1、b不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线 平行直线异面直线空间两直线的位置关系上节回顾：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角3 3、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。直线直线a在平面在平面内，记作内，记作a ；直线直线a与平面与平面相交于相交于A点，记作点，记作a=A；直线直线a与平面与平面平行，记作平行，记作a；第一、二层的底面无
2、论怎样延伸都没有公共点；前、后两面房顶则有一条交线ABAB二层楼房示意图探究平面与平面之间的位置关系（1）两个两个平面平行平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说如果两个平面没有公共点，我们就说这这两个平面互相平行两个平面互相平行（2）两个两个平面相交平面相交 如果两个平面有公共点，它们就相交于如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，我们就说这一条过该公共点的直线，我们就说这两个平两个平面相交面相交（3）两个平面的）两个平面的位置关系位置关系只有两种只有两种两个平面平行两个平面平行没有公共点；记为没有公共点；记为/两个平面相交两个平面相交有一条公共直线有一条公共直线,记为记为
3、a两个平面的位置关系两平面平行两平面平行没有公共点没有公共点有一条公共直线有一条公共直线两平面相交两平面相交 =a位置关系位置关系公共点公共点符号表示符号表示图形表示图形表示 画两个互相平行的平面时，要注意使表示画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，而不应画成图而不应画成图2那样那样（4）两个平面平行的）两个平面平行的画法画法图1图2 1.一个平面内的一条一个平面内的一条直线平行于另一个平直线平行于另一个平面面,能否推出这两个平能否推出这两个平面平行面平行?2.一个平面内的两条一个平面内的两条直线平行于另一个平直线平
4、行于另一个平面面,能否推出这两个平能否推出这两个平面平行面平行?3.无数条呢无数条呢?(不能不能)(不能不能)(不能不能)如果一个平面内有两条相交如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 /b/aAbaba，已已知知：/求求证证：证明：用反证法证明：用反证法.:.11111111DBCDABDCBAABCD平平行行于于截截面面中中的的截截面面长长方方体体求求证证例例 1A1D1C1BADBC说明说明定定理理可可以以简简记记为为平平面面与与平平面面平平行行的的判判定定.21.要证明平面与平面平行要证明平面与平面平行,关键要证明关
5、键要证明线面平行线面平行,而这又取决于线线平行而这又取决于线线平行,因因此在平行关系中线线平行是基础此在平行关系中线线平行是基础.面面面面平平行行”线线面面平平行行“线线线线平平行行练习练习）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（判断：判断：/5 /4 /3 /2 /1.1 babababaaaaaaa练习练习 /:/,/,.2求求证证且且，是是异异面面直直线线已已知知：bababa ab1.一个结论一个结论 根据根据两个平面平行及直线和平面平行的两个平面平行及直线和平面平行的定义定义，容，容易得出下面的结论：易得出下面的结论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一如果两个平面
6、平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面条直线平行于另一个平面 /,/aa a线面平行”线面平行”简记为“面面平行简记为“面面平行 2.2.两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 面面平行的性质定理面面平行的性质定理：如果两个如果两个平行平面同时和第三个平面相交，平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行那么它们的交线平行 即即：baba/如何证明如何证明?线线平行”线线平行”简记为“面面平行简记为“面面平行 ababa线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行 a A1ABB1CDC1D1.21.2111111）求求截截面面面面积积（形形；）求求证证：截截面面
7、是是等等腰腰梯梯（作作平平面面截截正正方方体体和和点点的的中中点点，经经过过对对角角线线为为棱棱点点，的的棱棱长长为为已已知知正正方方体体例例EDBADEaDCBAABCD FE练习练习求证求证:夹在两个平行平面之间的平行线段相等夹在两个平行平面之间的平行线段相等.ABCD已知已知:求证求证:CDABDBCA/,/CDAB 平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质的的面面积积求求：三三角角形形的的面面积积为为，、于于点点、分分别别交交平平面面线线段段、于于点点、分分别别交交平平面面，线线段段、于于点点、分分别别交交平平面面，线线段段平平面面、已已知知平平面面例例BEDAFCBHABGAEFHF
8、DCGDBAGH3616129/3 FCGBEDH A 2.2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？的观点认识这种现象？公路公路四、平面的相交四、平面的相交问问 题题1 1、在平面几何中、在平面几何中“角角”是怎样定义的？是怎样定义的？答：从平面内答：从平面内一点一点出发的两条出发的两条
9、射线射线所组成的图形叫做角。所组成的图形叫做角。2 2、定理、定理1 1？o答：如果一个角的两边和另一答：如果一个角的两边和另一个角的两边个角的两边分别平行分别平行，那么这，那么这两个角相等或互补。两个角相等或互补。AB想一想想一想 AOBBBBBBB 角角两个面组成的图形两个面组成的图形?平面内的一条直线，把这个平面分成平面内的一条直线，把这个平面分成两两部分，每一部分都叫做部分，每一部分都叫做半平面半平面。从一条直线引出的两个从一条直线引出的两个半平面半平面所组成的图所组成的图形叫做形叫做二面角二面角。这条直线叫做二面角的。这条直线叫做二面角的棱棱，这两个半平面叫做二面角的这两个半平面叫做
10、二面角的面面。l1、半平面、半平面：2、二面角：、二面角：半平面及二面角的定义半平面及二面角的定义l棱棱面面面面半平半平面面半平半平面面1、二面角的画法：、二面角的画法：（1）平卧式）平卧式（2）直立式）直立式二面角的二面角的 画法与记法画法与记法2、二面角的记法：、二面角的记法：（1）、以直线）、以直线 为棱，以为棱，以 为半平面的二面角记为半平面的二面角记为：为：ll ,（2）、以直线）、以直线AB 为棱，为棱，以以 为半平面的二面角记为半平面的二面角记为：为：,ABlAB二面角的二面角的 画法与记法画法与记法CDDABC 或或记记作作1、二面角的平面角：、二面角的平面角：以二面角的棱上以
11、二面角的棱上任意任意一点为端点，在一点为端点，在两个面内两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。O OABABAOB=BOA?等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）注注:（1）二面角的平面角与点的位置）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。无关，只与二面角的张角大小有关。（2）二面角是用它的平面角来度）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。说这
