1、 Optical fibers:structures,waveguiding and fabricationCHAPTER2uStructure of an Optical Fiber?uLight propagate along fiber?uWhat materials are fiber made of?uFiber fabricated?uFiber incorporated into cable structures?Purpose:understanding of physical structure and waveguiding of Optical Fiber2.2 光纤的波
2、动光学理论光纤的波动光学理论 2.2.1 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 对于在线性的、各向同性、无源介质（无电流和自由电荷）中传播的光对于在线性的、各向同性、无源介质（无电流和自由电荷）中传播的光波，其麦克斯韦方程组为波，其麦克斯韦方程组为 t BEt DH0 D0 BEDHB22)()(ttEHEEEE2)()(222t EE222t HH关于关于E、H的矢量波动方程的矢量波动方程 x z y r 图图2.5 柱坐标系的选取柱坐标系的选取 2.2.2 波动方程波动方程 2.2.2 波动方程波动方程)(0),(ztjer EE)(0),(ztjer HHzrErrErErzr),(),(),(
3、),(0EzrHrrHrHrzr),(),(),(),(H0t BErzHjEjrEr1HjrEEjzrzrHjErErr)(1t DHrzEjHjrHr1EjrHHjzrzrEjHrHrr)(1rzHjEjrEr1rzEjHjrHr1zrEjHrHrr)(1zzrHrrEqjE2rHErqjEzz2zzrErrHqjH2rEHrqjHzz2zrEjHrHrr)(1zrHjErErr)(1011222222zzzzEqErrErrE011222222zzzzHqHrrHrrH关关于于Ez、Hz的的标标量量波波动动方方程程EjrHHjzrHjrEEjzrzrHjErErr)(12.2.3 阶跃光
4、纤的波动方程阶跃光纤的波动方程)()()()(),(4321tFzFFrAFtzrEz)(43)()(ztjetFzFjeF)(2011222222zzzzEqErrErrE0112221212FrqrFrrFBessel 方程方程 (a)(xJ (b)(xK 0.2 0.8 0.6 0.4 0 1.0-0.2-0.4-0.6 2 6 4 8 10 x =0 =1 =2 J(x)1 4 3 2 0 1 3 2 4 x =0 =1 K(x)一个稳定的解，在纤芯中必须满足条一个稳定的解，在纤芯中必须满足条件：当件：当 时，解为有限值时，解为有限值.0r在包层中必须满足条件：当在包层中必须满足条件：
5、当 时，场的幅度衰减到零。时，场的幅度衰减到零。r纤芯中纤芯中)()()(ztjjzeeurAJarE)()()(ztjjzeeurBJarH2212 ku/211nk 包层中包层中 )()()(ztjjzeewrCKarE)()()(ztjjzeewrDKarH2222kw/222nk 由第二类变形由第二类变形Bessel函数函数 可知，当可知，当 时，时，因此，因此当当 时时，这是符合实际情况的，此时要求，这是符合实际情况的，此时要求 或或 ，这时模式是稳定的，称为导模。当，这时模式是稳定的，称为导模。当 ，即，即 时，则不时，则不满足满足 的条件，能量将辐射到包层外，这种模式称为辐射模，
6、的条件，能量将辐射到包层外，这种模式称为辐射模，为模式的截止条件。为模式的截止条件。由以上分析，可以确定传播常数的范围为由以上分析，可以确定传播常数的范围为式中，式中，为自由空间传播常数。为自由空间传播常数。)(wrKwrwrewrK)(0)(wrK0w2k0w2k0)(rwrK0wknkkkn1122/2kr2.2.4 模式方程模式方程 的解由边界条件确定。边界条件要求，纤芯和包层电场的切向分的解由边界条件确定。边界条件要求，纤芯和包层电场的切向分量量 和轴向分量和轴向分量 在边界（在边界（）上应该是相等的。对于磁场也）上应该是相等的。对于磁场也是一样的。是一样的。EzEar 电场分量电场分
