1、6-1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理6-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理结论与讨论结论与讨论习题习题6-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化6-4 绕定轴转动刚体的动约束力绕定轴转动刚体的动约束力第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理NmFFa0aFFmN0INFFFImFa 作用在质点上的主动力、约束力和虚作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。加的惯性力在形式上组成平衡力系。Iln bmgTnIF解：取小球为研究对象解：取小球为研究对象受力分析、加惯性力
2、列平衡方程受力分析、加惯性力列平衡方程sinnITFmgTcos2sinnInvFmaml1.96N,2.1m/sTv0nF 0bF 例一例一 小球作匀速圆周运动，质量小球作匀速圆周运动，质量m=0.1kg，l=0.3m，=600 。求求:绳的拉力及小球的速度。绳的拉力及小球的速度。第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理0IiNiiFFF0)(IieiFF0)()()(IiOeiOFMFM0)()(IiiieiFFF质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚质点系的达朗贝尔
3、原理：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理解：解：取取1/4飞轮为研究对象，由对称性可飞轮为研究对象，由对称性可知受力分析如图。添加惯性力后由知受力分析如图。添加惯性力后由静力平衡方程有：静力平衡方程有：0 xF202cosd2RRRm0AF22mRFA用相同方法用相同方法计算计算FB由于截面对称，任一横截面张力相同。由于截面对称，任一横截面张力相同。例一例一飞轮质量为飞轮质量为m，半径为，半径为R，以匀角速度，以匀角速度 转动，轮缘较薄，
4、转动，轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。求轮缘横截面上的张力。质量均匀分布，轮辐质量不计。求轮缘横截面上的张力。第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理例二例二 滑轮半径为滑轮半径为r，质量，质量m均匀分布在轮缘上，绕水平轴转动。均匀分布在轮缘上，绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和和m2的重物，且的重物，且 m1 m2。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，摩擦不。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，摩擦不 计。求重物的加速度。计。求重物的加速度。2m1m取整个质点系为研究对象：受力分析、加惯性力取整个质点系为研究对象：受力分析、加惯性力
5、IiFnIiF1IF2IFaNFgm2mggm1amFamFamFiIiII,22110)(2211rFrgmFFgmIiIIgmmmmma21210)(2211armrgmamamgmiarmmararmii 0)(FMO质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化二、刚体作定轴转动二、刚体作定轴转动一般取定轴一般取定轴O为简化中心为简化中心iiIRmaFCmammiiCrr)(nCCmaa)(IiOIOFMMiiirrmOJ一、刚体作平动一、刚体作平动iiIimaFiiIRmaFCimaCma平动刚体惯性力系简化为通过
6、质心的合力平动刚体惯性力系简化为通过质心的合力刚体作定轴转动时刚体作定轴转动时,惯性力系简惯性力系简化为通过化为通过O点的一力和一力偶。点的一力和一力偶。惯性力系简化为平面内一个力和一个力偶：惯性力通过质心，惯性力系简化为平面内一个力和一个力偶：惯性力通过质心，大小等于质量与质心加速度的乘积，大小等于质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相方向与质心加速度方向相反；惯性力偶矩大小等于通过质心且垂直于平面的轴的转动惯反；惯性力偶矩大小等于通过质心且垂直于平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。第第6 6章章 达朗贝尔原理达
