数的函数.我们如何从我们如何从集合集合的观点认识函数的观点认识函数AB9413-32-21-1开平方一对多AB3004506009001232221一对一求正弦1-12-23-3149多对一求平方123123456乘以2ABAB一对一AB3004506009001232221一对一求正弦1-12-23-3149多对一求平方123123456乘以2ABAB这三个对应的特点是：1、对于集合A中每一个元素，在集合B中都有一个元素和它对应。2
3、、集合B中的元素可以在A中没有对应元素3、集合A中每一个元素只能对应B中的一个元素。4、对应形式为一对一和一对多满足上述条件的对应，称为映射。一对一对于集合A中每一个元素，在集合B中都有一个元素和它对应。1351234567乘以2加1AB集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对应，不能称为映射。集合B中的元素可以在A中没有对应元素123123456乘以2集合A中每一个元素只能对应B中的一个元素。B9413-32-21-1开平方A对应形式为一对多，不能称为映射对应形式为一对一和多对一，才可以称为映射3004506009001232221求正弦1-12-23-3149求平方ABABAB9413-3
4、2-21-1开平方一对多不是映射AB3004506009001232221一对一是映射求正弦1-12-23-3149多对一是映射求平方123123456乘以2ABAB一对一是映射集合集合B中有唯一元素和中有唯一元素和A中某个元素对应中某个元素对应1351234567乘以2加1AB集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对应，不能称为映射。123123456乘以2AB集合B中3,5在A中没有元素对应，仍可以称为映射集合集合A中任何一个元素都在中任何一个元素都在B中有对应中有对应集合集合A中的任意一个元素，在集合中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素中都有唯一确定的元素与之对应，与之对应，集
5、合集合A中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应中都有唯一确定的元素和它对应.AB图图1 1图图2 2AB 设设A A、B B是两个是两个非空非空的集合，如果按某一个确定的对应的集合，如果按某一个确定的对应关系关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的任意任意一个元素一个元素x x，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的元素确定的元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f f：ABAB为从集为从集合合A A到集合到集合B B的一个映射的一个映射.其中集合其中集合A A中的元素中的元素x x称为原象，在集合称为原象，在集合B B中
6、与中与x x对应的元对应的元素素y y称为象称为象.AB3004506009001232221一对一求正弦xy对应关系：求正弦sinx原象象原象集象集集合A中的元素用x表示，集合B中的元素用y表示，则x和y的关系可用关系式y=sinx来表示我们把对应关系称为对应法则，用字母f表示。数学语言表示为xxfsin:对应法则运算对象对应法则运算内容AB-3-2-10123-1038平方减一xy原象象对应法则平方减一集合A中的元素用x表示，集合B中的元素用y表示，则x和y的关系可用关系式来表示12 xy1:2xxf对应法则运算对象对应法则运算方式xy-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3集
7、合中的元素为x以x为运算对象，以对应法则为运算规则，对x进行运算的结果为y取倒数xy取倒数xxf1:xxf1:可以表示为xxf1)(对应法则名称运算对象对应法则内容：把x取倒数xy1又可表示为 函数：函数：设设A A，B B是非空的数集，是非空的数集，如果按照某种确定的对应如果按照某种确定的对应关系关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数x x，在集合在集合B B中都有唯一确中都有唯一确定的数定的数f(x)f(x)和它对应，和它对应，那么就称那么就称f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函数，记作的一个函数，记作 y=f(x)y=f(x)，x
8、A.xA.其中，其中，x x叫做自变量，与叫做自变量，与x x值相对应的值相对应的y y值叫做函数值值叫做函数值.映射：对于数集映射：对于数集A中的每一个中的每一个x，按照某种对应关系，按照某种对应关系f，在数集，在数集B中都有唯中都有唯一确定的一确定的y和它对应，记作和它对应，记作 f：AB.函数是数集到数集的映射，自变量x取值的集合叫做函数的定义域，对应的因变量y值的集合叫做函数的值域。映射的对应法则叫做函数的解析式。-3-2-1012312:2 xxf-11717xy定义域值域12:2 xxf对应法则函数解析式：12)(1222xxfxy或函数三要素：定义域、值域、解析式定义域值域-3-
