1、 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率,它们实质上是它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)01.4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取
2、一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：解：记记 Ai=“球取自球取自i号箱号箱”,i=1,2,3;B=“取得红球取得红球”即即 B=A1B+A2B+A3B，且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生，之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式运用加法公式得得123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得对求和中的每一项运用乘法公式
3、得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31)()(iiiABPAP代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15 设设为随机试验的样本空间，为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i=1,2,n,niiiABPAPBP1)()()(一一、全概率公式全概率公式:称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组.,1Anii则对任一事件则对任一事件B，有，有niiiniiABPAPBAPBP11)()()()(所以所以证明证明:),2,1 (,)(,)(2121nji,j,iBABABABABAAAA
4、BBBjinn 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是伴随着某个总是伴随着某个Ai出现出现,适当地去构造这一适当地去构造这一组组Ai 往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()(全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导
5、致每一原因都可能导致B发生发生,故故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概率发生概率的总和的总和,即即P(B).P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.例例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被机被一人击中而击落的概率为一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击被两人击中而击落的概率为落的概率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击飞机必定被击落落,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.解
6、解:设设B=“飞机被击落飞机被击落”Ai=“飞机被飞机被i人击中人击中”,i=0,1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则则 B=A0B+A1B+A2B+A3B依题意，依题意，P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1可求得可求得:为求为求P(Ai),设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中,i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP
7、将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.P(A0)不必求出不必求出.于是于是 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0+0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3,1号箱装有号箱装有1个个红球红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红球红球3白球白球,3号箱装有号箱装有3红球红球.?二二、贝叶斯公式贝叶斯公式某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任
8、取一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球,发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率.123某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该一球，发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率.)()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=“球取自球取自i号箱号箱”,i=1,2,3;B=“取得红球取得红球”求求P(A1|B).3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化将这里得到的公式一般化,就得到就得到贝叶斯公式贝叶斯公式?123njjjiiiABPAPABPAPBA
9、P1)()()()()|(该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它它是在观察到事件是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：贝叶斯公式：设设A1,A2,An是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件另有一事件B，它总是与，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则之一同时发生，则 ni,21 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果可以帮助人们确定某结果(事件事件 B)发生的发生的最可能原因最可能原因.例
10、例3 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.CCC已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解解:设设 C=“抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症”，A=“试验结果是阳性试验结果是阳性”，求求P(C|
11、A).现在来分析一下现在来分析一下结果的意义结果的意义.由贝叶斯公式，可得由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得:P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的反应，则根据试验
12、得来的信息，此人是患者的概率为概率为 P(CA)=0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义有癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有你有癌症，这种可能性只有10.66%(
13、平均来平均来说，说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再试验来确认.下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式 njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率和验后概率验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知不知道事件道事件B是否发生是否发生)的情况下的情况下,人们对诸事件人们对诸事件发生可能性大小的认识发生可能
14、性大小的认识.当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生),人们对诸事件人们对诸事件发生可能性大小发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为能性有一个估计，设为 比如原来认为作案可能性较小的比如原来认为作案可能性较小的某甲某甲,现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如，例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人甲、乙、丙三人.丙丙乙乙甲甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后,这个估计这个估计就有了变化就有了变化.P(A1|B)知道知道B发生后发生后P(A2|B)P(A3|B)最大最大偏小偏小这一讲我们介绍了这一讲我们介绍了全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作作“贝叶斯统计贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影可见贝叶斯公式的影响响.