7、朗贝尔原理刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动一般取质心一般取质心C为简化中心为简化中心CIRmaF)(iiCICmaMM)(iiCmaMCJ)(niiCmaM刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量2iizrmJmzdmrJ22zzmJ在工程中，常将转动惯量表示为在工程中，常将转动惯量表示为22013lzmJdx xmll231mlJz设杆长为设杆长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为m/l:1 1、均质细直杆对、均质细直杆对z轴的转动惯量轴的转动惯量2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量、均质薄圆环对中心轴的转动惯量：设杆质量为设杆质量为m222mRmRRmJi
8、iz2mRJzmzdmrJ22mdJJzCz2121mlJz3、均质薄圆板对中心轴的转动惯量：、均质薄圆板对中心轴的转动惯量：设圆板半径为设圆板半径为R，质量为，质量为m，单位面积的质量为单位面积的质量为 mzdmrJ2Aiidrrm 2220212mRrdrrJRAz2RmA221mRJz4、均质薄圆板对直径轴的转动惯量：、均质薄圆板对直径轴的转动惯量：214zJmR试求试求:各均质物体对其转轴的转动惯量。各均质物体对其转轴的转动惯量。213OJml222111()1269OJmlmlml222115(2)(2)3123OJmamama2221322OJmRmRmR均质圆盘作定轴转动。试对图
9、示四种情形向转轴进行惯均质圆盘作定轴转动。试对图示四种情形向转轴进行惯性力系的简化。性力系的简化。2IFmr2nIFmrIFm r232ImrM22ImrM第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化两种情形的定滑轮质量均为两种情形的定滑轮质量均为m，半径均为，半径均为r。图。图a中的绳所受中的绳所受拉力为拉力为W；图；图b中块重力为中块重力为W。试分析两种情形下定滑轮的角。试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。WrJOaWrmra221mrW2a0OxFWFOy2b12IO
10、MmrbIWWFarggabTIFW 0OM0IIWrrFMO)2(2bWmgrWgWWmgmgagWWT2bWmgmgWFFOyOx20OyFOxFOyFOxFWTa例三例三 均质圆盘质量为均质圆盘质量为mA，半径为，半径为r，细长杆的长，细长杆的长 l=2r，质量为，质量为m。杆端点杆端点A与圆盘光滑铰接。如在与圆盘光滑铰接。如在A处加一水平力处加一水平力F使盘做纯使盘做纯滚动。问：力滚动。问：力F多大能使多大能使B端刚刚离开地面？又为保证纯滚端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，盘与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？动，盘与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理
11、刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解：解：取杆为研究对象，受力分析取杆为研究对象，受力分析和运动分析如图，添加惯性和运动分析如图，添加惯性力后由静力平衡方程有：力后由静力平衡方程有：0)(FAM30sinrmaAgaA3030cosrmg第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化再取轮和杆系统为研究对象，受力分析和运动分析如图，添再取轮和杆系统为研究对象，受力分析和运动分析如图，添加惯性力后由静力平衡方程有：加惯性力后由静力平衡方程有：0DM()0SAFFmm a0 xFgmmFAN)(32SAFm g0yFcos30sin300IAIICFrF rMmgr
12、F r33()2AFmm g由静滑动摩擦关系有：由静滑动摩擦关系有：NSSFfF)(23mmmFFfAANSS1 矩形块质量矩形块质量m1=100kg，置于平台车上，车质量为，置于平台车上，车质量为m2=50kg，此，此车沿光滑的水平面运动，车和矩形块在一起由质量为车沿光滑的水平面运动，车和矩形块在一起由质量为m3的物块的物块牵引，使之作加速运动。设矩形块与车之间的摩擦力足够阻止相牵引，使之作加速运动。设矩形块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而互滑动，求能够使车加速运动而m1块不倒的质量块不倒的质量m3的最大值，的最大值，以及此时车的加速度大小。以及此时车的加速度大小。T3
13、IF3m g33IFTm g)(3agmT2125.0111amgmT)()2(253agagm021amamT31450kNagm 0 xF33IFTm gT1IF2IFgm1gm2AT 2 圆柱形滚子质量为圆柱形滚子质量为20kg，其上绕有细绳，绳沿水平方向拉出，其上绕有细绳，绳沿水平方向拉出，跨过无重滑轮跨过无重滑轮B系有质量为系有质量为10kg的重物的重物A，如滚子沿水平面只滚，如滚子沿水平面只滚不滑。求滚子中心不滑。求滚子中心C的加速度。的加速度。11IFTm gaa)(1agmTra22222211,2224IIm aaFMm rm arrT1IFm1gT2IFIMm2gD0)(F
