1、西南财经大学天府学院11.1.4 4 条件概率乘法公式条件概率乘法公式 一、条件概率一、条件概率二、乘法公式二、乘法公式西南财经大学天府学院2 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1.条件概率的概念条件概率的概念 如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发生的概发生的概率，将此概率记作率，将此概率记作P(B|A).一般地一般地 P(B|A)P(B)西南财经大学天府学院3P(B)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出偶数点掷出偶数点，P(B|A)=？掷骰子掷骰子
2、 已知事件已知事件A发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是A P(B|A)=1/3.A中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集B中中.容易看到容易看到()()11 6P AB33 6P A P(B|A)于是于是B=掷出掷出2点点，西南财经大学天府学院4P(B)=3/10，又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品.现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 A=取到正品取到正品,B=取到一等品取到
3、一等品P(B|A)()()33 10P AB77 10P A 则则西南财经大学天府学院5P(B)=3/10，A=取到正品取到正品P(B|A)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(B)时，依据的时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例.B=取到一等品取到一等品，计算计算P(B|A)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件A已发生已发生”这个新的条件这个新的条件.这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题某个缩小了的范围内来考虑问题.西南财经大学天府学院6 若事件若事件A已
4、发生已发生,则为使则为使 B也也发生发生,试验结果必须是既试验结果必须是既在在 A 中又在中又在B中的样本点中的样本点,即即此点必属于此点必属于AB.由于我们已经由于我们已经知道知道A已发生已发生,故故A变成了新的变成了新的样本空间样本空间,于是于是 有有(1).设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(A)0,则称则称 (1)()(|)()P ABP B AP A SBAAB2.条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件A发生发生的条件下的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.西南财经大学天府学院7 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 3.条件概率的计算条件概率
5、的计算1)用定义计算用定义计算:()(|),()P ABP B AP A P(A)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出偶数点掷出偶数点 B=掷出掷出2 点点，P(B|A）=31A发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中B所含样所含样本点个数本点个数西南财经大学天府学院8条件概率也是概率条件概率也是概率,故具有概率的性质：故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非负性q 正则性 q 可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBPq)(1)(ABPABPq)()()(21121ABBPABPAB
6、BPq 西南财经大学天府学院9例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷掷出点数之和不小于出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1解法解法2(|)31P B A62解解 设设A=第一颗掷出第一颗掷出6点点 B=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 应用应用 定义定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算21366363()(|)()P ABP B AP A 西南财经大学天府学院10 例例2 一批产品一批产品100件，有件，有80件正品，件正品，20件次品，其件次品，其中甲生产的为中甲生产的为60件，有件，有50件
7、正品，件正品，10件次品，余下件次品，余下的的40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记 A=“正品正品”，B=“甲生产的产品甲生产的产品”，写出概率，写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)西南财经大学天府学院11 例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为年以上的概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现年问现年20岁的这种岁的这种动物，它能活到动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年
8、以上依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A).)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(APBP西南财经大学天府学院12例例4 在在10个产品中有个产品中有7个正品，个正品，3个次品，按不放回抽个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求样，每次一个，抽取两次，求 两次都取到次品的概率；两次都取到次品的概率；第二次才取到次品的概第二次才取到次品的概率；率；已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品的概率。的概率。若改为有放回抽样呢？若改为有放回抽样呢？（3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/
9、15)/(3/10)解：设解：设A=第一次取到次品第一次取到次品，B=第二次取到次品第二次取到次品，（1）P（AB）=(32)/(109)=1/157 37(2)P()=10 930AB西南财经大学天府学院13例例5、一盒中装有、一盒中装有5件产品，其中件产品，其中3件一等品，件一等品，2件二等品，件二等品，从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件A=“第一次取到一等品第一次取到一等品”，B=“第二次取到一等品第二次取到一等品”，求求P（B|A）。）。解：解：P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)例例6 设
10、试验设试验E为投掷一颗为投掷一颗子，事件子，事件A表示表示“奇数点奇数点”，B 表示表示“点数大于点数大于1”，计算，计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).西南财经大学天府学院14由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)若已知若已知P(A),P(B|A)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有若若 P(B)0,则则P(BA)=P(B)P(A|B)(3)(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率()(
11、|)()P ABP B AP A 西南财经大学天府学院15注意注意P(AB)与与P(B|A)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子西南财经大学天府学院16 例例1 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件是件是乙厂生产的乙厂生产的.而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是标准件，个是标准件，现从这现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产这个零件是乙厂生产的标准件的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生