7、量0)()(21waCKuaAJEEzz)()(221uauJBuaJajAujEE0)()(2wawKDwaKajCwj磁场分量磁场分量0)()(21waDKuaBJHHzz)()(1221uauJBuaJajBujHH0)()(22wawKCwaKajDwj2.2.4 模式方程模式方程 系数矩阵的系数矩阵的行列式行列式 0)()()()()(0)(0)()()()(0)(0)(222122waKawwaKwjuaJauuaJujwaKuaJwaKwjwaKawuaJujuaJauwaKuaJ本征值方程本征值方程 2222222111)()()()()()()()(wuawawKwaKkua
8、uJuaJkwawKwaKuauJuaJ 本征值方程是一个关于本征值方程是一个关于 的以的以 为参量的超越方程，通常使用数值方法求解。为参量的超越方程，通常使用数值方法求解。对于不同的对于不同的 ，可存在一组离散的，可存在一组离散的 解，每一个解，每一个 对应能在光纤中传播的光场的一对应能在光纤中传播的光场的一种空间分布，这种空间分布在传播过程中只有相位的变化，而没有分布形状的变化，种空间分布，这种空间分布在传播过程中只有相位的变化，而没有分布形状的变化，将这种空间分布称为将这种空间分布称为模式模式。根据不同的条件，光纤中可能存在许多模式。根据不同的条件，光纤中可能存在许多模式。m0m0TE0
9、zH0zEm0MT0zH0zE横电模：横电模：横磁模：横磁模：0mEHmHEHE传播方向传播方向00)()()()(0000wawKwaKuauJuaJ0)()()()(0101wawKwaKuauJuaJ对应模对应模 （，）m0TE0zH0zE0)()()()(00220021wawKwaKkuauJuaJk0)()()()(01220121wawKwaKkuauJuaJk对应模对应模 （，）m0MT0zH0zE当当 ，即，即 时，模式截止，因此时，模式截止，因此 模与模与 模的截止条件为模的截止条件为 0w2km0TEm0MT0)(0uaJ第一个根是第一个根是 ，对应，对应 模与模与 模的
10、截止条件。模的截止条件。405.2uam0MTm0TE1混合模混合模 或或 模的截止条件为模的截止条件为 m1EHm1HE0)(1uaJ 其第一个根对应其第一个根对应 0 0，也就是说它所对应的模在任何条件下都不会截，也就是说它所对应的模在任何条件下都不会截止，除非光纤半径为零，这个模为最低阶模，称为基模，记为止，除非光纤半径为零，这个模为最低阶模，称为基模，记为 模。模。11HE归一化频率归一化频率)(2)(222122222nnaawuV归一化传播常数归一化传播常数 2221222222)/(nnnkVwab图图2.7 归一化传播常数与归一化频率的关系归一化传播常数与归一化频率的关系 每一
11、个模式只有当每一个模式只有当 值大值大于该模式对应的极限值时于该模式对应的极限值时才会被激励。由图可知，才会被激励。由图可知，当模当模 与模与模 截止时，截止时，光纤中就只有基模光纤中就只有基模 。V01TE01TM11HE405.2)(22/12221nnaV2)(222221222VnnaM模式数量模式数量 HE11 1 3 2 4 V n1/k 5 6 0 n2 TE01 HE21 EH11 TM01 HE31 HE12 HE41 EH21 TE02 TM02 HE22 HE11 1 3 2 4 V n1/k 5 6 0 n2 TE01 HE21 EH11 TM01 HE31 HE12
12、HE41 EH21 TE02 TM02 HE22 2.2.5 线偏振模线偏振模 122221 kk2222222111)()()()()()()()(wuawawKwaKkuauJuaJkwawKwaKuauJuaJ0m0TE0)()()()(0000wawKwaKuauJuaJm0MT0)()()()(00220021wawKwaKkuauJuaJk0)()()()(0101wawKwaKuauJuaJ0)()()()(01220121wawKwaKkuauJuaJkm0TEm0MT简并简并122221 kk2222222111)()()()()()()()(wuawawKwaKkuauJu