12、个二面角是多少度的二面角。（3）平面角是直角的二面角叫做）平面角是直角的二面角叫做 直二面角直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定）二面角的取值范围一般规定 为为0,。二面角的二面角的 平面角的定义、范围及作法平面角的定义、范围及作法l2、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法：1、定义法：、定义法：根据定义作出来。根据定义作出来。2、作垂面：、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。的交线得到。(二面角平面角所在平面二面角平面角所在平面是与棱是与棱l垂直的垂直的)注意：二面角的平面角必须满足：注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。）角的顶
13、点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱）角的边都要垂直于二面角的棱。oABoAoABB二面角的二面角的 平面角的定义、范围及作法平面角的定义、范围及作法llll角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成 边边点点边边(射线射线)(顶点顶点)(射线射线)表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面(半平面半平面)（棱）（棱）(半平面半平面)二
14、面角二面角 l 或二面角或二面角 AB 图形图形角与二面角的比较角与二面角的比较A.O解：解：sinADO=23432 ADO=60.二面角二面角 l 的大小为的大小为60.例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 2 ，到，到 l 的距离为的距离为 4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。lD分析：首先应找到或作出二面角的平面角分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个然后证明这个角就是所求的二面角平面角角就是所求的二面角平面角,最后求出这个角的大小。最后求出这个角的大小。3二面角的应用举例二面角的应用举例1lAODlODOAO 由
15、定理得由定理得于于，于于作作 的的平平面面角角二二面面角角 lADO中，中，AODRt 二面角的应用举例二面角的应用举例2例例2、如图，山坡倾斜度是、如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一度，山坡上一条路条路CD和坡底线和坡底线AB成成30度角度角.沿这条路向沿这条路向上走上走100米米,升高了多少升高了多少?（精确到（精确到.米）米）A DCGHBACBGDHl PAB解：解：PA lPA PABl平平面面 的的大大小小求求为为垂垂足足，等等于于已已知知：二二面面角角例例APB:,120.3 BAPBPAl lO AO lPB 同同理理，OBPABOAPAB 平面平面，设平面设平面lAO lBO
16、 同同理理，的平面角的平面角为二面角为二面角 lAOB作棱的垂直截面法作棱的垂直截面法 1、二面角的定义：、二面角的定义：2、二面角的画法和记法：、二面角的画法和记法：3、二面角的平面角：、二面角的平面角：4 4、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法：画法：直立式和平卧式画法：直立式和平卧式记法：二面角记法：二面角 AB 二面角二面角 l 二面角二面角C AB D1、根据定义作出来、根据定义作出来2、利用作棱的垂面、利用作棱的垂面 法作出来法作出来3、应用三垂线定理或、应用三垂线定理或 其逆定理作出来其逆定理作出来从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组
17、成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。1、二面角的平面角、二面角的平面角 的大小与的大小与 其顶点其顶点 在棱上的位置无关在棱上的位置无关2、二面角的大小用、二面角的大小用 它的平面角的大它的平面角的大 小来度量小来度量 课堂小结课堂小结 思考题思考题ABCD如图，将等腰直角三角形纸片沿如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线斜线BCBC上的高上的高ADAD折成直二面角折成直二面角.060,BACCDBD求求证证：解解:(:(略略)例.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是 ，山坡上有一条直道CD，它
18、和坡脚的水平线AB的夹角是 ，沿这条山路上山，行走100米后升高多少米？603060ACDBHG它就是这个二面角的平面角30DCAB解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度。在平面ABH内，过点H作HGBC，垂足是G，连接GD。由三垂线定理GDBC.因此，DGH就是坡面DGC和水平平面BCH的二面角的平面角，DGH=60DH=DGsin600=CDsin300sin600=100sin300sin60043.3(米)答：沿直道前进100米，升高约43.3米HGABDC306000100m四、平面和平面垂直四、平面和平面垂直ABBABAB1平面与平面垂直的
19、定义平面与平面垂直的定义定义定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么就称这个两个平面互相垂直两个平面互相垂直,平面和垂直，记作画两个平面互相垂直时，一般把直面的竖边画成与水平平面的横边垂直。如图9-48 所示2两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.如图9-49所示，如果，那么建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅坠的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直。若下垂的线紧贴墙面，便知所砌的墙面和地面垂直，即依据为上面的判定定理。如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直条垂线，那么这
20、两个平面互相垂直l ll l面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理符号表示：符号表示：lABC D线面线面垂直垂直面面面面垂直垂直线线线线垂直垂直例例1 如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面PAC平面平面PBC.线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 PABOC练习练习1：探究探究如图如图9-509-50所示，所示，A A是直角三角形是直角三角形BCDBCD所在平面外所在平面外一点，一点，平面平面ABC,ABC,(1)四个面的形状怎样？四个面的形状怎样？(2)有哪些直线与平面垂直？有哪些直线与平面垂直？(3)任意两个平面所成的二面角的平面角任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？如何确定？ABCD090CPA