14、MD22IIMF rrTragmrmaarm2)(241122ga74gaC72向质心向质心C简化简化3 汽车总质量为汽车总质量为m，以加速度，以加速度a作水平直线运动。汽车质心作水平直线运动。汽车质心G离地面离地面的高度为的高度为h，汽车的前后轴到通过质心垂线的距离分别等于，汽车的前后轴到通过质心垂线的距离分别等于c和和b。求其前后轮的正压力及汽车应如何行驶方能使前后轮的压力相等。求其前后轮的正压力及汽车应如何行驶方能使前后轮的压力相等。ABIFNAFNBFmg 0)(FMA 0)(FMB()NBIFbcmgbF h()NAIFbcmgcF h()NBm gbahFbc()NAm ahgcF
15、bcNANBFFghcba24 长方形匀质平板，质量为长方形匀质平板，质量为27kg，由两个销，由两个销A和和B悬挂。如果突然撤悬挂。如果突然撤去销去销B，求在撤去销，求在撤去销B的瞬时，平板的角加速度和销的瞬时，平板的角加速度和销A的约束反力。的约束反力。0)(AM220.20.150.12IIMFmg220.20.152IFm 0XsinxIFF 0YcosyIFFmgIFIM247rad/s,95.34N,137.72NxyFFaICMJ向转轴向转轴A简化简化IAMJ5625.0)215.02.0(222mJJCA 0)(AM0.1IMmg247rad/s6.1584.26158.6 0
16、.695.2N137.72NyF xFyFmgIFIM向质心向质心C简化简化FC5 均质板质量为均质板质量为m，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量均为，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量均为m/2，半径为，半径为r。板上作用一力。板上作用一力F，滚子无滑动。求板的加速度。，滚子无滑动。求板的加速度。FC12300ISSXF FFF 0)(FMA22220IISF rMFr 0)(FMB33320IISF rMFr221202 22 22Sm amarrFrrmaFS163201632mamaFmFa118取板为研究对象取板为研究对象取滚子为研究对象取滚子为研究对象maFS16332IF3SF2SF
17、AB3IF2IM3IM1IF2sF3SFa6 曲柄曲柄OA质量为质量为m1，长为，长为r，在力偶矩，在力偶矩M 作用下以等角速度作用下以等角速度绕水平的绕水平的O轴反时针方向转动。曲柄的轴反时针方向转动。曲柄的A端推动水平板端推动水平板B，使质，使质量为量为m2的滑杆的滑杆C沿铅直方向运动。忽略摩擦，求当曲柄与水平方沿铅直方向运动。忽略摩擦，求当曲柄与水平方向夹角为向夹角为30时的力偶矩时的力偶矩M的值及轴承的值及轴承O的反力。的反力。m1gm2g1IF2IFFxFy21112IFm rAaaeara22130sinraaae222212IeFm am r 0)(AM13132222xyrMm
18、 gF rF r211330,24xxIFFFm r )2(41)(21221mmrgmmFyrrmgmmM)2(432221F122110,()2yyIIFFmm gFF取取OA杆为研究对象杆为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象7 7 曲柄摇杆机构的曲柄曲柄摇杆机构的曲柄OA长为长为r，质量，质量m，在力偶，在力偶M(随时间而变化随时间而变化)驱动下以匀角速度驱动下以匀角速度 转动，并通过滑块转动，并通过滑块A带动摇杆带动摇杆BD运动。运动。OB铅铅垂，垂，BD可视为质量为可视为质量为8m的均质等直杆，长为的均质等直杆，长为3r。不计滑块不计滑块A的质量的质量和各处摩擦；图示瞬时和各处
19、摩擦；图示瞬时OA水平、水平、。求此时驱动力偶矩。求此时驱动力偶矩M的值的值和和O处反力。处反力。0 30avevrvaaneaeaCara2IF2nIF2IMBxFByF8mgAF0rva021rve023rvr041e20raa20432rvareCeCaaaa30cos2043rae20328ear1IFOyFOxFmgAF20raa2081rane2043rae2083取取OA杆为研究对象杆为研究对象rmgrFMA2130sin取取BD杆为研究对象杆为研究对象0BM23284AIrFmgrM202333mrmgFAmgrmrM243320200 xyFF20113 342OxFmrmg
20、203 3542OyFmrmg2m2IF2nIF2IMBxFByF8mgAF1IFOyFOxFmgAF0OM222013(8)(3)38IMmr201cos603IBBAFmamrCAaAaOAB0MFC1IF2IFIMIoFIBFAaBaAaBAa8 已知已知OA=r，质量为，质量为m，AB=2r，质量为，质量为2m，滑块质量为，滑块质量为m。OA杆匀速转动，角速度为杆匀速转动，角速度为 0，滑块运行阻力为，滑块运行阻力为F。不计摩擦，。不计摩擦，求滑道对滑块的约束反力及驱动力偶矩求滑道对滑块的约束反力及驱动力偶矩M。20raABAABaaaABAaa322031BA2031raCA加惯性力