13、aJkwawKwaKuauJuaJ2211)()()()(wuawawKwaKuauJuaJ0)()()()(11wawKwaKuauJuaJ0)()()()(2121wawKwaKuauJuaJHE模模 EH模模 模对应模对应模和对应HE1EH1TMTE1j0)()()()(11wawKwaKuauJuaJjjjjm,1HEm,1EHm0TEm0TMm2HEjmLP 0 0 2 6 4 8 10 V b 12 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 01 11 21 02 31 12 41 22 51 03 32 61 13 42 71 04 33 23 52 81 图图2.8 不同线偏振模
14、的归一化传播常数与不同线偏振模的归一化传播常数与V V 的函数曲线的函数曲线 HE11 1 3 2 4 V n1/k 5 6 0 n2 TE01 HE21 EH11 TM01 HE31 HE12 HE41 EH21 TE02 TM02 HE22 重要结论：每个LP0m模由HE1m模导出；每个LP1m模由TE0m、TM0m、HE2m构成；每个LPvm模（v1）由HEv+1,m、EHv-1,m构成。例如 LP01模只包含基模HE11 LP11模由TE01、TM01、HE21构成；由严格模式构成的两个LP11模的横向电场分布四个LP11模的电场、磁场分布低阶线偏振模的构成低阶线偏振模的构成 LP模模
15、矢量模及数量矢量模及数量简并模数简并模数LP01HE1122LP11TE01，TM01，HE2124LP21EH112，HE3124LP02HE1222LP31EH212，HE4124LP12TE02，TM02，HE2224LP41EH312，HE5124LP22EH122，HE3224LP03HE1322LP51EH412，HE6124一个一个LP0m模包括一个模包括一个HE1m模；模；一个一个LP1m模包括模包括TE0m、TM0m及及HE2m模；模；一个一个LPvm模模(v 2)2)包括一个包括一个HEv+1,m模和一个模和一个EHv-1,m模。模。2.2.6 阶跃折射率光纤中的功率流阶跃
16、折射率光纤中的功率流 阶跃折射率光纤纤芯和包层中的相对功率流。在纤芯和包层界面处，对阶跃折射率光纤纤芯和包层中的相对功率流。在纤芯和包层界面处，对于某一特定模式，其电磁场并不为零，而是由纤芯延伸到包层内。导模电磁于某一特定模式，其电磁场并不为零，而是由纤芯延伸到包层内。导模电磁场的能量一部分由纤芯承载，一部分由包层承载。远离截止条件的导模的能场的能量一部分由纤芯承载，一部分由包层承载。远离截止条件的导模的能量大部分集中在纤芯中，而接近截止的模式，其电磁场更多地进入到包层，量大部分集中在纤芯中，而接近截止的模式，其电磁场更多地进入到包层，其能量将有大部分在包层传播。在截止条件下，即使在纤芯外，电
17、磁场也不其能量将有大部分在包层传播。在截止条件下，即使在纤芯外，电磁场也不再稳定，这种模式完全成为辐射模。再稳定，这种模式完全成为辐射模。zzeHEReS*)(21轴向波印廷矢量轴向波印廷矢量 drdHEHErPaxyyx 020*core)(21drdHEHErPaxyyx 20*clad)(21纤芯中的功率纤芯中的功率 包层中的功率包层中的功率 对于某一特定模式对于某一特定模式 ，纤芯和包层中的相对功率可分别由以下两式给出，纤芯和包层中的相对功率可分别由以下两式给出)()()(1111222coreuaJuaJuaJVuPPPPPPcoreclad1 0.2 0.8 0.6 0.4 0 1
18、.0 0 2 6 4 8 10 V Pclad/P 12 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Pcore/P 02 01 11 12 21 31 22 03 04 13 23 41 51 61 32 42 33 71 81 图图2.9 阶跃折射率分布光纤芯和包层中的相对功率与阶跃折射率分布光纤芯和包层中的相对功率与 V V 归一化频率的关系归一化频率的关系 在远离截止条件下，光纤在远离截止条件下，光纤中传输很多模式，可以推中传输很多模式，可以推导出包层中总功率的相对导出包层中总功率的相对值。由于模式数量很多，值。由于模式数量很多，可以忽略那些接近截止条可以忽略那些接近截止条件的模式。通