12、产300个个乙厂生产乙厂生产设设A=零件是乙厂生产零件是乙厂生产,B=是标准件是标准件西南财经大学天府学院17所求为所求为P(AB).设设A=零件是乙厂生产零件是乙厂生产B=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的,问它问它是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(B|A).A发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(B|A)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产西南财经大学天府学院18条件概率条件概率P(B|A)与与P(B)的区别的区别
13、 每一个随机试验都是在一定条件下进行的每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设设B是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下是在该试验条件下事件事件B发生的可能性大小发生的可能性大小.P(B)与与 P(B|A)的区别在于两者发生的条件不的区别在于两者发生的条件不同同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同.而条件概率而条件概率 P(B|A)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“A发发生生”这个条件时这个条件时B发生的可能性大小发生的可能性大小,即即 P(B|A)仍是概率仍是概率.西南财经大学天府学院19.个个事事件件的的积积
14、事事件件的的情情况况乘乘法法定定理理可可以以推推广广到到多多 ,0,则则且且为为三三个个事事件件、设设 ABPCBA .|APABPABCPABCP ,2,21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn ,0121可可得得则则由由条条件件概概率率的的定定义义 nAAAP 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP 西南财经大学天府学院20例例2 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为落甲机的概
15、率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。中甲、乙被击落的概率。关键：应用乘法公式，概率的加法公式关键：应用乘法公式，概率的加法公式解：设解：设A=乙乙机被击落机被击落，B=甲甲机被击落机被击落，A1=乙乙第一次被击落第一次被击落，A2=乙机第二次被击落乙机第二次被击落，由题意得：，由题意得：A1，A2互不相容，且互不相容，且12112,AAA AB A BA依题意，有依题意，有1121()0.2,(|)0.3,(|)0.4P AP B AP AA B西南财经大学天府
16、学院21由条件概率公式，可得由条件概率公式，可得111()()()(|)0.8 0.30.24P BP ABP A P B A从而从而2121121()()()(|)(|)0.224P AP A BAP A P B A P AA B由概率可加性由概率可加性1212()()()()0.424P AP AAP AP A西南财经大学天府学院22例例3 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行,5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“
17、入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没写写.将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”乘法公式应用举例乘法公式应用举例西南财经大学天府学院23 到底谁说的对呢？让我们用概率到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下论的知识来计算一下,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一
18、样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”西南财经大学天府学院24我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P()4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”西南财经大学天府学院25因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，)|()(
19、)(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：计算得：西南财经大学天府学院26)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就
20、是说，西南财经大学天府学院27 ,2 ,3 5 4试试按按个个白白球球个个黑黑球球个个红红球球设设袋袋中中有有例例 2;1不放回抽样不放回抽样有放回抽样有放回抽样 两种方式摸球三次两种方式摸球三次.,概概率率求求第第三三次次才才摸摸得得白白球球的的每每次次摸摸得得一一球球 解解 1 有放回抽样有放回抽样 ,第一次未摸得白球第一次未摸得白球设设 A ,第二次未摸得白球第二次未摸得白球 B .第第三三次次摸摸得得白白球球 C 可可表表示示为为第第三三次次才才摸摸得得白白球球则则事事件件.ABC AP,108 ABP|,108 ABCP|,102 西南财经大学天府学院28 APABPABCPABCP
21、|108108102 .12516 2 无放回抽样无放回抽样 AP,108 ABP|,97 ABCP|,82 APABPABCPABCP|1089782 .457 西南财经大学天府学院29 A 1995 7联联赛赛的的最最后后年年全全国国足足球球甲甲抓抓阄阄问问题题例例,一一队队的的比比赛赛在在成成都都市市四四川川全全兴兴队队与与解解放放军军八八一一轮轮,全兴队是否降级的命全兴队是否降级的命这场比赛是关系到四川这场比赛是关系到四川进行进行 30,位同学位同学可西南交大某班可西南交大某班肯定会异常精彩肯定会异常精彩运之战运之战,只只好好采采取取抓抓阄阄的的办办大大家家都都想想去去看看仅仅购购得得
22、一一张张票票,.,每人抽每人抽试问试问取取每个人都争先恐后地抽每个人都争先恐后地抽法抽签决定法抽签决定?得此票的机会是否均等得此票的机会是否均等 解解 ,30,2,1,则则个人抽得球票个人抽得球票第第设设 iiAi 1AP301 率为率为第一个人抽得球票的概第一个人抽得球票的概西南财经大学天府学院30 率为率为第二个人抽得球票的概第二个人抽得球票的概 2AP 2121AAAAP 2121AAPAAP 210AAP 121|AAPAP 2913029 301 ,必须在他抽取之前必须在他抽取之前个人要抽得比赛球票个人要抽得比赛球票第第同理同理i,1 即即事事件件一一起起出出现现个个人人都都没没有有
23、抽抽到到此此标标的的的的 i iiiAAAAPAP121 11121|iiAAAPAAPAP 130129283029 i,301 .30,2,1 i.,301,即即机机会会均均等等是是各各人人抽抽得得此此票票的的概概率率都都所所以以西南财经大学天府学院31 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球.随机地随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行这种手续进行四次四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红
24、球的概率到红球的概率.（波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球,r个红球个红球西南财经大学天府学院32于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球个白球,r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,4西南财经大学天府学院33用乘法公
25、式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率.这是一个这是一个传染病模型传染病模型.每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)西南财经大学天府学院34 这一节，我们介绍了条件概率的概念，给出了这一节，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.另外还介绍了事件独立性的概念另外还介绍了事件独立性的概念.不难发现，不难发现，当事件相互独立时，乘法公式当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因变得十分简单，因而也就特别重要和有用而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化许多概率的计算就可大为简化.