21、加惯性力2012IoFmr2102IFmr22023IFmr22022011(2)(2)12323 3IMJmrmr运动分析运动分析取取AB、滑块为研究对象滑块为研究对象0)(FMA213()(2)2()30IIIBIBMFFF rmg FrmgNr取取OA杆为研究对象杆为研究对象()0OMF FmgmrNB31292200AxrFM 22023MmrFrABC1IF2IFIMIBFmg2mgFCAaAaOAB0MFCIoF1IF2IFIMIBFAa0 xF 2sin300AxIIBFFFFNBAxFAyFIoFMAxFAyFOxFOyFmg小小 结结1质点的质点的惯性力惯性力定义为定义为am
22、FI2质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。0INFFF如果在质系的每个质点上都加上惯性力，则质系处于如果在质系的每个质点上都加上惯性力，则质系处于平衡，这就是平衡，这就是质系的达朗贝尔原理质系的达朗贝尔原理。3根据达朗贝尔原理，可通过加惯性力将动力学问题根据达朗贝尔原理，可通过加惯性力将动力学问题转化为静力学问题，这就是动静法。用这种方法解题转化为静力学问题，这就是动静法。用这种方法解题的优点是可以充分利用静力学中的解题方法及技巧。的优点是可以充分利用静力学中的解
23、题方法及技巧。4 4.刚体的惯性力是分布力系刚体的惯性力是分布力系,向固定点简化的结果向固定点简化的结果CIRamF定轴转动定轴转动:(1)惯性力系向转轴上任一点惯性力系向转轴上任一点O简化简化,结果为一主矢和一主矩；结果为一主矢和一主矩；主矩主矩:,:,与简化中心有关。与简化中心有关。IzOMJ 平面运动平面运动:CIRamFCICJM刚体平动：简化结果是一个力，加在质心上刚体平动：简化结果是一个力，加在质心上主矢主矢:,加在转轴的加在转轴的O点上，与简化中心无关。点上，与简化中心无关。CIRamF(2)惯性力系向质心简化惯性力系向质心简化,主矢主矢:,:,加在质心上；主矩加在质心上；主矩:
24、CIRamFIcCMJ 第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的动反力绕定轴转动刚体的动反力一、一般情形刚体做定轴转动惯性力系的简化一、一般情形刚体做定轴转动惯性力系的简化惯性力系构成一空间力系，向转轴惯性力系构成一空间力系，向转轴上任选的一点上任选的一点O简化得主矢与主矩简化得主矢与主矩iiIRmaFCma)(IiOIOFMM注意到定轴转动刚体上一点的速度注意到定轴转动刚体上一点的速度和加速度关系：和加速度关系：iirviiivra第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的动反力绕定轴转动刚体的动反力)(iiiIOmarM)(iiimvr)(iiimrriiii
25、mrrr2)(rriiim)(第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的动反力绕定轴转动刚体的动反力kjirkzyxi jiMzxmyzm iiIO2ji22zxyzJJrriiim)(CIRmaFji22CCmymx第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的动反力绕定轴转动刚体的动反力二、刚体做定轴转动的轴承反力二、刚体做定轴转动的轴承反力附加惯性力系后可由空间平附加惯性力系后可由空间平衡方程解得约束反力：衡方程解得约束反力：1AxyRxIyIxFMFOBMFOBAB 1AyxRyIxIyFMFOBMFOBAB 1BxyRxIyIxFMFOAMFOAAB 1Byx
26、RyIxIyFMFOAMFOAAB RzBzFF第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的动反力绕定轴转动刚体的动反力第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理绕定轴转动刚体的动反力绕定轴转动刚体的动反力0IyIxMM0IyIxFF0CayzxzJJ刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件是：力的条件是：转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积等于零。等于零。习题习题本章习题本章习题6-1 2 3习题要求习题要求1）基本公式要列明；）基本公式要列明；2）运动状态参量求得后要在图上画明；）运动状态参量求得后要在图上画明；3）投影轴要画清写明；）投影轴要画清写明；第第6 6章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理6-4 5 6