19、常，由非相件的模式。通常，由非相干光源激励得到的各模式干光源激励得到的各模式功率是相等的，包层中总功率是相等的，包层中总功率的相对值可表示为功率的相对值可表示为 2/1totalclad34MPP4阶跃型光纤标量模特性的分析（1 1）标量模的定义）标量模的定义 “极化极化”就是指随着时间的变化，电场或磁场的就是指随着时间的变化，电场或磁场的空间方位是如何变化的。一般人们把电场的空间空间方位是如何变化的。一般人们把电场的空间方位作为波的极化方向。方位作为波的极化方向。如果波的电场矢量空间取向不变，即其端点的轨如果波的电场矢量空间取向不变，即其端点的轨迹为一直线时，就把这种极化称为直线极化，简迹为
20、一直线时，就把这种极化称为直线极化，简称为线极化。称为线极化。弱导波光纤可认为它的横向场是线极化波，以弱导波光纤可认为它的横向场是线极化波，以LPLP表示。表示。LPLP模（模（Linearly Polarized modeLinearly Polarized mode），即线性偏振），即线性偏振模的意思。模的意思。在这种特定条件下传播的模式，称为标量模，或在这种特定条件下传播的模式，称为标量模，或LPLPmnmn模。模。4阶跃型光纤标量模特性的分析2 2）截止时标量模的特性）截止时标量模的特性 截止的概念截止的概念 当光纤中出现了辐射模时，即认为导波截止当光纤中出现了辐射模时，即认为导波截止
21、 导波截止的临界状态导波截止的临界状态 截止时的特征方程截止时的特征方程0)(1UJm4阶跃型光纤标量模特性的分析（2）截止时标量模的特性 截止情况下LPmn模的归一化截止频率Vc 表2-1 截止情况下LPmn模的Uc值 n m012102.404833.8317123.831715.520037.0155937.015598.6537310.173474阶跃光纤中导模数量的估算 在光纤中，当不能满足单模传输条件在光纤中，当不能满足单模传输条件 （00V V2.404832.40483）时，将有多个导波同时）时，将有多个导波同时传输，故称多模光纤。传输，故称多模光纤。传输模数量的多少，用传输模
22、数量的多少，用M M 表示。表示。阶跃多模光纤近似的模数量表示式阶跃多模光纤近似的模数量表示式 22VM 5阶跃光纤中的功率分布 实际上，在纤芯和包层的界面处，电磁实际上，在纤芯和包层的界面处，电磁场并不为零，而是由纤芯中的振荡形式场并不为零，而是由纤芯中的振荡形式转变为包层中的指数衰减。转变为包层中的指数衰减。因此，要传输的导波能量大部分是在纤因此，要传输的导波能量大部分是在纤芯中传输，而有一部分则在包层中传输芯中传输，而有一部分则在包层中传输。功率在纤芯和包层里所占比例的大小和功率在纤芯和包层里所占比例的大小和该模式的截止频率有关。该模式的截止频率有关。5阶跃光纤中的功率分布 当V时，它的
23、能量将聚集在纤芯中；当VVc时，能量的大部分是在包层里，这时的导波将成为辐射模。Mode-field diameter:Single-Mode FiberCHAPTER2.5 Single-Mode FiberCHAPTER2.5Polarizations of fundamental mode Propagation Mode in Single-Mode FiberCHAPTER2.5 HomeworkReading:Chapter 2.5 Single-mode fiberChapter 2.6 Graded-index fiber structureChapter 2.7 Fiber materialsWriting:Give an overview of the solution of mode in optical fiber(in Chinese)Your own idea of mode and LP(in English)