9、2-10123-5-3-1135712:xxf函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+112)(xxf对应法则对应法则施加的运算对象对应法则的具体描述5132)3(）（f对应法则运算对象运算内容：乘以2加一象，即y的值-3-2-10123-5-3-1135712:xxf12)(xxf7132=f(3)5122=f(2)3112=f(1)1102=f(0)-111-2=f(-1)-312-2=f(-2)-513-2=f(-3)）（）（）（a2a+1x2x+1m+12(m+1)+12m122m12)(1)1(2)1(12)(12)(22mmfmmfxxfaaf-3-2-1123-1/3-1/2-
10、111/21/3xxf1:)1()()1()()(31)3(21)2(11)1(11)1(21)2(31)3(2mfmfmfmfafffffffxxf1)()1(),()2(),3(,253)(2afafffxxxf求已知函数)6(),3(,51)()(),8(,|4|)()(),3(,2352)(3223rrxxxrahhxxxhbggxxxxg求求求练习：已知函数已知函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx 1(2),()2ff(1)(1)求求 的值的值;(2)(2)若若f(a)=3,f(a)=3,求求a a的值的值.映射有映射有“三性三性”，即，即“有序性有序性”，“存在性存在
11、性”和和“唯一性唯一性”“唯一性唯一性”：对于集合：对于集合A A中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素，在集合B B中中和它对应的元素是唯一的和它对应的元素是唯一的.“有序性有序性”：映射是有方向的，：映射是有方向的，A A到到B B的映射与的映射与B B到到A A的映射的映射往往不是同一个映射；往往不是同一个映射；“存在性存在性”：对于集合：对于集合A A中的任何一个元素，集合中的任何一个元素，集合B B中都存中都存在元素和它对应；在元素和它对应；下图中的对应是不是映射？为什么？下图中的对应是不是映射？为什么？AB B图图1 1AB B图图2 2图图1 1是从集合是从集合A A到集合到集
12、合B B的一个映射吗？图的一个映射吗？图2 2是从集合是从集合B B到集合到集合A A的一个的一个映射吗？映射吗？AB B图图1 1AB B图图2 2例例2 已知集合已知集合A=a,b，集合，集合B=c,d,e.（1）试建立一个从集合）试建立一个从集合A到集合到集合B的映射？的映射？（2）一共可建立多少个从集合）一共可建立多少个从集合A到集合到集合B的映射？的映射？例例3 3 下列对应关系下列对应关系f f是否为从集合是否为从集合A A到集合到集合B B的函数？的函数？22(1),|0,:|;(2),:;(3),:;(4),:3.AR ByyfxxAR BRfxxAZBRfxxAZBZfxx理
13、论迁移理论迁移例例1 1 已知函数已知函数（1 1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（2 2）求）求 的值；的值；（3 3）当）当a a0 0时，求时，求 的值的值.1()32fxxx2(3),()3ff(),(1)fafa 例例2 2 在下列各组函数中在下列各组函数中 与与 是否相等？为什么？是否相等？为什么？22222(1)()()()();(3)()11()1;(4)()21()21.xfxxfxxgxxfxxxgxxfxxxg ttt与 g(x)=1;(2)与与与()gx()fx函数三个要素：解析式、定义域、值域这里的实数这里的实数a a与与b b都叫做相应区间的端点都叫做相应区间的
14、端点.(a,b(a,b 半开半闭区半开半闭区间间x|axbx|axb a,b)a,b)半开半闭区半开半闭区间间x|axbx|axb a a b b(a,b)(a,b)开区间开区间x|axbx|axb a,b a,b 闭区间闭区间x|axbx|axb数轴表示数轴表示符号符号名称名称定义定义a ab ba ab ba ab b满足不等式满足不等式 的实数的实数x x的集合也可以看成区间，那么这些集合如何用区间符号的集合也可以看成区间，那么这些集合如何用区间符号表示？表示？,xa xa xa xaaa，+)+)，(a(a，+)+)，(-(-，aa，(-(-，a).a).将实数集将实数集R R看成一个大区间，怎样用区间表示实数集看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R R？（-，+）思考思考4 4：一次函数：一次函数y ykxkxb(k0)b(k0)，二次函数，二次函数y yaxaxbxbxc(a0)c(a0)，反比例函数，反比例函数的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?(0)kykx理论迁移理论迁移例例1 1 将下列集合用区间表示出来：将下列集合用区间表示出来：(1)|210;(2)|4,12xxxxx 或.例例2 2 已知已知 ,求函数求函数 的解析式的解析式.(1)2fxxx()f x
