1、1 4.2 4.2 换元积分法（续）换元积分法（续）-第二类换元法第二类换元法(变量替换法变量替换法)一、幂函数替换一、幂函数替换二、三角函数替换二、三角函数替换三、其他形式的替换三、其他形式的替换2引例引例1.1.求dxx11解解 令,tx,2tx dxx11tdtt211dttt1112Ctt)1ln(2Cxx1ln2tdtdx23证证定理定理1.(1.(第二换元法第二换元法)()(变量代换法变量代换法)设设)(tx单调可微单调可微,且且,0)(t若若,)()()(CtFdtttf则则dxxf)(.)(1CxF)(1xFdxd)(1xtdxdtdtdF)()(ttf)(1t)(xf4dx)
2、x(f.C)x(F 1)t(x dtttf)()(C)t(F )x(t1 还原还原作代换作代换 )t(d)t(f 换元法的步骤换元法的步骤5一、幂函数替换一、幂函数替换ntx 令令目的：去掉根号目的：去掉根号6例例2 2.求3xxdx解解 令,6tx,6tx 3xxdxdtttt2356dttt163dttt11163dtttt)111(6232t23tt 6Ct|1|ln6x233 x66 xCx|1|ln66对于被积函数含有根式的不定积分对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法常用第二换元法,引入适当的代换引入适当的代换,以去掉根号以去掉根号.说明说明dttdx56 7例例3.3.求
3、dxxx3131解解 令,133tx),t(x1313 dxxx 3131dttt)t(231131 dt)tt(2314 C)tt(255131C)x()x(3235133113151dttdx2 练习一下8例例4.4.求dxex11解解 令,01ttex),1ln(2txdtttdx122原式原式dtttt1212dtt1122Ct arctan2Cex1arctan2换元目的：去掉根号换元目的：去掉根号提高题目9二、三角函数替换二、三角函数替换22xa,sintax 2222axxa或,tantax 22ax,sectax 目的：去掉根号目的：去掉根号10 dxxa22解解22xa ts
4、inaa222 tcosa 例例50 22adxxa求 tdtcosatcosa tdtcosa22Ctcostsinata 2222axarcsina22 Cxaxaxarcsina 222212tdtadxtcos,22,sintax 设 dttcosa2212Ctsinata 24222Caxa 22axa22 11解解例例6.0 22aaxdx求 22axdx22ax 222tanatatasec secsec2dttata sectdtCtttansecln122lnCaxaaxCxax22ln122lnlnCaxax,tantax 设tdtadxt2sec,2212例例70 22a
5、axdx求22ax 222secatatatandttantsectadx,sectax 22axdx tantansectatdttatdtsec1tanseclnCtt122lnCaaxaxCaxx22ln解解设13以上所用代换以上所用代换,称为称为三角代换三角代换.一般地,22xa,sintax,22t2222axxa或,tantax,22t22ax,sectax,20 t公式公式 dxxa22Cxaxaxarcsina 22222 22axdxCaxxln 2214例例8 8 942xdx求解解 sec3sec232dttt sec21tdt1tansecln21Ctt,tan23tx
6、 设设 942xdxCxx942ln212练习一下换元目的：去掉根号换元目的：去掉根号15三、其他形式的替换三、其他形式的替换),0(1ttx令等等等等16例例9.9.求 12xxdx解法解法1:1:,sectx,20 t令 12xxdx tansectansectttdttCt Cx1arccos法法2:2:),0(1ttx令 12xxdx 1 1122dtttt 12tdtCt arcsinCx1arcsin17法法3:3:令,12tx,12tx 12xxdx 1 1122dttttt 12tdtCt arctanCx1arctan2法法4 4：12xxdx dxxx22111 xdx11
7、112Cx1arcsin18疯狂操练疯狂操练例例10 10，已知，已知 ，且，且xxf22sectan 10 f求求 xf.121)(2xxxf19例例11 11，已知，已知 xfxF则则 dxxxfx13132CxxF)13(31320 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec21dxxxxxdx2571 )2(和求练习一下答案见答案见 例题例题1717、1818。190P22小小 结结1 1）第二换元法（变量替换法）第二换元法（变量替换法）一条经验一条经验(1).变量替换的目的：去掉根号2)2)新增加的积分公式新增加的积分公式191P233192P作业
